時變流體中懸臂梁的振動特性分析

邵明玉，李 濤，馬馳騁，張忠偉，邵素娟

(山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255000)

流固耦合系統廣泛存在于海洋石油管道、水下設備、船舶、潛艇和潛射彈道導彈等應用中，周圍的流體會對結構的頻率和阻尼產生不同程度的影響。在某些情況下，結構會在流動或變深度的流體中振動，流體的流動速度及浸沒深度會對結構的振動產生額外的附加效應。為了對結構的振動進行抑制或主動控制，保證結構安全工作，必須對結構在時變流體中的振動特性進行詳細分析。

在流固耦合特性研究中，大都忽略流體黏性和時變特性的影響，將流體對結構的作用簡化為附加質量[1]，以分析其對結構頻率的影響，而流體本身的運動則基于速度勢理論求解[2-3]。對于尺寸較大的結構，雷諾數較大，不計黏性引起的誤差很小，可以忽略。而對于微尺度結構，雷諾數較小，黏性對結構的頻率和阻尼均會產生較大的影響。針對懸臂梁在黏性流體中的振動問題，Blom等[4-5]將梁簡化為串珠模型，求解了作用在梁上的流體力，分析了梁在黏性流體中的頻率和阻尼。Kirstein等[6]基于N-S方程求解了無限長圓柱體在流體中振動時的流體動力學函數，并分析了懸臂梁在黏性流體中的振動問題。Sader等[7-10]對圓柱梁的流體動力學函數進行了修正，導出了矩形截面梁的流體動力學函數，并研究了矩形截面懸臂梁在不同流體環境中的振動特性。隨著計算流體動力學的發展，Liu等[11-13]對梁在流體中的振動穩態進行了數值分析，并通過雙向流固耦合方法研究了梁和運動流體間的相互作用[14]。

目前，懸臂梁流固耦合振動研究大都針對流體所引起的附加質量，以及微尺度機械中黏性的效應，而針對懸臂梁在流動或變深度液體中的流固耦合問題則研究較少。

本文基于N-S方程的近似解，導出了懸臂梁在時變流體中的運動方程，分析了流體浸沒深度、流動速度、黏性及梁幾何尺寸對流固耦合系統頻率和阻尼的影響，并通過紐馬克-β法求解了懸臂梁在下降流體中的瞬態響應。

1 數學模型

1.1 幾何模型

懸臂梁在時變流體中振動的流固耦合系統如圖1所示。懸臂梁的下端固定，上端自由，梁的總長度L=180 mm，厚度δ=1 mm，寬度b=10 mm，材料為鋁。流體從容器底部流入或流出，速度為v(t)，沿著梁長度方向(x方向)為正，流體浸沒梁的深度為h(t)。流體的種類為水或重油。

圖1 流圖耦合系統示意圖

1.2 流動動力學函數

懸臂梁在流體中做橫向振動時，梁上作用的流體力可通過周圍流體的N-S方程而求得。忽略質量力，不可壓流體的N-S方程和連續方程可以表示為：

(1)

▽·u=0

(2)

式中：ρf為流體密度；u為流體速度矢量；p表示壓強；μ表示動力黏度，假設為常數。矩形梁做簡諧振動時，上述方程的理論解難以求得，可通過對圓柱梁的解修正得到。假設直徑為b的無限長圓柱在流體中以頻率ω做簡諧振動，其位移為：

u(t)=u0eiωt

(3)

單位長度圓柱體上的流體力可表示為[15]：

(4)

F(t)=mfω2Re(H)u0eiωt+imfω2Im(H)u0eiωt

(5)

將上式寫為圓柱的速度和加速度的函數，即：

(6)

式中：βa=mfRe(H)，表示流體引起的附加質量；βv=-ωmfIm(H)，表示流體阻尼。

流體動力學函數H的完整表達式是一個復雜的貝塞爾類函數[6]，對于無限大的黏性流體區域，H可表示為：

(7)

式中：α=iRe，Re=ρfωb2/4μ表示雷諾數；K0和K1分別是零階和一階的第二類修訂貝塞爾函數。對于雷諾數足夠大的無限黏性流體區域，流體動力學函數H可以簡化為：

(8)

圖2(a)中給出了不同雷諾數下流體動力學函數的精確解和近似解。從圖中可以看出，當雷諾數Re>102時，近似解和精確解吻合良好。

矩形梁在流體中做簡諧振動時，周圍流體的運動與圓柱體對應的流場類似，其流體動力學函數可通過圓柱體的流體動力學函數修正而得到[6]，即：

H′(ω)=F(ω)H(ω)

(9)

式中：F(ω)是與頻率有關的修正函數[6]。

圖2(b)中給出了圓柱體和矩形梁在流體中簡諧振動時流體動力學函數的對比曲線，可以看出，當Re>102時，兩者相差很小。

圖2 不同雷諾數的流體動力學函數曲線

1.3 懸臂梁運動方程

假設梁在時變流體中橫向簡諧振動時，流體沿著梁長度方向的流動與流體隨梁的橫向振動互不干涉，即忽略長度方向的切應力，僅考慮梁橫向振動的流體阻力，單位長度梁上的分布載荷可表示為：

(10)

在圖1(b)中，坐標η表示流體沿著梁長度方向的坐標，取長度為dη的微元，并將微元上的載荷視為作用在η處的可移動集中載荷，則有：

(11)

根據歐拉-伯努利梁理論和牛頓運動定律，可得在微元集中載荷作用下懸臂梁的運動方程為[16]：

(12)

式中：EI為梁的抗彎剛度；ρb為梁的密度；A為梁的橫截面積；δ(x)為Dirac函數。

采用模態疊加法對梁的運動進行坐標變化：

w(x,t)=∑jφj(x)qj(t)

(13)

式中：φj(x)表示第j階模態振型；qj(x)表示第j階振型對應的廣義坐標。

研究表明，采用梁在真空中的振型可獲得足夠的精度[2]，即：

(14)

將式(13)代入梁的運動方程(12)可得：

(15)

求導后可得：

(16)

式中：v表示流體沿著梁長度方向的流動速度；a表示加速度。

將上式兩端同乘以φi(x)，并在(0，L)范圍內積分，可得：

(17)

假設運動流體微元對梁橫向振動的影響可以線性疊加，流體浸沒梁的高度為h(t)，忽略空氣對梁的作用力，將上式在(0，h)范圍內積分可得：

(18)

上式中，各矩陣元素的表達式為：

(19)

懸臂梁在時變流體中的運動方程可寫為：

(20)

式中：M0表示梁的廣義質量矩陣；K0表示梁的廣義剛度矩陣；Ma,Ca,Kaa,Kav表示由梁的加速度引起的附加廣義質量矩陣、廣義阻尼矩陣和廣義剛度矩陣；Cv,Kv表示由梁的速度所引起的附加廣義阻尼矩陣和廣義剛度矩陣。

從上式中可以看出，懸臂梁在時變流體中振動時，除流體本身的固有阻尼外，還有與流體運動相關的附加阻尼和附加剛度。值得注意的是，附加阻尼與流體速度成正比，當流體沿著梁長度方向下降時，將會引起負的附加阻尼，產生不利影響。

2 頻率特性分析

2.1 方法驗證

懸臂梁在流體中振動的固有頻率可通過求解下述特征方程的根而得到：

(21)

式中：ωf表示流體中梁的無阻尼自振頻率。

流體流動速度不大，或者梁的厚度較大時，流體所引起的附加廣義剛度遠小于梁自身的廣義剛度，梁在流體和真空中的固有頻率之間的關系可表示為：

(22)

式中：κn為無量綱附加質量因子。對于懸臂梁的一階振動，單位長度上的無量綱質量因子可表示為：

(23)

(24)

可見，對于真空中固有頻率一定的梁，其附加質量因子與流體的密度、黏性以及梁的寬度有關。文獻[3]中采用速度勢理論求解了梁簡諧振動時周圍無黏流體的運動，以及梁上作用的流體載荷，根據其方法得到的梁一階振動附加質量因子為：

(25)

式中：a1,a2表示梁到容器兩側的距離。

根據文獻[1]得到的梁一階振動時單位長度上的附加質量因子為：

(26)

對比式(24)可以發現，文獻[1]的方法沒有考慮黏性的影響。采用本文方法及文獻方法得到的懸臂梁完全浸沒在流體(水和重油)中的一階固有頻率見表1。結果表明，對于水和高溫時的重油，黏性的影響可以忽略，2種方法得到的結果吻合較好。而對于低溫時的重油，黏性引起的附加質量較大，不考慮黏性會引起較大的誤差。

表1 不同方法得到的懸臂梁一階固有頻率

2.2 參數分析

式(19)(21)(24)表明，對于真空中固有頻率一定的懸臂梁，其在流體中的固有頻率與流體的浸沒深度、黏性、流速及梁的寬度有關。

梁在水和重油中的一階固有頻率隨浸沒深度的變化如圖3所示。可以看出，當流體的浸沒深度較小時，梁的一階固有頻率基本不受影響，而當流體的浸沒深度超過梁長度的一半時，梁的一階固有頻率隨浸沒深度的增加而迅速降低，即對于梁的一階振動，其固有頻率主要受到自由端流體的影響。

圖3 不同浸沒深度的一階固有頻率變化曲線

雷諾數較小時，流體引起的附加質量會受到黏性的影響，而對于有些流體，黏性會隨溫度的升高而迅速下降，如重油。高溫時梁的彈性模量也會隨溫度升高而減小，但在本文研究的溫度范圍內幾乎不變，其影響可以忽略；此外，由于梁和流體具有相同的溫度，溫度應力的影響也忽略不計。

圖4給出了水和重油的黏性，以及完全浸沒的懸臂梁的一階固有頻率隨溫度的變化曲線。從圖中可以看出，水的動力黏度較小且隨溫度變化不大，梁的固有頻率基本不變，接近無黏解。而重油低溫時重力黏度較大，黏性使得附加質量較大，頻率較低；隨著溫度升高，動力黏性迅速下降，頻率逐漸增大，并趨向無黏解。

圖4 不同溫度的動力黏度和一階固有頻率變化曲線

當梁自身的剛度較小或流體的流動速度較大時，流體流動所引起的附加剛度對頻率的影響不可忽略。不同流體中，完全浸沒的梁的一階固有頻率隨流動速度的變化規律如圖5所示。可以發現，對于水和重油，梁的固有頻率均隨流動速度的增加而增大。從式(19)中可以發現，對于確定的梁，附加剛度還與流體的密度和黏性有關。對比15、100 ℃重油中的頻率，低溫時，重油的雷諾數較小，黏性影響更大，固有頻率隨速度的變化更加明顯。

圖5 不同流動速度的一階固有頻率變化曲線

除流體參數外，梁的寬度也會對其在流體中的固有頻率產生重要影響。圖6中給出了懸臂梁在不同流體中的一階固有頻率隨梁寬度的變化。結合式(24)可以看出，梁的寬度增加時，流體引起的附加質量逐漸增大，梁的一階固有頻率逐漸減小。

圖6 不同寬度的一階固有頻率變化曲線

3 阻尼特性分析

忽略懸臂梁本身的結構阻尼，梁在時變流體中一階振動的阻尼比可以表示為：

(27)

上式表明，系統的阻尼由2部分組成：一是流體黏性產生的固有阻尼，二是流體沿著長度方向移動引起的附加阻尼。可以看出，系統阻尼比同樣受到流體運動參數和梁尺寸參數的影響。

完全浸沒的懸臂梁一階振動的阻尼比隨流體流動速度的變化如圖7所示。

圖7 不同流動速度的阻尼比曲線

由圖7可以看出，流體的固有阻尼不隨速度發生變化，而附加阻尼隨流動速度的增加而迅速增大，總阻尼也隨流動速度的增加而增大。對于黏性較小的情況，隨著速度逐漸增大，附加阻尼成為系統阻尼的主導因素。

此外，還可以發現，當流體沿著梁長度方向下降時，將會引起負的附加阻尼，會對系統產生不利影響，甚至引發結構破壞。

完全浸沒懸臂梁的一階振動阻尼比隨溫度的變化如圖8所示。當溫度升高時，重油的動力黏性迅速減小，導致固有阻尼下降。重油中的附加阻尼也隨溫度升高而逐漸下降，但變化不大，系統總阻尼減小。而水的動力黏性隨溫度變化不大，系統阻尼基本不受溫度的影響。

圖8 不同溫度的阻尼比(v=1 m/s)曲線

梁的寬度也會對梁一階振動的阻尼比產生重要影響，如圖9所示。從圖中可以看出，隨著梁寬度的增加，雷諾數逐漸增大，黏性效應減弱，流體本身的固有阻尼減小，而附加阻尼則隨著梁寬度的增加而逐漸增大。因此，系統總阻尼隨梁寬度的變化規律較為復雜，需考慮流體黏性和流動速度綜合分析。如流體為100 ℃的重油時，系統總阻尼隨寬度先減小后增大，最小值出現在b/δ=5時。

圖9 不同梁寬度的阻尼比曲線(v=1 m/s)

梁的一階振動阻尼同樣隨浸沒深度而發生變化，如圖10所示。隨著流體浸沒深度的增加，流體的固有阻尼和附加阻尼均逐漸增大。從圖中可以看出，浸沒深度對阻尼的影響規律與其對一階固有頻率的影響規律是相同的，即主要在梁的自由端產生作用。

圖10 不同浸沒深度的阻尼比曲線(v=1 m/s)

4 瞬態響應分析

流體沿著梁長度方向上升或下降時，其頻率和阻尼均隨流體浸沒深度發生變化，且與流體流動速度有關。尤其是流體下降時，會引發負的流體附加阻尼，產生不利影響。因此，需要對梁的瞬態域響應特性進行分析。

采用紐馬克-β法求解流體下降時梁的瞬態響應。初始時刻，流體的深度h0=L。不同下降速度下，梁的位移響應和振幅時間歷程如圖11～13所示。

從圖11、12中可以看出，當流體黏性較小時，梁的一階固有頻率隨液面的下降逐漸增大，并逐漸接近或達到真空中的固有頻率，且頻率變化速率隨流體下降速度逐漸增大。

圖11 不同下降速度的瞬態響應 (水,15 ℃)

圖12 不同下降速度的瞬態響應 (重油,100 ℃)

圖13 不同下降速度的瞬態響應曲線 (重油,15 ℃)

隨著流體的下降，流體引起的阻尼逐漸減小，振幅隨時間的減小逐漸減弱。此外，流體的下降會引起負的附加阻尼，流體為水(圖11)和100 ℃重油(圖12)時，梁的振幅隨著流體下降速度的增大而逐漸增加。從圖11中可以看出，若流體下降速度繼續增大，系統的阻尼將會小于零，導致梁的振動發散，危害結構安全。而對于低溫時的重油，由于流體本身的固有阻尼較大，梁的振動迅速衰減，液體下降速度不大時，對梁的頻率和阻尼造成的影響很小，可以忽略，梁的瞬態響應特性變化不大。

5 結論

1) 流體流動會引起附加質量、附加阻尼和附加剛度，影響系統固有頻率和阻尼比。

2) 懸臂梁在時變流體中的一階固有頻率隨流體流動速度增大而增大，隨流體浸沒深度、流體黏性和梁寬度的增大而減小;而流體運動引起的附加阻尼則隨上述參數的增大而增大。

3) 懸臂梁在下降的流體中做簡諧振動時，頻率逐漸增大，阻尼減小，且變化率隨流體下降速度的增大而增大，當流體黏性較小時，下降流體引起的負阻尼會導致梁的振動發散，對結構產生不利影響。