從表象思維、具象思維到抽象思維的跨越

曹麗麗

[摘 要]“表面涂色的正方體”屬于數學綜合實踐的教學內容。數學綜合實踐活動課以學生生活經驗為背景，以現實問題為載體，讓學生動手實踐、自主探究，從而發現、歸納、總結數學規律，發展自身的表象、具象和抽象思維能力，形成數學核心素養。

[關鍵詞]表象思維;具象思維;抽象思維;表面涂色;正方體

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0072-03

鐘啟泉教授認為，教育的本質在于人的成長，成長的主旨是更為優質的經驗的重建。“表面涂色的正方體”屬于數學綜合實踐的教學內容。數學綜合實踐活動課以學生生活經驗為背景，以現實問題為載體，讓學生動手實踐、自主探究，從而發現、歸納、總結數學規律，發展自身的表象、具象和抽象思維能力，形成數學核心素養。

課程標準增設了“實踐與綜合應用”的內容。數學綜合實踐活動課是學生在教師的指導下，以現實問題為載體和背景，在原有的數學基礎上，以自主探究為基本形式，去發現、歸納、總結數學規律，培養獨立思考能力和解題能力的課程。這種課程的內容和形式是數學課程改革的一個突破點，也是一個亮點，同時也給教師提出了一個可研究的課題。筆者以蘇教版數學教材六年級上冊第一單元“表面涂色的正方體”教學為例，淺談如何讓學生的思維從表象到具象再到抽象。

一、從生活情境出發，幫助學生建立表象思維

表象是經過感知的客觀事物在頭腦中再現的形象。表象不僅僅是一種映象，還是一種操作，心理操作以表象的形式進行，即表象思維。從信息加工的角度來講，表象是當前不存在的物體或事件的一種知識表征，這種表征具有鮮明的形象性。小學生的表象思維從建立具體直觀的形象開始，所以筆者在導入環節采用“給面包涂番茄醬”的具體情境，初步建立涂色正方體的生活表象。

【鏡頭1：想吃涂上更多番茄醬的面包】

師：同學們，你們喜歡吃面包嗎？周末，我在家做了一個面包（出示圖片），為了增加它的口感，我在它的表面涂了一層番茄醬，然后切成小塊（課件演示）。我特別喜歡吃番茄醬，你們建議我選擇哪塊面包呢？

（在一塊面包表面涂上番茄醬，把學生引入生活情境，激起他們的已有經驗。學生借助情境很快找到了自我學習的“舒適區”。學生發現涂上番茄醬的面包被切成小塊后，每小塊面包表面涂到番茄醬的情況是不一樣的：有的涂到了，有的沒有涂到;有的雖然涂到了，但是涂到的番茄醬的量不同）

師：究竟哪些面包塊涂到的番茄醬多？哪些面包塊涂到的番茄醬少呢？讓我們一起帶著這個問題開啟今天的學習之旅吧！（板書：表面涂色的正方體）

【分析】

學生對在面包表面涂番茄醬這個舉動有切身體會，能直觀感受到這個現實情境，迫切想解決這一重要問題，對本節課內容的學習興趣和探究熱情一下子被點燃。這說明從學生熟悉的生活問題出發，從直觀情境入手，能讓學生形成豐富的表象經驗，增強學生數學學習的自信心。表象思維是創造性思維的起點，表象思維的形成取決于右腦的開發。用給面包表面涂上番茄醬，再切成面包小塊這一連續性動作，幫助學生從整體上把握事件發生的順序，促進右腦表象思維能力的發展。

二、用實踐操作探究，幫助學生建立具象思維

具象思維指具體形象思維，是人們在思維過程中自覺或不自覺地使用著的某種思想方法。劉天君教授認為，具象思維是個體對其意識中的物象資料進行有目的的加工（構建、運演、判別）的操作活動。具象思維具有科學性、具象性、創造性和完整性等特點。筆者設計了“拆一拆”“合一合”“看一看”三個環節幫助學生積累數學活動經驗，讓他們從表象思維走向具象思維。弗賴登塔爾強調，應該讓兒童玩直觀的教學材料，他們喜歡玩多久就讓他們玩多久，只要能熟練地掌握，材料越復雜，他們獲得的知識就越多。

【鏡頭2：拆一拆，將表面涂色的情況分類】

1.動畫演示。筆者出示一個正方體木塊圖片，動畫演示給它的表面涂上紅色，并將每條棱三等分切開。讓學生觀察、思考：這個正方體發生了怎樣的變化？

2.提供學具。筆者為每個小組準備了一個特殊的魔方，它的六個面被涂上了紅色，每條棱被三等分，可以合并在一起，也可以全部拆分開。

3.操作實踐。筆者讓學生探究這個魔方一共可以分成多少個小正方體？每個小正方體的6個面會不會都被涂上紅色？如果不是，每個小正方體的表面有幾個面涂有紅色？

4.小組討論。筆者讓學生在小組內試著操作拆分魔方，邊拆邊觀察思考，再交流討論上面提出的問題。之后請學生上臺匯報，邊匯報邊演示課件。

【分析】

學生把魔方全部拆分開，很快發現，一共可以分成3×3×3=27（個）小正方體，有些小正方體的3個面涂有紅色，有些小正方體的2個面涂有紅色，有些小正方體的1個面涂有紅色，還有的小正方體的表面沒有涂色，情況一共可以分為四類。

【鏡頭3：合一合，探究涂色的小正方體的位置】

1.問題引領。這個神奇的魔方既可以拆分，也可以合起來。筆者請學生將它還原成原來的樣子，在合并的過程中觀察、思考：3面涂色、2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方體應該在大正方體的什么位置？

2.操作實踐。學生小組合作，將這27個小正方體還原成魔方。

3.展示交流。學生上臺展示成果，筆者板書：頂點處、棱的中間、面的中間、中心。

【分析】

探索3面、2面、1面涂色的小正方體的位置并不難，這一活動主要讓學生自己借助學具仔細觀察，為后面個數的探索做好準備。學生在動手操作的過程中感悟到：可以從中心沒有涂色的小正方體開始思考，也可以從一條棱開始合并，還可以一個面一個面還原，方法多樣，思路巧妙。學生一邊動手實踐，一邊觀察各小正方體的位置，逐步體悟這27個小正方體的分類以及幾面涂色與位置的關系。讓學生明確3面涂色的小正方體在大正方體的頂點處，2面涂色的小正方體在大正方體每條棱的中間，1面涂色的小正方體在大正方體每個面的中間，0面涂色的小正方體在大正方體的中心，此過程能幫助學生積累數學活動經驗，發展具象思維。

【鏡頭4：看一看，找涂色的小正方體的特征】

1.思考特征。通過剛才“拆”“合”的過程，請學生思考：涂色的小正方體的個數和位置有什么特征？

2.小組討論。學生先獨立思考，然后小組討論交流。

3.全班反饋。大正方體的棱平均分成3份，分成的小正方體的總個數為33=27（個），其中有3面涂色的小正方體有8個，有2面涂色的小正方體有1×12=12（個），有1面涂色的小正方體有1×6=6（個），0面涂色的小正方體有1個。

【分析】

學生喜愛動手實踐，在動手實踐之后有了具體數學經驗，他們積極參與，發現不同涂色面小正方體的個數與它所在的大正方體位置有關。根據小正方體在大正方體中所處的位置，學生算出有3面、2面、1面、0面涂色的小正方體的個數。學生的思維建立在表象之上，聽到了思維“拔節”的聲音。

三、以豐富的聯想推理，幫助學生建立抽象思維

抽象思維是在概念中反映事物的本質。它在對事物進行分析、綜合、比較的基礎上，抽取出事物的本質屬性，使人對事物的認識從感性的具象過渡到抽象。弗賴登塔爾認為，學習數學的方法之一是實行“再創造”。教學時，要讓學生在“試一試”“舉一舉”“說一說”中發現規律，建構初步的抽象思維。

【鏡頭5：探究涂色小正方體的規律】

1.試一試。請學生試一試能否解決更多的表面涂色的正方體問題。把一個正方體的每條棱平均分成4份、5份……再切成同樣大的小正方體，這些小正方體的數量和涂色面的情況如何？展開聯想，進行分析，填寫表格。若填寫表格的過程中遇到困難，可與同學交流、觀察模型或課件演示。

2.舉一舉。自己試舉一例，填寫表格。

3.說一說。每位學生說自己發現了什么規律，總結表面涂色小正方體的規律。

[大正方體的棱平均分的份數 3 4 5 … n 分成的小正方體的總個數 27 64 125 … n3 3面涂色的小正方體個數 8 8 8 … 8 2面涂色的小正方體個數 12 24 36 … 12（n-2） 1面涂色的小正方體個數 6 24 54 … 6（n-2）2 0面涂色的小正方體個數 1 8 27 … （n-2）3 ]

【分析】

學生從三等分棱長的情況出發，算出3面、2面、1面、0面涂色的小正方體的個數，從做到看，從看到數，進一步發現四等分、五等分棱長后小正方體涂色的個數，再自己舉例，又從數到算，進而找出3面、2面、1面、0面涂色的小正方體的個數與頂點、棱長平均分的份數、面數之間的關系，發現表面涂色小正方體的規律。

【鏡頭6：玩轉魔方，課后延展新知】

魔方也是一種表面涂色的正方體，玩轉魔方需要熟練掌握表面涂色的正方體中隱藏的規律，課后全班舉行一場“魔方大比拼”。讓學生感受數學在我們的生活中隨處可見，讓我們一起走近生活，感受數學的神奇吧！

【分析】

學習不局限于課堂，也不局限于學習當堂課的知識，應該讓學生用課上學習到的方法來探索新知，用喜歡的方式來延續對學習的興趣，這樣可以使課堂教學有延展性，讓數學知識延伸到學生的日常生活中。

運用數學綜合實踐課發展學生的思維能力，要實現從形象思維、具象思維到抽象思維三步跨越，具體表現有以下幾點。

第一，從現象到本質，發現內在關系。“表面涂色的正方體”是蘇教版教材六年級上冊第一單元“長方體和正方體”后的一節綜合實踐活動課。本課是建立在學生對長方體和正方體的知識有了全面的理解和掌握的基礎上的，筆者借助番茄醬涂面包的情境，讓學生動手實踐、觀察發現、自主探索、感知規律，將一個表面涂色的正方體的棱長三、四、五……等分后，算出3面、2面、1面、0面涂色的小正方體的個數，發現其中隱含的數學關系，并用字母和數字表示出相應的關系，發展學生的數學思維能力和空間觀念。

第二，從特殊到一般，動手探索數學規律。對于六年級的學生來說，雖然他們已經積累了一定的空間想象力和抽象思維能力，但是想象將一個表面涂色的正方體沿著棱等分，并算出各情況的小正方體的個數，算出3面、2面、1面和0面涂色的小正方體的個數還是有一定難度的。教學中，筆者以將棱長三等分后表面涂色的正方體為例，學生通過對魔方的觀察和“分合”的操作，很快發現拆分后的小正方體分別有3面、2面、1面、0面的涂色情況，再探究每個小正方體在大正方體中的位置，這符合學生的認知特點。在此基礎上，筆者放手讓學生分析將棱長四等分、五等分時的情況，并舉例試一試，讓學生感知到一般規律。將學生自主探索的內容匯總到表格中，橫向、縱向比較發現數據內在的規律，建構數學模型。

第三，從實踐到理論，感悟數學思想。在學生思維生長的過程中，筆者設計了詳細的教學流程，“拆一拆”“合一合”“看一看”從實踐出發，是基礎經驗，也是學生思維生長的“錨”。“試一試”“舉一舉”“說一說”以表達為重，讓學生在交流中發現內在規律，在歸納中建構數學模型。學生經歷了知識的形成過程，再次回到問題的解決中去，會感受到數學規律的探索對解決實際問題的幫助，激發對數學學習的熱情。數學思想的發展是以活動為載體，在問題引領的基礎上進行的。數學綜合實踐課還要體現出有趣、好玩的特點，讓學生充分感受數學之美、數學之趣，從而真正喜歡數學。課堂的最后，筆者再次將本節課內容拓展到課外，讓學生走近生活，感受數學的神奇。

（責編 黃 露）