類比法在“大學數學”教學中的應用

[摘 要] 類比方法是用已有的知識和已掌握的技能去解決新問題，從而加深學生對新知識的理解，促進學生對新規律的認識;找出問題、探究問題、解決問題，有助于思想、方法和技巧的開拓與延伸。類比法對提高教學效果和培養學生的創新意識是十分必要的，也是課程改革所倡導的。介紹類比式教學的基本概念，分別大學數學的基礎學科和應用學科兩類課程來以類比式教學方法的使用情況。運用好類比式教學法將有助于學生加深對數學課程的認識，形成系統全面的知識體系。

[關鍵詞] 類比式教學;大學數學;基礎數學;應用數學

[基金項目] 2019年度華僑大學中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助“流體—粒子模型的一些數學問題”（ZQN-701）

[作者簡介] 崔海波（1986—），男，河南林州人，理學博士，華僑大學數學科學學院副教授，主要從事偏微分方程研究。

[中圖分類號] O175.24 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）08-0048-04[收稿日期] 2021-06-21

目前“大學數學”課程主要分為：基礎數學和應用數學[1]。基礎數學主要包含數學分析、高等代數、泛函分析、解析幾何等;應用數學主要包含數學物理方程、概率論、數理統計和拓撲學等。大學數學的特點是教學內容繁多，概念抽象，邏輯性和技巧性強，學習時間相對集中，課時少節奏快，習題數量大。在“大學數學”教學中，學生對于數學能力的培養往往僅局限在邏輯和計算層面上，這導致了學生的學習始終缺乏實踐和創新意識。因此教師在教學過程中應使用有效的教學方法和多樣的教學形式，善于歸納總結，用已有的知識和已掌握的技能去解決新問題。類比法在課堂上能幫助教師在有限的時間內將舊的知識點完美地遷移到一個新的問題。盡管每門數學課程的內容、對象、解決方法和工具不同，如微積分體現的重要思想是局部線性化，概率論主要體現的是隨機思想，解析幾何主要體現數形結合等;但每一類課程的思維方式基本上是類似的。因此類比法在具有相同思維方式的課程上就能發揮其作用。另外，有一些數學對象和方法具有系統性和關聯性，特別對于同一類數學課程，許多內容和方法是相通的;因此類比推理和歸納總結在數學教學中的作用是不可低估的。類比法是找出問題、探究問題、解決問題的關鍵，并且對提高教學效果是十分重要的，同時也是課程改革所倡導的，能夠更好地幫助學生學習數學相關的知識。

一、類比式教學的基本概念

在“大學數學”教學中，類比法是根據兩個或多個不同的數學對象在某些定義、特征、性質等方面相同或相似，而推測這些對象具備的其他特征或性質能否推廣到另一對象上的推理方法[2]。考慮到把知識聯系起來有利于能力和思維的培養，因此類比法可以引導學生分別從橫向和縱向同時構造一張知識網，通過延伸擴展來完善數學知識體系。這個方法也可以稱為構建知識網絡法。構建知識網絡法就是將某些具有共同屬性的數學對象或比較密切的內容組成知識塊進行綜合運用的方法;因此類比式教學也可以理解成從一門或多門課程的知識網入手，不斷引導學生對知識網絡結構添加知識;根據學習的認知規律，由已知出發，引導學生從問題出發，根據觀察、實驗的結果，類比學習未知的知識。應用類比教學法，能夠提高學生的類比推導能力和分析能力，有利于學生對知識點的全面理解?？傊褂妙惐确軌蚋玫貛椭鷮W生學習數學相關知識，形成系統全面的知識體系。

具體來說，類比式教學通過類比舊知識學習新知識，使得學生學習的內容相對“減少”，學習起來更加輕松，是培養學生創新意識的一種有效途徑，同時通過類比，建立知識間的內在聯系，使知識結構系統化和豐富化。因此在高校數學課程教學改革中，根據教學內容合理有效利用類比法，可以提高教學效果。通過運用類比式教學，學生可以輕松掌握新知識，教師可以輕松授課，縮小學生學習難度，促進數學課堂教學，引導學生去探索和發現問題。運用類比式教學能夠拓展數學思維能力和創新能力，培養學生跨學科知識的學習及遷移能力，有利于高效的學習更多的數學知識，解決更多的數學問題。在教學過程中，教師要有意識地滲透類比的思想方法。

二、類比式教學在基礎數學中的應用

類比法作為一種重要的教學方法，在大學數學基礎學科的教學中被廣泛使用。我們以數學分析和泛函分析兩門基礎學科為例來具體談談類比式教學的應用。在“大學數學”課程中，無不以數學分析為基礎，以“泛函分析”為最難課程。很多應用數學的課程如“數學物理方程”“概率論與數理統計”等課程都以數學分析為基礎，是它的延伸和深化，而它的基本概念、思想方法更是無處不在。因此，數學分析是學習高等數學課程的關鍵。數學分析主要內容包括一元函數微積分、多元函數微積分和級數，它們雖然是相互獨立的，但也有密切的聯系。類比法在一元函數的微積分與多元函數的微積分教學中起著很大的作用[3-5]。比如在講解多元函數微積分的概念、定理和性質時，完全可以和一元函數的微積分進行類比，讓學生觸類旁通，事半功倍，從而提高數學學習的效率。具體地，對于一元函數的極限、導數、微分、不定積分、定積分，類比多元函數的極限、偏導數、微分、多重積分和曲線曲面積分等;對于極限、求導、積分、泛函以及線性算子的運算，加法運算和數乘運算具有相同的運算法則，這些在代數中也有類似的運算。而一元函數的反常積分，含參量的反常積分和級數又有密切的關系，特別是在收斂的各種判別法上有許多相通之處。因此，類比法在數學分析課程教學中起到了重要的作用。

泛函分析課程中的概念、定理和性質更多，而且都是非常抽象和復雜的教學內容。為了描述更大、更廣空間之間的變化，反映事物之間的變化規律，我們需要引入距離空間、線性賦范空間、Banach空間、Hilbert空間和流形等空間[6]，也需要引入連續映射、線性泛函、線性算子和Fredholm算子等概念。這樣才能抽象地將有限維空間上的線性變換推廣成Banach空間上的線性算子。它們當中許多定理和性質與數學分析、代數等課程的概念也是可以相互類比的。具體地來說，學生學習有限維空間時，對概念和性質的理解可以結合直觀性感受來理解。學習泛函分析時，無限維空間以及空間的抽象化，往往讓學生感到束手無策，此時如果通過類比，把有限維空間的一些概念、定理和相關性質的形成，以數學分析、線性代數和幾何中的理論為基礎，從有限空間（點、收斂聚點、函數）和拓撲空間找出原型，引入新的觀點（例如元素、緊性、算子），由有限維中的強收斂、緊理論，到無限維空間的弱收斂理論，對其加以推廣并注意它們和無限維空間之間的異同，這可使教學效果達到事半功倍的效果。特別是對于一維實數的完備性理論、特征值和積分理論等，到泛函分析中的可分Banach空間緊性、譜理論、Hilbert空間理論等，有助于學生思考新的理論，了解新概念和方法。這就是數學分析、線性代數和幾何概念的進化。在這個新的觀點的導引下，推廣空間、算子、緊性等概念思路就會更廣闊和自然。因此，類比法的思想在泛函分析課程教學中也起到了重要的作用。

三、類比式教學在應用數學中的應用

類比法在大學數學應用學科中的使用也非常廣泛。我們以數學物理方程這門應用課程為例來闡述類比式教學法在課堂上的應用。在實際生活和生產中，我們經常會碰到各種各樣的偏微分方程（組），最常見的是按照方程的階數分類，但經常需要考慮方程的本質特點即不變量，進行更加詳細的分類，以得到各種類型偏微分方程的各自特點。這些分類與方程的特點有密切的關系，從而可以了解二階方程之間的共性和差異。在偏微分方程教學的基礎上，以二階方程的分類為例來分析類比式教學。

考慮一個二階線性偏微分方程[7，8]，一個自然而然的問題是，我們如何對二階偏微分方程進行分類，分類的依據又是什么。在對方程進行分類之前，我們先回憶一下一般的二次曲線是如何分類的。對于平面二次曲線方程，在解析幾何中二次曲線的幾何形狀是依據判別式的符號進行分類的。事實上，二次曲線之所以可以這樣進行分類，主要是因為判別式的符號在可逆線性變換下具有不變性。如果我們任意選取一個可逆的線性變換，則二次曲線對應判別式的符號保持不變。

類似地，在教學中，我們仿照平面二次曲線分類的方法，尋找代數性質即不變量，對二階方程作自變量變換，我們發現判別式Δ=b2-ac可以作為方程的一個不變量，從而可以使用Δ=b2-ac對二階偏微分方程進行分類，具體結論如下。

結論一：在變量替換時，方程判別式的符號保持不變[7，8]。以下利用判別式的符號在可逆自變量變換下的不變性，對方程進行分類。在區域的每一點處，（1）當Δ>0時，稱偏微分方程為雙曲型偏微分方程，例如弦振動方程。（2）當Δ=0時，稱偏微分方程為拋物型偏微分方程，例如一維熱傳導方程。（3）當Δ<0時，稱偏微分方程為橢圓型偏微分方程，例如二維調和方程。

由于平面二次曲線的判別式都是常數，所以可以把平面二次曲線嚴格分類。但偏微分方程的判別式是函數，所以只能在某些點考慮它的符號。由函數連續性在一點嚴格的大于或小于零在該點的鄰域也是如此，所以方程為雙曲型或橢圓型總在一個鄰域內也成立，但拋物型并不具有這種性質。所以可以定義在區域內方程的類型。該分類既類似于平面二次曲線的分類，又有不同特點。所以偏微分方程的分類更復雜一些。

對于二階偏微分方程的分類，會出現混合或退化型方程，例如某些是雙曲型和另外一些點是橢圓型的方程，稱為混合型方程，雙曲型+拋物型稱為退化雙曲型方程（可壓縮Navier-Stokes方程組為典型的這一類方程），橢圓型+拋物型稱為退化橢圓型方程（可壓縮Navier-Stokes-Poisson方程組為典型的這一類方程）。當然也有橢圓型+拋物型+雙曲型的既是混合型也是退化型（Tricomi方程為典型的這一類方程）。

總結：在二階偏微分方程分類的教學中，我們類比二次曲線的分類方法，通過變量替換，尋找合適的不變量，從而可以看出結論的相似之處，這樣學生就可以理解我們怎么選取不變量，為什么選取這樣的不變量來進行分類，從而可以有效地理解一些復雜的問題。另外我們也要強調和二次曲線分類的不同點，這樣對偏微分方程的多樣性、復雜性有更好的理解，也對分析類課程之間的聯系有一個掌握。

對于多個變量的偏微分方程情形，由線性代數中二次型的知識，類似于二階常微分方程的特征方程，可以由特征曲面，特征方向，特征平面和特征錐面等概念。類似于第一部分兩個自變量的情形，我們仍然尋找該方程的不變量。由線性代數矩陣的變換，存在非奇異線性變換，將特征二次型化成標準對角型。當特征值在某點處的λi（i=1，…，n）全是1或全是-1（特征二次型正定或負定），則稱方程在該點為橢圓型偏微分方程;若在某點處中的λi一個是0，其余是1或是-1（特征二次型至少有一個零根），則稱方程在該點為拋物型偏微分方程。若在某點處的λi一個是1其余是-1或者一個是-1其余是1（特征二次型既不是退化的，也不是正定或負定且n-1個同號），則稱方程在該點為雙曲型偏微分方程;若在某點處的λi全不為零，但取1或-1的個數超過一個，這時稱方程在該點為超雙曲型偏微分方程。上述分類并不完全，只包含了一部分特殊情況，其他的情況我們可以都歸為雜類偏微分方程。類似于兩個自變量的情形，我們可以得到在某個區域內為橢圓型，拋物型以及混合型的定義。

分類只和二階偏微分方程的主部的系數（即二階偏導數的系數）有關，與低階項的系數無關。一般地，方程包含自變量個數越多，方程的特征值越復雜，分類情況也越多。所以對于其他情形，我們都把這些歸為雜類偏微分方程。

課程學習中的n+1個變量的波動方程屬于雙曲型偏微分方程、n+1個變量的熱傳導方程屬于拋物型偏微分方程、多個自變量Laplace方程屬于橢圓型偏微分方程。

結語

對于多變量的偏微分方程，該分類方法和兩個自變量的偏微分方程非常類似，只是這里換成了特征值的符號。我們可以讓學生理解不變量的重要性，進而鞏固線性代數和解析幾何的知識，也對偏微分方程這門課程有整體的理解。另外不同于以前的知識，這里的分類更復雜，而且會涉及更復雜類型的微分方程。

參考文獻

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[4]劉紅玉.類比法在數學分析課程教學中的應用[J].呂梁教育學院學報，2012（29）：83-85.

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[6]張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M].北京：北京大學出版社，1987：1-267.

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[8]朱長江，阮立志.偏微分方程簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2015：200-202.

Abstract： The role of the analogy thinking method in the teaching of university mathematics cannot be underestimated. The main method is to solve new problems with existing knowledge and skills， so as to accelerate students understanding of new knowledge and promote their understanding of new laws. Finding problems， exploring problems and solving problems help develop and extend ideas， methods and skills， which is necessary to improve teaching effect and cultivate students innovation consciousness， and is also advocated by curriculum reform. This paper first introduces the basic concept of analogy teaching， and then introduces the use of analogy teaching methods with two categories of basic subject and applied subject courses of university mathematics， respectively. A good use of the analogy teaching method helps students better understand mathematics courses and form a systematic and comprehensive knowledge system.

Key words： analogy teaching; university mathematics; basic mathematics; applied mathematics