模型思想在小學數學教學中的滲透

黎斌

[摘 要]模型思想是數學核心素養之一。作為一種基本的數學思想方法，模型思想可廣泛應用于多種現實情境，解決許多實際數學問題，具有很高的價值。 模型思想的構建是一個循序漸進的過程，在教學中要從學生的實際出發，結合學生的年齡特點逐步滲透，讓學生從生活情境中抽象出數學模型，在建模、用模過程中感受模型思想的作用與價值。

[關鍵詞]模型思想;小學數學;建模

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0096-03

模型思想是數學核心素養之一。課程標準指出，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等來表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。培養模型思想，就是要讓學生體會和理解數學與外部世界的聯系，探尋數學問題中的變化規律。學生的學習是從簡單到復雜、從具體到抽象的，學生在此過程中逐步積累經驗，養成運用模型思想去思考的習慣。模型思想作為一種基本的數學思想方法，可廣泛應用于多種現實情境，解決許多實際的數學問題。數學模型在小學數學中隨處可見，公式、數量關系式、方程、不等式等都是重要的數學模型，學生學習數學知識的過程，實際上就是理解、把握和運用數學模型的過程。因此，在小學數學教學中，教師要結合學生學習特點及認知規律，有意識地培養學生的模型思想，促進學生核心素養的發展。

一、結合年齡特點，讓學生初步形成建模意識

模型思想需要教師在教學中向學生逐步滲透。學生的學習過程是一個從簡單到復雜、從具體到抽象的過程，教學中，教師要從學生的實際出發，結合學生的年齡特點和不同學段的要求逐步滲透。

1.第一學段：聯系生活實際，抽象基本的數和圖形，初步滲透模型思想

第一學段的學生，思維以具體形象思維為主，并向初步的抽象邏輯思維發展，對概念、數量關系的學習需要借助具體實例和直觀特征。教師要從學生熟悉的生活情境中出發， 引導學生在情境中觀察、發現、提出問題，并在問題情境中解決問題，即從具體的生活情境中抽象出數學問題，并用數學符號表示其中的簡單現象。

如一年級教學“3+2=5”時使用的情境中有小松鼠，教師讓學生用圓片或小棒等實物代替小松鼠，將這個問題擺一擺、說一說。學生能夠說出“左邊有3只小松鼠，右邊有2只小松鼠，一共有5只小松鼠”和“左邊擺3個圓片（或3根小棒），右邊擺2個圓片（或2根小棒），合起來可以用‘3+2=5’來表示”。之后，教師再進一步讓學生說一說2、3、5分別表示什么。最后，教師讓學生說說在生活中“3+2=5”還可以表示什么。有的學生說“草地上原來有3只小鳥，又飛來2只，一共有5只小鳥”，還有的說“我有3支藍色的筆，2支紅色的筆，一共有5支筆”……這樣的教學設計是根據低年級學生的特點，從具體、形象的實例開始，再借助操作將知識內化和強化，最后通過發散思維和聯系思維加以擴展和推廣，賦予“3+2=5”更多的模型意義，初步滲透了模型思想。

2.第二學段：結合具體問題，抽象為更一般的模式，發展模型思想

第二學段，隨著年齡的增長，學生的思維水平和理解能力有了很大的提高，學生的思維由形象思維向抽象思維過渡。在這個學段，教師可以通過一些具體的問題引導學生觀察分析、對比總結。

如教學人教版五年級上冊“用字母表示數”時，教師可以創設魔術情境，讓學生置身在具體的情境中解決問題。

師：向盒子中放進1顆星星，能變出來5顆星星;向盒子中放進3顆星星，能變出來7顆星星;向盒子中放進10顆星星，能變出來14顆星星。向盒子中放進25顆星星，能變出來幾顆星星？

[學生回答：25+4=29（顆）]

師：放進任意顆星星時，有什么辦法可以表示放進和變出的星星數量？

生：我們經過思考、討論、交流，找到了如下關系。

放進？顆? ? ? ? ? 變出？顆

m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n

d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c

x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x+4

……? ? ? ? ? ? ? ? ? ……

教師引導學生觀察和辨析數量關系的正確性，再抽象出放進與變出的星星數量之間的關系式“x+4”。這個式子不僅能表示放進、變出的星星數量，而且能清楚看出變出的星星數量與放進的星星數量的關系。

高年級學生通過觀察分析，不僅能在腦中形成圖形公式，還會用字母表示運算定律和數量關系，比如乘法交換率、乘法分配率等，還有單價、數量、總價之間的關系。教師要有意識地引導學生運用、活用這些模型解決問題。如問題“一列復興號動車行駛速度為a千米/時，那么它0.5小時行駛的路程為（? ? ）千米，行駛1200千米用時為（? ? ）小時”。教師可以引導學生理解題中字母所表示的量，再用含有字母的式子表示數量關系或一個量，然后利用路程、時間、速度三者之間的數量關系模型，寫出表示題目中要求的路程和時間的關系式。讓學生經歷運用數學知識分析數量關系和運用數學模型解決問題的過程就是模型思想發展的過程，可以很好地促進學生數學思維的發展。

二、結合實際教學，讓學生經歷數學建模的過程

數學學習是一個再創造、再發現的過程，教學中，教師要為學生提供自主探索和合作交流的時間與空間，讓學生經歷“觀察—分析與處理—抽象—檢驗與修改”的過程，從結構化的現實情境中推導出數學模型，在解決實際數學問題中完成對數學模型的解釋與應用。

在數學的學習中，認識概念、掌握運算、探尋規律等，都是學生主動獲取知識、建立數學模型的過程。教師應讓學生從具體問題出發，經歷抽象、分析、比較、歸納、驗證等建模過程（如下圖）。

[抽象][分析][驗證][歸納][比較][具體情境][數學問題][數量關系][方案][優化（合理性）][列表（多樣性）]

具體方法以人教版教材四年級“租船問題”的教學為例。

1.結合實際情境，選擇合適的建模點

租船問題：“一共有32人，每條小船租金為24元，每條大船租金為30元，大船限乘6人，小船限乘4人。怎樣租船最省錢？”教師引導學生找出問題中的數學信息，抓住“怎樣租船最省錢”這個關鍵問題分析數量關系，羅列出各種可能的方案，為建模打下基礎。

2.充分經歷從“境”到“?！钡某橄筮^程

數學建?？梢宰寣W生聯系數學與現實世界，用數學的眼光去看問題。讓學生充分經歷從“境”到“?！钡某橄筮^程，這是模型思想的關鍵和重點。在租船問題中，學生羅列出幾種租船的方案后，分析比較各方案，圍繞關鍵問題“怎樣租船最省錢”，在調整、比較、推測中找到解決租船問題的一般方法：①先計算哪種船的人均租金更便宜;②假設所有人都乘坐人均租金更便宜的船，如果正好坐滿，無空座，那么這種租法最省錢;③如果沒坐滿，就調整方案，盡可能使得人均租金便宜，同時盡量做到讓船坐滿。學生通過計算、交流、對比、調整，得出最省錢的方案。學生從具體情境中，理解并掌握怎樣租船最省錢，體會實現最優化的方法就是一次從“境”到“模”的建模過程。

3.在實踐中驗證模型

建立模型只是一種解決問題的手段，更重要的是驗證這個模型是否有科學性、邏輯性，能否解決實際問題，能否形成新的理論、做出新的預測。因此，在驗證環節，教師既要引導學生利用列舉、排除、檢驗等方法，運用數學模型去實踐和解決實際問題，也要對解決的問題做出科學合理的闡述和解釋。例如建立了租船問題的解題模型后，可以通過兩次人數調整去驗證模型，第一次把總人數從32人調整為43人，第二次可以讓學生自己假設人數，看能否應用之前的方法去解決問題、解釋關系。

三、結合問題解決，發展學生模型思想

數學是極為抽象的學科，學習中需要學生的理解與創造，而構建模型是在掌握數學知識的基礎上對知識進行應用與創造。要想讓學生掌握模型思想，就要讓學生運用所建立的數學模型解決實際生活中的問題，使他們感受到模型的實際作用。

1.在解決問題中運用模型思想，讓學生體會建模的實用性

當學生具備了一定的模型意識，并且掌握了建模的方法后，教師要讓學生從模型走向生活，運用數學模型來解決生活中的問題，讓學生體會到數學模型的應用價值，體驗到所學知識的用處，這樣能促進學生對知識的深刻理解，培養學生數學實踐的能力和靈活運用知識的能力，實現知行合一。

在解決問題的過程中運用模型思想，一方面體現在基本題、變式題、拓展題中。如教學“圓的面積計算”，在學生經歷了猜測（如猜測圓可以轉換成學過的什么圖形）、探究（如動手操作、交流、討論）、總結（如概括出圓的面積計算公式）、練習（如運用公式解決基本問題）后，教師可以設計拓展題：把一只羊拴在一塊長8米、寬6米的長方形草地上，拴羊的繩子長2米，那么這只羊能吃到多大面積的草？要使羊吃到的草的面積最小，應該將羊拴到這塊長方形草地的什么位置？這個問題能調動學生的多種感官，讓學生經歷觀察、思考、猜測、估計、操作等具體的學習活動，在解決實際問題過程中搜集大量的信息，并從中剔除無用信息留下有用信息，構建數學模型，最后運用數學模型解決問題。

另一方面體現在生活中的實踐作業，學生在實際生活中應用數學，了解數學與生活的聯系。如教學“比例的知識”時，教師可以設計實踐活動：在不把旗桿放倒的情況下測量旗桿的長度。這一活動的設計與學生的生活相結合，能讓學生體會數學與外部世界的聯系，促使學生結合學習的內容自主尋找解決問題的方法，經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，在求出結果后回到現實情境中檢驗結果的合理性。

2.在問題解決中鞏固模型思想，發展學生數學思維

問題解決是學生應該具備的基本能力，它包含從數學的角度去發現問題、提出問題、分析問題和解決問題。從某種程度上來講，問題解決就是數學建模的教學，讓學生在無意識的狀態下經歷建模的過程，經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋應用的過程。如俞正強老師執教的“植樹問題”一課中，俞老師先引導學生理解了點和段的關系及植樹要植在點上，再用問題“植樹人把樹種在點上，我們生活中還有什么事也是做在點上”引導學生，學生立馬就能從生活中找出例子，如在桌子上每隔一段距離放一個水杯，馬路邊每隔一段距離有一盞路燈，這種有價值的問題既能拓展學生的思維，又能發展學生的模型思想。隨后俞老師還補充了“高速公路上每隔十幾千米設一個服務區是不是植樹問題”“某班級每年選一次班長是不是植樹問題”等問題，讓學生的認知層層推進，思維得到發展。接著俞老師提出“在一條100米的小路一邊種樹，每隔5米種一棵，一共要種多少棵樹”這個問題，讓學生在開放的情境中理解生活中的實際問題，建立兩端都種、只種一端、兩端都不種等模型，再說出生活中的實例，讓學生進一步理解這個模型與平均分有關。學生在推進式的問題解決過程中探尋出數學問題的變化規律，發展模型思想。

總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應該蘊含在概念、命題、公式、法則的教學之中，并且要與數感、符號意識、空間觀念等數學思想的培養相結合。在具體的教學實踐中，教師要多措并舉，逐步培養學生的模型思想，讓學生形成良好的思維習慣和運用數學的能力，使模型思想在小學數學教學中得到更為廣泛的應用。

（責編 楊偲培）