基于三維掃描與數值技術的粗集料形狀特征與級配研究

李良，龍廣成，謝友均，曾曉輝，潘自立，東懷正

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2.中鐵第二勘察設計院集團有限公司，四川 成都 610019；3.西藏鐵路建設有限公司，西藏 拉薩 851400)

粗集料是工程中用量最多、最重要的建筑原材料[1]，構成了混凝土的基本骨架，占混凝土總體積的60%～80%。粗集料對混凝土拌合物硬化后的強度、收縮變形、耐久性和工作性能有重要影響[2]。因此，探索粗集料的幾何形狀特征、顆粒級配的科學、高效表征評價方法具有重要意義。粗集料形狀特征包括顆粒組成、形貌特征、棱角性等。現有規范采用了顆粒級配、針片狀含量等指標來評價粗集料的幾何性質特征。一些研究者也采用了數學分析方法、二維數字化技術手段對粗集料顆粒級配、粒徑大小和形狀特征進行了研究[3-6]?？傮w上，粗集料顆粒構成及其形狀特征的研究還存在不足，亟待加強現代數字化、信息化技術在粗集料顆粒組成、形狀特征精細化測試方面的研究，繼而優化粗集料級配及混凝土多元體系中的分布，最終改善混凝土工作性能、力學性能和耐久性。近年來，粗集料形狀特征的研究得到廣泛關注。李國強等[7-8]推導了從一維、二維到三維粗集料的級配分形維數、表面積分形維數和體積分形維數的計算公式。也有研究者開發相應的圖像采集和分析系統，以及用數字圖像技術實現粗集料二維圖像分析處理，得到粗集料輪廓的形狀特征[9]。MASAD 等[10]采用腐蝕-膨脹法來量化粗集料顆粒紋理。KOMBA 等[11]基于球諧變換法計算提出了粗集料的三維形狀指標。BANGARU等[12]使用傅里葉級數擬合了粗集料圖像輪廓，并提出評價粗集料形貌的指標。然而，這些研究方法都有一定的局限性，如粗集料的分形描述能夠定性地描述粗集料在混凝土中的分布，但不能精確得到粗集料的形狀參數；二維數值圖像處理只能對粗集料的輪廓進行描述，無法得到三維的形狀參數，且描述棱角性和紋理的指標受二維圖像的像素影響較大，對粗集料的拍攝角度，拍攝環境要求較高，操作比較復雜。相比之下，三維掃描技術可以快速還原出粗集料的真實表面，得到更為精確、全面的粗集料幾何形狀參數，具有顯著的優越性。鑒于此，本文結合三維掃描技術和數字化技術研究粗集料的級配和形狀特征。基于分形幾何學理論和MATLAB 程序計算得到粗集料的級配分形維數對粗集料級配進行分析，在此基礎上提出粗集料的球度、長短軸長比和粒徑離散度等指標評價粗集料的形狀特征，繼而結合級配分形維數計算得到粗集料的表面積分形維數描述粗集料表面粗糙程度，最終為實現粗集料幾何形狀性質的科學化、精準化和高效化表征評價提供技術支持。

1 粗集料形貌特征的數值描述

1.1 粗集料形貌的三維掃描與重構

利用HSCAN 型三維掃描儀掃描粗集料表面。三維掃描儀由2 個相機與激光器組成，分辨率有0.05 mm 和0.02 mm 可供選擇。采集數據為粗集料表面各點的云坐標。三維掃描儀對粗集料表面進行掃描時，掃描平面上張貼標記點并放置需要掃描的粗集料。通過對每顆粗集料進行2次不同角度的掃描，用三維圖形處理軟件對2次掃描的公共面進行拼接，可實現粗集料三維結構的重建與表面三維坐標的獲取。真實粗集料照片和重構粗集料圖如圖1所示。

圖1 粗集料掃描處理及重構結果Fig.1 Results of coarse aggregate scanning and reconstruction

1.2 粗集料幾何參數的獲取

通過激光三維掃描技術可獲得粗集料準確的幾何尺寸參數如圖2所示，包括長軸、中軸、短軸等。隨機選取5～9.5 mm，9.5～16 mm 和16～20 mm 3 種尺寸范圍粗集料各10 顆進行三維掃描，得到相應的軸長、面積、體積等參數，列于表1中(對各粒徑范圍粗集料僅列出3 顆的數據)。按式(1)可得粗集料表面積系數Ks與體積系數Kv比：

表1 粗集料表觀尺度參數掃描計算結果Table 1 Calculation results of aggregate apparent scale parameters scanning

式中：x為粗集料的粒徑，統一為粗集料的最大尺寸(長軸長)；S為粗集料的表面積；V為粗集料的體積。

1.3 粗集料形狀的數值綜合表征

1.3.1 外形特征評價參數

粗集料的形狀多不規則，考慮實際粗集料的三維形狀特征，結合三維圖像技術，將粗集料在x，y和z3 個方向上的長度從大到小定義為長、中和短軸長(如圖2)，采用球度參數來描述粗集料的不規則程度，由式(2)能夠計算粗集料的球度Ψ[13]，解決了二維數字圖像和傳統測量粗集料形狀特征參數不準確的問題[14]。

圖2 粗集料三維形狀幾何尺寸計算結果Fig.2 Calculation results of three dimensional shape and geometric dimension of aggregate

根據得到的長軸長dl和短軸長ds，定義長短軸長比來描述粗集料針片狀特征，由式(3)能夠算得粗集料的長短軸長之比α；假定粗集料的形狀為理想球形，則在任意方向上(包括x，y和z3個基本方向)的粒徑尺寸都相同。根據粗集料實際在x，y和z3 個方向的不同粒徑尺寸，定義粗集料3 個方向的最大尺寸與3 個尺寸均值的比值為粒徑離散度，用粒徑離散度λ來描述粗集料的不規則程度，由式(4)可以算得。

式中：Ψ，α，λ分別為粗集料的球度、長短軸長比和粒徑離散度；dl，dm，ds分別為粗集料的長軸、中軸和短軸長。

1.3.2 不同粒徑粗集料的形狀特征評價

以下采用上述定義的球度、長短軸長比和粒徑離散度3個形狀特征參數，來描述評價粗集料的外形特征。基于掃描得到的30 顆粗集料的形狀參數，可計算得到每一顆粗集料的3 個形狀特征參數，并分析其與各自粗集料粒徑之間的關系，以粗集料的最大線度尺寸(長軸長dl)作為粗集料的粒徑，分析粗集料球度、長短軸長比和粒徑離散度與粗集料粒徑之間的關系，結果如圖3所示。

粗集料的球度值在0～1 之間，且球度值越接近1，粗集料形狀越規則[13]。如圖3，這批試驗粗集料球度良好，球度值為0.7～0.9，均值為0.88；離散度值均大于1，有少數接近1，最大可達1.3；值得注意的是，粒徑離散度與球度基本呈現關于y=1函數的對稱分布，粗集料球度越接近1，其粒徑離散度也越接近1，粗集料形狀越規則；另外，可以發現粗集料的長短軸長比值大于其離散度指標，且長短軸長比值與粒徑離散度的分布大體相同，粗集料的長短軸長比值越大，粒徑離散度也越大，粗集料的形狀越不規則。

圖3 粗集料形狀特征參數與粒徑關系計算結果Fig.3 Calculation results of the relationship between aggregate shape characteristic parameters and particle size

總體而言，所調查3種粒徑粗集料的形狀特征與粒徑相關性不顯著；所提出的粗集料球度、長短軸長比和粒徑離散度3個參數之間具有較好的相關性和聯系，基本能對粗集料外形特征進行描述，而對于粗集料球形度(三維尺度的一致度)描述，長短軸長比指標更具顯著性和敏感性。

1.4 粗集料分形特征

1.4.1 顆粒級配分形維數

李國強等[7]提出的粗集料級配分形維數的計算是通過粗集料的篩選通過率來得到的，在進行粗集料三維掃描時發現，粗集料篩分無法全面準確獲取其三維尺寸，粗集料形狀的不規則性導致粗集料三維方向上的尺寸不盡相同，采用對應孔徑的篩子對粗集料進行篩分時，任一方向尺寸小于篩子孔徑，其他方向尺寸卻大于篩子孔徑的粗集料也可進入下一個級配。所以在篩分粗集料的過程中，粗集料的粒徑區分不夠準確，進而導致粗集料級配分形維數的計算誤差。本文基于盒子計數法對粗集料表面點云坐標進行數值計算，可更準確地得出粗集料級配分形維數。

盒子計數法[15]將一個三維表面劃分為多個立方體單元，每個立方體單元視為一個盒子，三維表面各點的不同高度視為盒子的高度。用各個高度不同的盒子對三維表面進行覆蓋，最后統計完全覆蓋表面的盒子數目與定義的立方體盒子的尺寸。按照分形的定義，盒子數與盒子尺寸分別取對數之后的函數斜率，即為分形維數，可通過MAT‐LAB程序計算得到，具體計算步驟如下：

1) 導入粗集料三維點云坐標進行分析，尋找空間中相鄰的4 個均不為0 的數據點，定義為數組a，即將粗集料表面離散出的點云坐標，微分任意4 個點構成的平面用盒子進行覆蓋，按數組a中的數據，根據相應的分形尺寸來計算需要的分形盒子數。

2) 對分形盒子數和分形尺度分別取對數，畫出對應的散點圖并進行多項式擬合，得到多項式(直線)斜率，即分形維數值。

3) 將每顆粗集料的點云坐標數據導入到寫好的MATLAB程序中，即可進行計算。以5～9.5 mm的其中一顆粗集料為例，得到粗集料分形維數坐標圖，分形維數坐標圖中直線斜率即為粗集料級配分形維數，算得斜率值為2.845 3(一般粗集料的級配分形維數值在2～3 之間[7])，計算結果如圖4所示。

圖4 某粒徑粗集料的級配分形坐標及結果Fig.4 Fractal coordinate and result diagram of a gradation of a certain particle size aggregate

圖5進一步給出了不同粒徑(5～20 mm)30顆粗集料的級配分形維數變化結果。

圖5 粗集料級配分形維數對粒徑的變化關系結果Fig.5 Results of relationship between fractal dimension of aggregate particle size and particle size

從圖5可以發現，對應粒徑區間的粗集料級配分形維數隨著粒徑(粗集料長軸長dl)的增大而減小。若以所有調查粗集料的級配分形維數的質量加權平均值來作為5～20 mm 連續級配下粗集料的級配分形維數，可算得連續級配粗集料的級配分形維數Dc=2.768。

1.4.2 顆粒表面積分形維數

從一維的級配粒徑分形到二維的表面積分形，可根據式(5)來計算得到粗集料顆粒表面積分形維數[8]。傳統的測量方式和二維圖像處理技術都無法準確得到單個粗集料的表面積和體積，進而無法準確得出粗集料的表面積分形維數。陳開端[16]通過測定粗集料的吸水量來測量粗集料的表面積，采用10 顆粗集料表面積的平均值來消除誤差。但這種方法效率較低。利用三維掃描技術實現了單個粗集料表面積和體積的快速測量，可按照式(5)準確算得各粗集料的表面分形維數Ds。

式中：R為粗集料的比表面積；S為粗集料表面積；M0為粗集料的質量；ks/kv為粗集料體積系數與表面積系數比；xmax，xmin分別取粗集料的最大和最小線度尺寸dl，ds(長軸長、短軸長)；D為所求粗集料的級配分形維數；δmin為分形盒子的最小尺寸，在MATLAB中取0.06 mm。

圖6給出了不同粒徑粗集料的表面積分形維數計算結果。從圖中結果可以看出，在不同的級配粒徑范圍內，粗集料表面積分形維數對粒徑的變化趨勢相同，都隨著粗集料粒徑的增大而減??；對比圖5 和圖6 可以發現，粗集料的級配分形維數和表面積分形維數，在相應級配范圍內，都隨著粒徑的增大而減??；不同的是，相對于表面積分形維數，級配分形維數與粗集料粒徑的相關性更強，整體隨粒徑的增大呈下降趨勢。

圖6 粗集料表面積分形維數對粒徑的變化關系結果Fig.6 Relationship between aggregate surface integral dimension and particle size change results

1.4.3 粗集料表面粗糙度

基于三維掃描得到的粗集料表面積和體積參數，可以描述粗集料表面的粗糙程度。粗集料表面越粗糙，在增大粗集料表面積的同時，并不會造成粗集料體積的大幅度增加。通過式(6)計算得到粗糙度指標(即粗集料真實表面積與體積的比值μ)，來對粗集料的粗糙程度進行評價。粗集料越粗糙，單位體積的粗集料表面積越大。

式中：S為粗集料表面積；V為粗集料體積。

圖7 為不同粒徑粗集料的表面粗糙度計算結果，圖8進一步給出了粗集料表面積分形維數與粗集料粗糙度之間的關系結果。

圖7結果顯示，隨著粗集料粒徑的增大，粗集料表面粗糙度呈現明顯降低。從圖8 中可以發現，粗集料的表面分形維數隨著粗集料粗糙度的增大而呈現增加趨勢，兩者具有較好的相關關系。這可從2個參數的涵義得到解釋，粗集料的表面積是符合分形特征的，由式(5)可以得出，粗集料表面積分形維數隨比表面積的增大呈現非線性增加[8]；由式(6)推導出粗集料粗糙度與比表面積的換算公式(7)可知，粗集料粗糙度同樣隨比表面積的增大而增大。由此可知，粗集料的表面積分形維數與粗糙度之間具有較好的相關性。

圖7 不同粒徑粗集料的表面粗糙度隨粗集料粒徑的變化結果Fig.7 Surface coarseness of aggregates with different particle sizes varies with aggregate particle sizes

圖8 粗集料表面積分形維數與粗糙度的變化關系結果Fig.8 Relationship between aggregate surface integral dimension and roughness

式中：M0為粗集料質量；S為粗集料表面積；ρ為粗集料密度；R為粗集料比表面積。

2 基于級配分形維數的粗集料級配分析

2.1 粗集料顆粒級配與分形維數的關系

從上述得到的粗集料級配分形維數結果可發現，在不同粒徑區間內，粗集料的級配分形維數呈現出隨粗集料最大粒徑增加而減小的變化規律，這表明粗集料級配與其級配分形維數之間存在密切聯系?；陬w粒體系最緊密堆積原理以及FULLER 等[17-18]提出的顆粒級配計算模型，并結合李國強等[7]的研究結果，可推導得到粗集料級配分形公式，如式(8)所示。

式中：P(x)為最大粒徑為x的粗集料通過率；D為連續級配粗集料的平均級配分形維數Dc；x為粗集料的最大線性尺寸(長軸長dl)；xmax，xmin分別為連續級配區間的最大、最小粒徑。

式(8)中指數“3-D”是分布模量參數，這個參數對于粗集料級配的合理性非常重要，參數的取值不同，所得結果也不同，這取決于分數維數D的合理計算獲取，分形維數D代表粗集料系統顆粒粒徑分布特征參數。本文采用上述按質量加權得到連續級配粗集料的級配分形維數作為公式中的D。根據前述得到的5～20 mm 連續級配粗集料的級配分形維數Dc(2.768)，代入式(8)中，可得到粒級范圍級配通過率函數如式(9)所示：

2.2 試驗驗證

采用篩分試驗對粗集料級配與級配分形維數關系的合理性進行了驗證?；诂F行規范選擇5～20 mm 連續粒級的碎石粗集料5 kg，通過篩分試驗得到各粒級的通過率，如表2所示。

表2 試驗選取的5～20 mm粗集料篩分粒級分布結果Table 2 Grain-size distribution results of 5～20 mm aggregate screen selected in the test

由圖9中的結果可知，式(9)計算得到的級配通過率曲線與篩分試驗測試值兩者具有高度的一致性。這表明可由式(9)計算得到合理的顆粒級配組成。因此，可利用激光三維掃描和數值分析技術，精確得到粗集料級配分形維數，從而實現粗集料級配的表征。

圖9 粗集料級配的數值分析結果和篩分試驗結果對比圖Fig.9 Comparison of numerical analysis results and screening test results of aggregate gradation

3 結論

1) 激光三維掃描和數值分析技術可快速重構出粗集料的真實形狀并準確測量出三維形狀參數，實現了粗集料形狀更準確表征。

2) 根據三維掃描技術得到的粗集料三維形狀參數，提出了球度、長短軸長之比和粒徑離散度3個指標，均可較好地對粗集料形狀特征進行表征評價。其中，長短軸長之比指標表征評價粗集料形狀特征更具顯著性和敏感性。

3) 采用數值技術進一步處理三維掃描測試結果，可快速得到粗集料的級配分形維數、表面積分形維數以及表面粗糙度指標，實現了粗集料幾何特征的數值描述和評價。粗集料級配分形維數、表面分形維數均隨著顆粒粒徑不同而變化，且表面分形維數與表面粗糙度之間存在密切聯系。

4)采用質量加權得到的粗集料級配分形維數，建立了粗集料顆粒級配通過率計算函數，計算結果與試驗結果一致，為粗集料顆粒級配分析的數字化、高效化提供了技術支持。