淺談量子力學中的一些秘密

梁鐸強 劉芳遠

（2019年度廣西工業職業技術學院教科研項目《以技能比賽為導向的建筑室內設計專業課程體系建設研究》

項目合同編號：桂工業院科研2019015KY015）

（2021年度廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目《虛擬現實技術在廣西少數民族室內設計中的應用研究》

項目合同編號：2021KY1264）

摘要：本文總結了量子力學課本或課堂很少提到但初學者應該知道的知識點，讓量子力學學習者能避開這些知識盲點。

關鍵詞：量子力學;秘密;教學

一、前言

客觀說來，從頭開始學習量子力學確實是一種非常不同的學習經歷。通常來說，那些沒有跨過某個障礙的學生會感到痛苦和失望。而有些人很快就完成了啟動的過程，感受到了量子力學的內在邏輯和美麗，在學習過程中得到了積極的反饋，把學習當作一種享受。然而，很多學生很長一段時間都無法完成這一轉變，總是在瑣碎、困惑和挫折的泥濘中掙扎。工科學生學習量子力學時，容易進入到一些誤區，是因為存在量子力學課本很少提到但初學者應該知道的知識點。為此，本文介紹了本文總結了這些知識點，讓量子力學學習者能順利入門。

二、量子力學中的一些秘密

1.波粒二象性的本質

波粒二象性作為量子力學的基礎，就是讓人們有權利隨時使用波或粒子去解釋問題。比如勢壘貫穿，沒法利用粒子的觀點，那就用波解釋，波可以衍射，此時波只有頻率，沒有能量。比如倍頻晶體，剛開始把激光看作是粒子，為了遵守動量守恒和能量守恒，碰撞電子后反射回來。反射回來后把光子看作是波，這波和后來的波疊加，疊加后的波看作是粒子，所以能量加倍，頻率加倍。總之，玻璃二象性讓人們有權利是使用波還是粒子來解釋，隨時可以切換。

光的波粒性質并不代表光的真實形式，從不同的視角得出不同的結論。例如：對于金字塔，從前面看它是一個三角形，但從上面看它像一個四邊形。這兩種形狀都是金字塔的一部分，但由于視角不同，答案也不同。然而，三角形和四邊形都不能說是一個或兩個形狀都是金字塔。事實上，金字塔的形狀遠比這兩種形狀復雜。光也是如此。波粒特性是從光的不同角度獲得的特性，但它們不能表示光的實際形狀。

如果按照經典物理學的假設，“波粒二象性”是違反科學的。但是實驗結果是存在的，所以拋棄另一個重要的“常識”。這可能是一個難以接受的結論：粒子是一個偽概念。粒子的概念并不存在，測量并沒有導致嚴格意義上的波函數崩潰，而是概率峰值崩潰到一個范圍內，給了“粒子”的錯覺。粒子的所有行為都可以用一個特定的波函數值來描述。

在研究未知事物時，最忌諱的是強行使用已知的事物來連接和理解，正如盲人摸象。在理解微觀粒子（光子、原子和電子）的方式與盲人觸摸大象沒有什么不同。因此，無論如何理解“水波/聲波”是一種粒子，或“小球”以波的形式反射和衍射，它都是不可理解的。從波粒二象性的角度理解微觀事物（為了避免語義學引起的誤解，它不被稱為微觀粒子），無非是：1。事物是一個獨立的單位，由許多事物組成的群體不是連續的。2.這種物質的許多組表現出衍射、干涉和其它性質。不需要理解“為什么大象的耳朵像扇子”，只要記住“大象的耳朵像扇子”這樣的信息就可以幫助識別大象。

2.量子力學的形式

相對波動力學，矩陣力學更能反應量子力學的本質，是因為矩陣力學更能體現對易關系。波動力學的優勢在于薛定諤方程容易被人接受和使用。路徑積分對最優化結果的取值有很大關聯，而研究量子力學需要掌握能量躍變的機理，則需要路徑積分作為理論指導。這樣子可以知道量子運動的概率，使得整個量子的探測更加的準確。海森堡圖的優點是可以寫出動力學方程，而關于狀態向量的討論并不多。薛定諤圖的優點是只需要討論狀態向量，所有的機械量都可以以確定性算子的形式參與計算。至于交互場景，將哈密頓量分成兩部分的操作，對于近似計算，首選該方法。

事實上，量子力學的形式還很多。九種形式的非相對論量子力學是波形、矩陣形式、路徑積分形式、相空間形式、密度矩陣形式、二次量子化形式、變分形式、導頻波形和哈密頓-雅可比形式。文中還介紹了多世界解釋理論和交易解釋理論。總的來說，這些形式在數學上和概念上是不同的，但它們對實驗結果做出了完全相同的預測。

3.量子場論的脈絡

量子場論的特征是場的量子化、諾特定律、躍遷概率。場的量子化需要泊松括號;諾特定理要求洛倫茲群、龐加萊群等群;躍遷概率需要路徑積分、S矩陣、重整化。具體的脈絡如下。1） 洛倫茲變換場最明顯的特征。這也是狹義相對論的基礎。為了反映量子力學的相對論效應，可以引入洛倫茲變換。2） 拉普拉斯測度與拉普拉斯測度，有一切。因為在微觀物理學中，只有動能和勢能，所以只有動能和勢能的轉換，當然也包括自旋的能量轉換（但它反映在角動量中）。所以動能減去勢能一定是一個值得關注的量。哈密頓量和拉普拉斯值是等價的，它只不過是一種表示變換（勒讓德變換），使自變量成為坐標和動量。3） 最小作用原理可以導出規則的量子化條件。當然，有很多方法可以導出正則量化條件。4） 泊松括號正則量子化條件的數學形式。5）場的量子化是最徹底的量子化，其中粒子可以看作是場的激發。粒子對應于場。由于相對論的時空是連續的，而量子力學的時空是量子化的，這就導致了所謂的“相對論與量子力學不相容”的悖論。當前的解決方案是重新規范化。6） 規范場理論所有的作用都是粒子場的作用。物質的組成是費米子場，交換作用是玻色子場。玻色子和費米子的躍遷是由鬼場完成的。許多效應是對稱的，所以規范場理論更多的是李群、置換群等，它們反過來又使用流形的知識（因為李群是一種特殊的流形）。7） 粒子與粒子的作用是場的作用，與宏觀碰撞相對應。基本量子力學介紹散射并討論粒子之間的相互作用。它讓人覺得散射的效果不是很好。然而，實際上，量子場論分散了一切。8） 散射量子場論散射，基于時空和諧，基于場的量子化。散射分為彈性散射和非彈性散射。量子場論的優點在于非彈性散射。9） S矩陣反映了散射結果的矩陣，可用于計算轉移概率和選擇規則。到目前為止，量子場論的目的已經實現。推導S矩陣的方法可以是正則量化方法和路徑積分方法。前者可以與經典方法相比，后者更自然（得益于費曼非凡的思維）。10） 復雜的計算量子場論的計算非常復雜，從四維時空（因此引入了Dalombot算符）、微擾（多體問題）、非線性碰撞（自能、負能、躍遷）綜合而來。因此，目前只能計算一些簡單的電磁場，其它場的影響不大。

4.量子力學的教學

在教學過程中，優秀教師會注重現象描述和理論分析。典型的方法是從簡單具體的例子中得出結論，然后對結論進行歸納，指出其適用范圍，并嘗試用簡單的高等數學進行計算。例如，為了建立薛定諤方程，首先尋求自由粒子的狀態函數是如何隨時間演化的，然后根據該規則對其進行推廣。注重基本的數學推導，發揮數學思維在物理思維中的示范作用。仍然需要必要的數學證明，必須相信數學推理的正確性。例如，量子力學的一些基本原理的介紹，如量子力學的算符規則的介紹，在一般教科書中是以假設的形式介紹的，這使學生感到非常牽強，從而對整個量子力學系統產生負面影響。對于這些簡單且非常關鍵的知識點，必須使用基本的數學推導。另一個例子是求解無限深勢阱的問題。由于求解的數學方法和過程相對簡單，因此有必要掌握整個過程，并獲得其歸一化波函數和相應的分離能量值。

牛頓力學在內的經典力學是量子力學的極限，優秀的教師找到盡可能多的“經典對應”將有助于正確理解量子力學的物理圖景。光的粒子性質由光電效應、康普頓散射和光子的引力紅移（或紫移）解釋，光的粒子性質由光的單縫（雙縫）衍射（干涉）和x射線在晶體表面的衍射解釋。波的性質，學生可以輕松掌握光的波粒二象性;從統一性原理理解微觀粒子和光子也具有波粒二象性;然后通過類比光的行為來理解微觀粒子的行為。例如，類似于光子的行為，由描述光子（電磁場）的波函數E的疊加而來。同時，闡明了量子力學與經典力學在概念、概念和方法上的區別和聯系。例如，量子理論的創立破壞了牛頓力學的確定性觀點，取而代之的是統計學觀點。例如，與經典力學不同，經典力學使用勢向量和速度來描述物體的狀態，量子力學使用波函數來描述系統的狀態。經典力學用牛頓第二定律來描述狀態變化，而量子力學則用薛定諤方程來描述狀態變化。

在講解過程中，優秀的教師會盡量聯系實際，幫助學生形象思維。例如，“物質波”概念的輔助圖像可以取自電子雙縫衍射圖像，并且電子波類似于光波。由于學生熟悉光的波粒二象性，很容易將物質波視為具體的。然后，光波以各種可能的方式通過雙縫到達觀察屏幕，模擬電子波的行為，以了解屏幕上電子波強度的強度分布（或概率分布）。

5.量子力學的教材

通常，所有初等量子力學教科書由三個基本部分組成。第一部分是關于粒子的波粒二象性。本部分主要分析人類是如何認識到微觀粒子具有波粒二象性的，以便初學者理解為什么微觀粒子的運動規律不同于宏觀物體。第二部分是量子力學的基本原理。這是整本書的核心內容。學習這一部分，要注意把握原則的表現形式和內容。這些原理的內容包括：微觀狀態原理、力學量原理、運動方程原理和各向同性原理。原則的表達形式是指上述原則可以用不同的表述和場景來描述。主要是為了弄清楚什么是外觀以及為什么會有不同的外觀。第三部分是運用基本原理解決物理實際問題的基本方法。一般來說，量子力學解決兩類問題，即粒子在有限空間中的運動和無限空間中的運動。前者是一個束縛態問題。主要是平穩問題;后者是一個散射問題。上述三個部分的內容具有內在聯系。粒子的波粒二象性是事實的基礎，量子力學的基本原理是核心，如何學會運用基本原理解決基礎物理中的實際問題是關鍵。如果能對這三個部分有一個連貫的理解，并能用簡潔的語言準確地描述它們，那么就可以說掌握了量子力學的整體框架。高等量子力學和量子場論的教材有類似情況，限于篇幅，就不再一一贅述。

6.其它一些秘密

1） 薛定諤方程為何是復PDE

從物理上看，波函數必定是以e為底的負指數函數，否則無法做到駐波或定態，這就間接造成薛定諤方程是復PDE;數學上的解釋（比如什么傅里葉變換，線性共軛算符）是很牽強的。

2） 對稱波函數和反對稱波函數

由于波函數是線性的，加減都表示同一個態，所以對稱函數和反對稱函數的出現就是為了分別反映玻色子和費米子的波函數的對稱性和反對稱性的。當然，也不能絕對化，比如不在同一軌道上的兩個電子，就不用考慮泡利不相容，那么他們照樣存在對稱性。

3）量子力學的基本特征

量子力學的基本特征，在力學量是量子化，在操作上是對易關系。宏觀物理，操作基本是對易的。而微觀物理，操作基本是不對易的。所以量子化條件就是泊松括號不為0。這也可以從群論得出解釋。

4）高等量子力學的特征

高等量子力學主要是相對論性量子力學和角動量理論，時空是等效的，所以需要是達朗伯特算子。

5） 測量假設

或者平均值假設。測量假設，或者平均值假設，更多是是統計物理的問題。真正的測量，目前還沒有從實驗或者理論去解釋。

6）雙縫干涉

雙縫干涉中，縫寬以及雙縫距離其實都是有條件的，雙縫距離不能大于光子的相干長度。縫寬不能大于光的波長。

三、結論

實踐證明，了解量子力學課本很少提到但初學者應該知道的知識點，會更好入門之。經過討論可以得出如下結論。

1）物理例子非常重要（畢竟是在研究量子力學，而不是泛函分析的應用）。主體提到的“對波粒二象性的理解”是不必要的，人們不能像理解宏觀規律那樣直觀地“理解”它。

2）另外兩點“記住”知識，會更容易地走出思考的死胡同：波浪的定義不是基于水波或機械波。波的精確定義來自光波之類的東西。所以水波有點像光在波浪中的行為，而不是像水波一樣波動。（這是一個假設，但相對合理）微觀粒子可能不像想象的那樣一個接一個。如果不得不說的話，它是一個虛無的概率，浮動和浮動。就像一朵代表概率的云。它的質量/電荷可能出現在云中的任何地方。只有當去尋找它時，概率才被確定。云已經縮小成更小的云（在通常的概念中，它看起來很像一個微觀粒子：一個小實心球）。當小球聚集成一堆時，可能很難理解它們的波動性，但是應該能夠理解很多很多波浪狀的水/云，它們一起形成一個巨大的波浪狀水/云。

3） 所謂的波粒二象性是一種性質。用外行的話說，它既可以表現波的特性，也可以表現粒子的特性。當研究事物時，通過不同的建模方法和實驗方法，事物會表現出不同的性質。

參考文獻

[1]張思寧.量子化質量視域下的量子力學理論與實驗[J].遼寧大學學報（自然科學版），2021，48（04）：365-370.

[2]楊師杰.關于量子力學原理的注記[J].大學物理，2021，40（11）：1-4+20.