基于修正韌性耗散損傷的非線性疲勞可靠性分析

高凱 ，高鑫

(1.重慶渝富產城運營建設發展有限公司，重慶 401121；2.重慶大學 土木工程學院，重慶 400045；3.貴州省質安交通工程監控檢測中心有限責任公司，貴州 貴陽 550000)

在交變荷載作用下材料易出現疲勞損傷，影響結構的使用安全，嚴重時將產生重大事故，如2018 年意大利熱那亞莫蘭迪公路橋就因斜拉索疲勞損傷導致垮塌，造成43人死亡[1]，故亟待針對材料或結構的疲勞性能評價展開研究。由于材料或結構在疲勞損傷過程中，受到材料隨機性、荷載不確定性等因素影響，致使材料或結構的疲勞破壞具有較強隨機性[2]，為此，能較好考慮隨機性的可靠度分析方法成為了疲勞損傷評估中的常用方法[3]。在疲勞可靠度分析中，疲勞狀態方程的建立非常關鍵，而基于疲勞損傷累積模型的可靠性建模方法能考慮材料的時變歷程，能更好反映結構的時變特性，與工程實際較為符合，近年來得到了廣泛應用[4]。目前，常用的疲勞損傷累積模型主要有線性和非線性模型[5]。其中MINER 準則因原理和規則簡單，是線性模型中應用最廣泛的一種，但該模型的損傷累積規則簡化了疲勞失效過程機理，忽略了多級變幅荷載作用時荷載次序、荷載相互作用等因素的影響，使疲勞損傷評估出現較大偏差[6]。雖然基于損傷曲線、能量法、材料物理性能退化法、連續損傷力學等理論建立的非線性損傷模型，能夠在一定程度上考慮荷載加載歷史效應，但相關數學形式復雜，有的還需引入額外參數，難以直接應用于工程實際[7]。為此，對于實際工程中普遍存在的變幅載荷作用，亟需建立一種有效的疲勞損傷累積模型，從而更好實現疲勞損傷評估。從本質上分析，在交變荷載作用下，疲勞損傷是一個不可逆的能量耗散過程，因此選擇與疲勞能耗過程密切相關的物理量，用于表征材料或結構的疲勞損傷具有明確的物理意義[8]。為此，YE 等[8]基于材料韌性耗散提出了新的非線性疲勞損傷累積模型，該模型只含有一個參數，形式簡單，不需要其他試驗常數，故被大量應用于材料的疲勞性能評價[9]。但該模型不能考慮荷載間的相互作用，使得疲勞損傷分析精度受到一定程度影響，為此，大量學者對其進行了改進，使其能考慮荷載相互作用效應[10]。例如，路萬里等[11]利用前后對數應力幅值比函數改進了YE 模型，使其能分析多級變幅疲勞累積損傷的荷載相互作用效應，并用彈載記錄儀2級加載試驗進行了驗證。但所提改進模型在分析多級變幅疲勞損傷時，卻存在精度不足的問題，因此，必須對其進行進一步深入探討，使其能夠更為準確地表征多級變幅荷載作用下的疲勞損傷。為此，本文提出對數應力幅值平方比指數作為荷載相互作用效應因子，將其計入韌性耗散損傷模型，建立改進的非線性疲勞損傷累積函數；然后，利用改進模型建立疲勞狀態方程，并用概率密度演化方法(PDEM)對狀態方程進行分析，得到材料的非線性時變疲勞可靠度；最后，采用多級荷載材料試驗數據對所提模型和方法的適用性和準確性進行驗證。

1 基于韌性耗散的疲勞損傷模型

根據文獻[8]可知，材料的韌性是疲勞損傷過程中最為敏感的力學參量，為此，可以通過材料韌性在交變荷載作用下的耗散規律來建立疲勞損傷累積模型。YE 等[8]在大量實驗數據的基礎上，建立了材料韌性耗散與交變荷載作用次數的關系：

式中：UT是材料的靜態韌性；UT(0)和UT(Nf-1)分別是荷載作用0次和Nf-1次時的材料靜態韌性；n是荷載循環次數；Nf是材料在交變荷載作用下的疲勞壽命。

基于材料韌性耗散的疲勞損傷變量可以表示為：

式中：D(n)是材料在交變荷載作用n次后的疲勞損傷。將式(1)代入式(2)中，可得基于韌性耗散的疲勞損傷累積模型：

當材料的疲勞壽命Nf較大時，式(3)中的D(Nf-1)可以近似等于D(Nf)，D(Nf)是材料極限疲勞損傷，與材料特性有關，需通過試驗測試才能確定[12]。為便于確定交變荷載作用下的極限疲勞損傷，需對式(3)兩邊同時除以D(Nf)，則式(3)可以表示為：

式中：De(n)是相對疲勞損傷，當n=Nf時，D(n)=D(Nf)，則De(n)=1，即材料的極限相對疲勞損傷為1。因此，式(4)可定義為材料的疲勞損傷演化方程。

式(4)是恒幅荷載作用下材料的疲勞損傷，對于材料在多級變幅荷載作用下疲勞損傷可通過式(4)推導而得。現以2級變幅荷載作用為例，推導多級變幅加載情況下疲勞損傷累積模型，如圖1所示。

圖1 2級變幅荷載作用下疲勞損傷曲線Fig.1 Fatigue damage curves of two-level loading

從圖1 和式(4)可知，在第1 級荷載σ1作用n1次后，材料的疲勞損傷沿曲線oa為

根據疲勞損傷等效原理，第1 級荷載σ1作用n1次后疲勞損傷可轉換為第2級荷載σ2作用n′2次后疲勞損傷，即

根據式(5)和式(6)，可得等效循環次數為n2′/Nf2，結合式(4)可得前兩級荷載σ1，σ2作用下總疲勞損傷(曲線oabc)為

同理，依此類推，可得k級荷載作用下材料疲勞損傷累積方程為

從上式可知，基于韌性耗散建立的非線性疲勞損傷累積模型中，只含有各級荷載作用次數ni這個參量，不含其他力學參量，模型形式簡單，但該模型不能考慮荷載間的相互作用[8]，使得疲勞損傷評價精度受到影響，為此，需對模型進行修正。為了敘述方便，將該模型簡稱為YE模型。

2 改進的非線性疲勞損傷模型

為了修正YE 模型，部分學者利用相鄰2 級荷載大小比值描述荷載間相互作用效應，將其引入韌性耗散疲勞損傷累積模型中，使其能考慮荷載相互作用效應。例如，路萬里等[11]應用對數荷載比來修正疲勞損傷模型，但該修正模型在分析多級變幅荷載作用時，疲勞損傷預測存在較大誤差，為此，本節提出新的模型修正方法，提高YE 模型和路萬里修正模型的分析精度。

目前，對于多級變幅作用下疲勞損傷累積模型的推導是基于疲勞等效原理得到的，而常用疲勞等效原理采用的是簡單的等值線性等效規則，如式(6)。但通過大量研究表明，多級變幅作用下疲勞損傷的等效，不滿足等值線性等效規則，而是與荷載大小有關且成函數關系[11]，即

而根據相關研究表明，前后荷載等效關系滿足冪函數等效規則[11]，即式(9)可表示為

從式(10)可知，冪函數指數f(σ1,σ2)的形式對等效規則有較大影響，而根據文獻[11]的函數形式，提出了對數荷載平方比來考慮2級荷載相互作用效應，具體形式可表示為

通過對數荷載平方比指數來增大荷載相互作用效應，提升疲勞損傷模型預測精度。將式(11)代入式(10)，并結合式(6)和式(7)的推導規則，可得2級荷載作用下第1 級荷載的等效疲勞損傷循環次數為

根據式(7)和式(12)，2 級荷載作用下疲勞累積損傷為

以此類推，可得k級變幅荷載作用下疲勞累積損傷函數為

根據式(4)知，材料疲勞累積損傷為1，結合式(14)，可知k-1 級荷載作用后，材料在第k級荷載作用下疲勞剩余壽命分數為

式(14)和式(15)即為所提改進非線性疲勞損傷累積模型，模型中既有前后2級荷載比值，也含有荷載循環比，能夠有效地體現荷載次序效應、荷載相互作用效應。此外，模型中僅含有荷載作用次數ni和荷載應力幅值σi2 個基本參數，通過試驗數據比較容易確定，不需要引入其他參量，方便實際工程疲勞分析應用。

3 非線性疲勞可靠度分析

3.1 極限狀態方程建立

在對材料進行疲勞可靠度分析時，需建立疲勞損傷狀態方程，為此，本節基于改進非線性損傷累積模型，構建材料疲勞狀態方程G：

式中：Dec是材料疲勞損傷極限值，根據式(4)知，Dec=1。當G(n)＞0 時，材料未到疲勞損傷極限，處于安全狀態。根據研究表明[7]，材料的疲勞壽命Nfi具有較強隨機性，而式(16)中只包含各級荷載作用對應疲勞壽命Nfi這個隨機變量，故材料疲勞狀態方程式(16)為概率保守系統。

3.2 可靠度分析方法

PDEM法對非線性問題具有較好適應性，且計算精度和效率較高，能分析時變可靠度，為此，對疲勞狀態方程進行可靠度分析時，可采用PDEM法進行計算[6]。基于概率守恒原理，式(16)的概率密度函數(PDF)隨時間演化的規律可表示為：

綜上所述，本研究發現ER陽性乳腺癌細胞在對他莫昔芬產生耐藥性后，增殖相關蛋白的表達水平升高，同時PGRN的mRNA和蛋白水平也升高；而干擾PGRN表達后，增殖和抗凋亡相關蛋白的表達水平下降，耐藥細胞對他莫昔芬的敏感性增強。后續本課題組將深入探討PGRN影響他莫昔芬耐藥產生的具體分子機制，尋找其上游調控分子以及下游效應分子，以期為臨床上治療對他莫昔芬抵抗的乳腺癌患者帶來新的機遇和希望。

式中：Θ是影響物理量變化的隨機變量，即各級荷載作用對應疲勞壽命Nfi；θ是隨機變量Θ 的子集；pGΘ(g,θ,t)是增廣系統(G,Θ)的聯合概率密度函數；ΩG×ΩΘ是增廣系統(G,Θ)的空間。式(17)經數學處理和變換后，可得增廣系統(G,Θ)的廣義概率密度演化方程：

式中：g是疲勞損傷狀態值G中的一個元素；?(θ,n)是疲勞狀態函數式(16)的變化率。式(18)在初始時刻n=0的初始條件為：

式中：δ(·)是Dirac 函數。聯合式(16)和(19)對式(18)進行求解，并在隨機變量空間ΩΘ上積分，可得到疲勞損傷隨時間變化的PDF：

對式(20)在(0,1]空間內進行積分，可得材料的時變疲勞可靠度概率為

3.3 基于PDEM的非線性時變可靠度求解

獲得式(18)的解析解是非常困難的，為此需采用數值求解法進行分析，具體步驟如下[6]。

步驟1：隨機變量Θ 空間ΩΘ的離散。利用選點方法選擇均勻代表點[13]，用代表點將空間ΩΘ離散為多個子空間，并對各子空間進行積分，得到各代表點的賦得概率。

步驟2：疲勞損傷狀態量的獲取。將步驟1 的代表點代入式(16)得到疲勞損傷狀態量和變化率。

步驟4：疲勞可靠度概率的分析。將步驟3 得到的PDF 代入式(20)得到pG(g,n)，并用式(21)得到材料疲勞可靠度概率曲線。

4 數值算例

為驗證所提模型在疲勞壽命預測和可靠度分析上的可行性和有效性，利用常用材料試驗數據，將所建疲勞損傷模型與已有模型的疲勞壽命預測和可靠度計算結果進行對比。

4.1 疲勞剩余壽命分數預測

以動車鋁合金焊接接頭、鋁合金6082T6 等2種材料在多級變幅荷載作用下疲勞試驗數據為對象[14]，對比MINER 模型、YE 模型、路萬里模型和本文模型的疲勞壽命分數預測精度，具體結果如表1～2所示。

表1 2級荷載下動車鋁合金焊接接頭試驗數據及剩余壽命分數預測結果Table 1 Test data and life prediction fraction of the aluminum alloy welded joints of EMU under two-level loading

表2 4級荷載下鋁合金6082T6試驗數據及剩余壽命分數預測結果Table 2 Test data and life prediction fraction of the aluminum alloy 6082T6 under four-level loading

從表1～2 可知，MINER 線性模型疲勞壽命分數預測誤差最大，YE模型預測誤差較MINER模型小，而路萬里改進模型對不同材料疲勞壽命分數預測誤差，較YE 模型大，表明路萬里模型對YE模型的改進效果不佳；本文所提模型在多級加載下多數情況預測誤差，較YE 模型小，最小誤差僅1.43%，表明所提模型對YE 模型和路萬里模型有較好的修正效果。

4.2 疲勞可靠度分析

以16Mn鋼的2級荷載試驗為依托[15]，利用本文模型和可靠度方法分析高低荷載(H-L)：394 MPa→373 MPa 和低高荷載(L-H)：373 MPa→394 MPa 作用下材料的時變疲勞可靠度，并用MINER 模型、YE 模型、路萬里模型和試驗數據進行對比分析，驗證所提模型在可靠度分析上的精度。通過試驗得到常幅荷載373 MPa和394 MPa時，16Mn鋼的疲勞壽命Nf服從正態分布，其統計特征分別為Nf1～N(196 720,27 322)，Nf2～N(113 893,25 130)。所得時變可靠度曲線如圖2所示。

從圖2 可知，在2 級加載作用時，本文模型所得疲勞可靠度曲線與試驗數據的擬合效果好于YE模型和路萬里改進模型，與試驗結果之間的擬合精度提高了30%，表明所提模型能更好考慮多級荷載作用下荷載次序、荷載相互作用效應，應用于材料時變疲勞可靠度計算時，能得到更高的計算精度。

圖2 不同模型所得疲勞可靠度曲線Fig.2 Fatigue reliability curves of different models

5 結論

1) 利用變幅荷載對數應力平方比、循環比和實時損傷狀態參量對葉篤毅模型進行修正，所改進非線性疲勞損傷模型能較好處理多級變幅作用下的加載歷史效應，且引入參數較少，能更好表征疲勞損傷演變特征，更適合用于疲勞剩余壽命分數預測。

2) 基于所提模型和PDEM 法，建立了材料非線性時變疲勞可靠度分析方法，與傳統模型相比，所提方法能更為全面考慮多級變幅作用加載歷史效應，且能較好分析時變疲勞可靠度。

3) 通過試驗算例表明，所提模型在多級變幅荷載作用下的疲勞壽命預測精度高于傳統MINER線性模型、YE 模型和已有路萬里改進模型，與PDEM結合后的可靠度分析結果也表明所提模型的可靠度計算精度更高，且能進行時變可靠度分析，為此，所提模型和方法更適合工程實際應用。