為學生揭開數學專業名詞的神秘面紗

邵寬云

[摘 要]在“變教為學”的教學改革中，經常會有學生提出稀奇古怪的問題，看似天馬行空脫離課堂，實則大巧若拙、大智若愚。教師應關注學生提出的問題，思考學生提出這些問題的原因，將它們變為教學資源，促進教學提升。

[關鍵詞]數學專業名詞;幾何;方程;比例

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0035-03

數學算術中的“加”與“減”，它們的數學運算意義和生活意義基本相符，但是算術中的“乘”則與生活語言相去甚遠，學生更熟悉的是“乘車”“乘機”“乘人之?！钡?。而“乘”到了數學中，詞意大變，是求若干個相同加數的和的簡便運算，與生活中的含義完全不沾邊。此時，有的學生就會有疑問：“為什么單單挑中‘乘’來作為求若干個相同加數的和的簡算形式呢？”諸如此類的問題看似無理取鬧，與數學無關，但其中卻有很大的探討空間。比如，考證“乘”字字義的歷史演變，其本義是“人在樹上”，有“升高”之意，這個本義與乘法的定義“相同加數求和”不謀而合，都是一種“升級”，由低級升至高級。因此，學生的問題不該被忽視，教師應該順應學生的思維仔細解答，將問題闡述清楚。本文將通過一些典型案例來詳細說明。

一、“幾何”與“方程”的來歷考證

“幾何”一詞最早出現在明代學者徐光啟翻譯的歐幾里得的《幾何原本》。為何選用“幾何”這一代表數量多少的文言詞代表圖形？主要原因有二：其一，“幾何”是“Geometry”這一英文單詞的直譯，這個英文單詞具有“測量地球”的含義，而測量的目的無非就是探尋“多少”的問題，文言詞匯中“幾何”正好代表多少，這屬于意譯;其二，“Geometry”這個單詞的前綴“Geo”，發音酷似漢字“幾”的發音，所以夾帶音譯翻譯成“幾何”。還有說法是“幾何”是對英文單詞“Magnitude”的意譯。“Magnitude”的本意是“量”，凡是測量，目的不外乎探求數量，所以用“幾何”表示。

兩種說法的相同之處就是都與測量有關。不論孰是孰非，這些知識至少揭開了“幾何”這一詞的文化密碼，這些蘊藏在數學名詞背后的文化背景舉足輕重，可以讓學生明白“幾何”就是專門測量與計算圖形相關數據的學科分支。

“方程”這一數學專有名詞，與“幾何”不同，并非“舶來品”，是正宗的“中國制造”。由于年代久遠，其本意與數學意義漸行漸遠。也就是說，“方程”字面上的含義與“含有未知數的等式”的數學意義基本“失聯”。在古漢語中，“程”的初始意義是計量單位。比如，古籍記載“程者，權衡丈尺斛斗之平法”，就是把“程”作為一種轉化各種計量單位的工具。現代詞匯中的“程”仍然有這種含義，如“路程”就是測量路途的長度。據考證，“方程”一詞最早出現在《九章算術》第八章，作者的注釋為：“群物總雜，各列有數，總言其實，另每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程。”大意是，設有多個未知數的時候，就需要分行排列起來，有兩個未知數就排成兩排，有三個未知數就排成三排，有幾個未知數，就要排成幾路方陣，縱橫交叉，故名為方程。其中“方”指排列的方陣，是方形的意思，“程”就是度量大小結果的意思。這其實就是方程組。而在《九章算術音義》一書中，對“方程”則做了另一番耐人尋味的解釋：“方者，左右也。程者，課率也。左右課率，總統群物，故曰方程?！贝笠馐?，給未知數添上系數，讓左右等值，即為方程。拆開來講，“方”取左右之意，“課率”取系數之意，這種解釋與現代漢語中的“含有未知數的等式”遙相呼應，一脈相承。

從“幾何”和“方程”這兩個數學名詞的歷史考證來看，“幾何”主要與多少有關，不管是翻譯國外的文獻還是取材中國的典籍都是這個意思，這就說明有的數學術語在學者和專家提出的時候，首先就綜合考慮了外國和本國的語言優勢，做到“中西結合”，盡量創造出一個既利于本國人民理解又與國際接軌的語詞，這是在中國某方面的研究落后于他國的情況下才會發生的。一旦遇到本國的研究時間早于其他國家或者本國的研究成果優于其他國家的情況，就會堅決沿用地道的本國語言，即使是文言用詞也無妨。如“方程”一詞就是地地道道的文言詞，這樣的命名方式不僅可以保證本國的科技成果在文化基因上一脈相承，而且還可以培養學生的民族自豪感。

二、運算名稱須得咬文嚼字

數學專業術語由前人創制，經過歷史沿革流傳至今，由于文字本身的語意發生了變化，導致專業名詞本身也受到影響。比如，為什么加法的得數稱為“和”而非“合”？按字面意思理解，合并到一起似乎更貼切。“和”本義是林中鳥唱和的場景，后引申為演奏或者合唱時的和諧，和諧就是和聲一致，旋律統一，多個聲音像一個聲音一樣。由此推測，“和”是暗指“兩個及以上的元素混雜在一起，和諧統一，就像是一個”的意思。

比如，日常用語中的“和面”（音：huó miàn），意為在面粉中加水攪拌或揉弄，使面粉成團。棋牌游戲“打麻將”中的“和牌”（音：hú pái）也有將散亂的牌子組成一支隊伍的意思，這與加法的意義不謀而合。而“合”本義是“關閉”，后來引申為“聚集”，最后派生為合并到一起。

查閱《現代漢語詞典（第7版）》，“除”字義項下有“去掉”的基本釋義，也可引申為“分”的意思。若把除法運算解釋為“一個個減少”，就與乘法運算的“逐漸升高”對上號，形成互逆關系，其實就是現在課本中所說的互逆運算。6÷2可以讀作“6除以2”，也可以讀作“2除6”，這樣咬文嚼字的現象在數學概念中似乎并不常見，為何不直截了當地統一規定讀作“6除2”，豈不干脆？這其實是受文言文中的倒裝句的影響。所謂“6除以2”，其實是一個標準的文言文用法，翻譯成現代白話文應作“以2除6”。而另一種并行說法“2除6”其實是省去“以”字后的縮寫，也是解釋為“以2除6”，轉換成現代漢語，都是用2去分6的意思。

分數的讀法也遭遇這樣的曲折。[2/3]現在統一讀作“三分之二”，其實還有一段原委。文言讀法是“分三之二”，“之”就是結構助詞“的”，所以“分三之二”就是“分為均等的三份，取得這樣的兩份”，與分數的意義高度吻合。

類似的情況還有，除法計算的結果為何稱為“商”？“商”這個字常見的意義是“商量”。這與古代的計時器——漏壺有關，漏壺通過漏箭指向的刻度來標記時間?！吧棠寺┘讨?。”由此看出，“商”在古代就是一種計時器的刻度，刻度就是標準。所謂“商量”，是先確立“商”這個標準，然后再來測量——“量”（音：liáng）。小學除法中的“包含除”概念，其實就是先制定標準，即一份是多少，再求一共有這樣的幾份。這樣就貫通了“商”的本義與其數學含義。

看似稀松平常的和差倍分乘除運算，其實也大有文章。研究這些并非毫無意義。學生學習這些運算之初，其實只是按照教師的引導來認知，掌握算法意義后，理所當然地接受了這一稱呼，并未從漢語本身的含義去揣摩其意義，雖然可能會感到納悶，但最后還是習慣成自然，使其成為一個解不開的死結。通過對這些命名進行推敲考證，學生可以更加清晰地了解這種運算的本質和本源，“和”就是“應和”“附和”的引申，以及“和牌”“和面”等含義的綜合，發現其實兩數相加就是一種“同類量”的“和諧共處”，比“合”更貼切。“除”和“除以”的倒裝用法，不但揭示出其與連續減法的內在聯系，更是將文言文中的簡練遷移到現代數學語言中，實乃高明之舉，包括后面“商”的命名與測量器具有關，這些都反映出了中華傳統文化和優秀物質文明的先進性和優越性。

三、“正比例”和“反比例”的種屬問題

比和比例，以及正比例和反比例的概念是小學數學中的難點。這幾個概念關聯度很大，但是又略有區別，最大的麻煩是這些半文不白的名詞，有的一個字，有的兩個字，看著相差不大，卻更令人費解。如“比例”就比“比”多一個字，而“正比例”“反比例”又比“比例”多一個字?！罢壤薄胺幢壤笨珊喎Q為“正比”“反比”，但其實“正比”“反比”都不是一個比例，“比例”是兩個相等的比連接起來，如“8∶4=2∶1”，而“a∶b=4”才是表示a與b成正比，“a×b=4”才是表示a與b成反比，正比和反比是表示兩個變量關系的。但是，既然這樣命名，必然有其道理，包括“比例”為何是兩個“比”，這些疑團都可以通過咬文嚼字以及考證歷史來解開。

“正比例”和“反比例”分別用“正”和“反”這一對反義詞來做定語，那么正比例和反比例是不是數學意義上的比例？首先回顧“比例”的定義，這個語詞中，“比”并非“例”的定語?！墩f文解字·人部》是這樣解釋“例”字的：例，比也。這表明“比例”實際上是一個單純詞，用兩個意義相同的字組成表示同一個意思的雙音節詞，其背后的隱喻是“兩個相同的比”。因此，“比例”的權威定義是表示兩個相等的比，或者將比值相等的兩個比用等號連接起來，如“1∶2=2∶4”就是一個比例。

上述基于除法運算的比例叫作幾何比例，還有一種比例叫作算術比例，它們都出現在19世紀的歐洲，后者表示兩個“差”相等的關系，如“25-16=100-91”就構成一個算術比例。算術比例有一個特性，即如果順次寫出比例的前后各項：25、16、100、91，那么兩“外項”之和等于兩“內項”之和，也就是25+91=100+16。這個特性與幾何比例中“兩內項之積等于兩外項之積”有著異曲同工之妙。

正比例和反比例是否屬于比例家族中的特殊成員？教材中的相關定義是，比值固定的兩個變量成正比例關系;乘積恒定的兩個變量成反比例關系。從教材中的定義分析，正比例和反比例都統一指向“兩個量之間的某種特定關系”，而并非兩個除法意義上的“比”之間的對等關系。因此斷言，正比例和反比例都應該在比例范圍之外?！罢迸c“反”作為比例的定語，改變了比例的詞性。雖說如此，但正比例、反比例和比例還是頗有淵源的。

正比例和反比例的意義古今有別。首先單獨定義“正比”和“反比”，如果把“a∶b”定義成一種正比，那么調換順序后的比例“b∶a”或者“[1/a]∶ [1/b]”就是反比。此處的“正”“反”可謂一語雙關，第一種是比的前后兩項交換位置，顛倒次序;第二種則是將兩項都各自顛倒過來取倒數。把正比“a∶b”改寫為“[1/a]∶ [1/b]”后，稱后者為反比例，意思是反前者而得。

耐人尋味的是，如果對一個正比連續運用兩種方法取反比兩次，比值守恒，用符號表示就是a∶b=[1/b]∶ [1/a]，這樣就可以與現在的定義對接。若稱“a∶b=c∶d”為正比例，那“a∶b= [1/d]∶ [1/c]”則理所當然稱為反比例。即使在英文中，“反比例”亦有雙重含義，一種是“Inverse Proportion”，另一種是“Reciprocal Proportion”。其中前一個單詞表示兩項對調，后一個單詞則是對兩項各自取倒數的意思。之所以有正比例這一說法，是因為比值與其相等的另一個反比例對立共生、相互依存。不管是正比例還是反比例，都已成為古籍中記載的歷史，都屬于比例中的特例，與通用意義大有不同，不可混淆。

應當相信，學生學習中產生的“多此一問”往往是有據可查的，這些問題應當受到重視，作為教師開發新課程的契機。因此，在“變教為學”的教學中，教師應當大膽開放提問權，勇敢正視任何問題，并通過各種渠道解決問題。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 劉久成.小學數學“簡易方程”內容量化分析：基于人教版三套教科書的比較[J].課程·教材·教法，2019，39（08）.

[2] 閆敏.方程思想在小學數學教學中的應用[J].華夏教師，2019（02）.

[3] 俞蕊.小學數學解方程知識的教學策略[J].教育觀察，2019，8（30）.

[4] 劉憲升.關于梯形有關概念教材編寫及二次開發研究（三）：梯形教材編寫的二次開發設計[J].小學教學參考，2020（20）.

[5] 何穎.實施“說理”教學 提升小學生數學素養[J].名師在線，2021（26）.

[6] 朱麗紅.“讓學”理念指引下的小學數學教學探索：指向學科核心素養培育[J].教育研究與評論（小學教育教學），2021（09）.

（責編 吳美玲）