航空發(fā)動機燃油計量裝置穩(wěn)定性分析

陳昭旸，肖玲斐，葉志鋒，胡文佳，吳忠敏

(1. 南京航空航天大學，江蘇 南京 210016；2. 中國航發(fā)貴州紅林航空動力控制科技有限公司，貴州 貴陽 550025)

0 引言

盡管航空發(fā)動機控制系統(tǒng)逐漸由液壓機械式控制發(fā)展為全權限數(shù)字電子控制，但是燃油計量裝置仍然是控制系統(tǒng)中不可或缺的重要組成部分。燃油計量裝置本身可以視為一個小閉環(huán)系統(tǒng)，其內部零部件較多，結構參數(shù)設計過程復雜[1-2]。事實上，我國長期以來對發(fā)動機燃油計量裝置的研發(fā)以仿制為主，缺少理論分析，在新型航空發(fā)動機控制系統(tǒng)的研發(fā)過程中出現(xiàn)了因燃油計量裝置輸出流量不穩(wěn)定而引起的發(fā)動機轉速波動，影響了發(fā)動機的控制性能。

國內的研究人員一般通過在AMESim中建立仿真模型來對燃油計量裝置進行研究。余玲等對燃油計量裝置進行AMESim建模，通過仿真得到了燃油計量裝置的穩(wěn)態(tài)及動態(tài)特性，并研究了燃油計量裝置的主要結構參數(shù)對其穩(wěn)態(tài)及動態(tài)特性的影響[3]；周立峰基于AMESim建立了燃油計量裝置的模型，分析了燃油計量裝置所面臨的三種典型工況，通過仿真得到這三種工況下燃油計量裝置的穩(wěn)態(tài)及動態(tài)特性，并構建了燃油計量裝置試驗系統(tǒng)，通過試驗驗證了模型的準確性和仿真結果的可信度[4]；李洪勝等研究了某型發(fā)動機燃油計量裝置壓差控制器的性能，分析并推導出其影響控制壓差能力的主要因素，通過AMESim仿真驗證了所得結論的正確性。在此基礎上對其進行合理的改型，為保證改型不影響系統(tǒng)的性能，用小偏差原理對改型前后的壓差控制器辨識，得到傳遞函數(shù)，確保改型并未損失其動態(tài)性能，最終得到改進壓差控制器壓差能力的理論依據(jù)[5]。

目前尚沒有看到關于燃油計量裝置穩(wěn)定性的研究，當相關參數(shù)不合理的時候，就可能導致燃油控制精度低、輸出不穩(wěn)定等問題。由于在AMESim中建立的仿真模型只能用于分析燃油計量裝置的穩(wěn)態(tài)及動態(tài)性能，不易進行關于穩(wěn)定性的研究。因此，本文通過建立燃油計量裝置的力平衡方程、流量連續(xù)性方程，并在MATLAB中建立其仿真模型。為了分析燃油計量裝置的穩(wěn)定性，對所列方程進行線性化處理，之后分別應用特征方程根軌跡以及基于李雅普諾夫函數(shù)和遺傳算法的多參數(shù)穩(wěn)定性設計方法，分析了主要物理參數(shù)對燃油計量裝置穩(wěn)定性的影響。

1 燃油計量裝置工作原理

某型發(fā)動機研制的燃油計量裝置主要由電液伺服閥、帶位移傳感器的計量活門、等壓差活門、執(zhí)行活門以及一系列節(jié)流孔、彈簧構成，工作原理如圖1所示(未繪出伺服閥及傳感器)。

圖1 燃油計量裝置原理圖

計量活門的主要作用是通過調節(jié)計量活門窗口的開度來控制發(fā)動機燃油量，計量活門出口的流量可用如下公式計算：

(1)

式中：Cd為流量系數(shù)；A為計量活門開口面積(由計量活門位移xj決定)；Δp1為計量前后的壓差；ρ為燃油密度。根據(jù)公式，若保持Δp1為常數(shù)，則流量僅與閥芯位移xj有關。

等壓差活門的兩端分別與計量活門前后的油壓相通，它的作用是感受壓差變化，根據(jù)兩端的壓差，等壓差活門閥芯產生相應的位移，從而改變等壓差活門節(jié)流口的面積，控制執(zhí)行活門下腔的壓力，使得執(zhí)行活門的閥芯產生相應的位移，從而改變執(zhí)行活門節(jié)流口的開口面積，進而控制中腔也就是計量后的壓力，最終保持計量活門前后的壓差不變。所以燃油計量裝置本質上是壓差閉環(huán)控制，其穩(wěn)態(tài)、動態(tài)特性及輸出穩(wěn)定性主要取決于彈簧、節(jié)流孔等參數(shù)。

2 建模與仿真

由于伺服閥位置環(huán)的動態(tài)響應非常快，故忽略其動態(tài)特性。根據(jù)燃油計量裝置的工作原理，建立等壓差活門、執(zhí)行活門的力平衡方程及各節(jié)流口流量連續(xù)性方程[6-7]：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：x、p、q分別為位移、壓力和節(jié)流口(孔)i的流量；k、fy、a(A)、m、b、c、v、βe分別為彈簧剛度、預壓縮彈簧力、面積、質量、阻尼、泄漏系數(shù)、容積、有效體積彈性模量，下標d、z分別表示等壓差活門和執(zhí)行活門。

考慮最不穩(wěn)定高壓大流量的工況，在額定穩(wěn)態(tài)工作點，用泰勒級數(shù)展開的方法，對各個節(jié)流口的流量表達式進行小偏差線性化處理，然后代入力平衡方程與流量連續(xù)性方程中，為了簡單起見，仍用變量本身表示它們在某一穩(wěn)態(tài)點的增量：

(8)

(9)

Kz4xz+(Kp1+Kp2)p1-(Kp1+Kp2+Kp3+Kp4+cz)p2+

(10)

(11)

(12)

式中：Kz4、Kd8分別為可變節(jié)流口4、8的流量增益，由于其他節(jié)流裝置均為固定節(jié)流孔，所以其流量增益近似為常數(shù)；Kpi為節(jié)流口i的流量-壓力系數(shù)(i=1～8)，具體的數(shù)值由式(2)-式(7)中的相關系數(shù)計算得出。

為了驗證方程線性化的動態(tài)精度，在計量活門位移xj為9mm、進口壓力為9MPa、出口壓力為7MPa的穩(wěn)態(tài)工作點，給計量活門位移加一個Δxj=0.1mm的階躍信號，用MATLAB進行仿真，比較方程線性化前后計量裝置輸出流量q4、等壓差活門位移xd的參數(shù)階躍響應，結果如圖2所示。

圖2 燃油計量裝置對計量活門位移的階躍響應

由于燃油計量裝置的強非線性，通過線性化之后的方程與原始方程的動態(tài)響應存在一定誤差，但兩者總體上相符。

3 根軌跡穩(wěn)定性分析

求解線性化后的式(8)-式(12)，將壓力p2、p3、p6和位移xd、xz作為變量，得到一個含有變量的7階閉環(huán)傳遞函數(shù)。對傳遞函數(shù)的分母即閉環(huán)特征方程進行分析，發(fā)現(xiàn)影響系統(tǒng)穩(wěn)定性且可調節(jié)的設計參數(shù)有7個：節(jié)流孔面積a2、a3、a5、a6、a7及壓差活門和執(zhí)行活門的彈簧剛度kd、kz。

根據(jù)特征方程根軌跡判斷穩(wěn)定性的原理，對燃油計量裝置上述7個參數(shù)由0變化到正無窮，觀察特征方程的根軌跡。

等壓差活門彈簧剛度kd的值由0變化到正無窮(原始值為4.8×104N/m)，其他參數(shù)保持不變時，閉環(huán)特征方程的根軌跡在復平面上，如圖3所示。其中：圓圈代表0點；叉號代表極點；B點為kd取原始值4.8×104N/m時的根所在的位置；A點為kd擴大為4.84×104N/m時的根所在的位置；C點為kd縮小為4.75×104N/m時的根所在的位置。根據(jù)特征方程根軌跡判斷穩(wěn)定性的原理，因B點處于右半復平面，所以燃油計量裝置是不穩(wěn)定的，出口流量、壓力出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象。

通過根軌跡圖，可以判斷出在一定范圍內，kd逐漸增大，可以使得B點逐漸向左移動，出口流量、壓力的振蕩幅值逐漸減小，當B點穿過虛軸進入到左半復平面后，系統(tǒng)將處于穩(wěn)定狀態(tài)，理論上振蕩現(xiàn)象將完全消失；kd逐漸減小，將使得B點向右移動，振蕩幅值將會增大。

圖3 kd作為參數(shù)的根軌跡

在原始值4.8×104N/m的基礎上增大和縮小kd，通過MATLAB仿真觀察振蕩幅值的變化，結果如圖4所示。可以看出，kd增大，振蕩幅度減小，反之亦然。這與根軌跡圖得到的結論相一致。

但是，kd的值也不能過大，因為隨著kd的增加，等壓差活門控制的穩(wěn)態(tài)誤差也會隨之增加。圖5為等壓差活門的輸出值(壓差)在不同kd值下隨計量活門位移(對應流量)變化的曲線。可見增大kd要兼顧穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)精度的平衡。

圖4 出口壓力振蕩幅值隨kd的變化

圖5 kd對穩(wěn)態(tài)誤差的影響

研究發(fā)現(xiàn)節(jié)流孔6的面積a6對穩(wěn)定性影響十分明顯且不是單調的變化關系。圖6(a)、圖6(b)分別為a6從0到正無窮時的根軌跡和a6在原始值附近變化的輸出振蕩幅度。圖6(b)中，B點為a6取原始值8.171×10-7m2時的根所在的位置；A點為a6縮小為3.109×10-6m2時的根所在的位置；C點為a6擴大為7.234×10-7m2時的根所在的位置，點為a6擴大為5.049×10-6m2時的根所在的位置。

通過根軌跡圖，可以判斷出在一定范圍內，a6逐漸減小，可以使得B點逐漸向左移動，出口流量、壓力的振蕩幅值逐漸減小，當B點穿過虛軸進入到左半復平面后，系統(tǒng)將處于穩(wěn)定狀態(tài)，理論上振蕩現(xiàn)象將完全消失；a6逐漸增大，B點距離虛軸的距離先增大后減小，但是始終處于右半復平面，因此a6逐漸增大，振蕩幅值將會先增大后減小。

圖6 a6作為參數(shù)的根軌跡

通過仿真觀察增大和縮小a6時振蕩幅值的變化，結果如圖7所示。可以看出，a6減小，振蕩幅度減小；a6增大，振蕩幅度先增大后減小。這與根軌跡圖得到的結論相一致。由此可見a6的原始值正是處于穩(wěn)定性不佳的取值范圍，因此改變這一設計參數(shù)可以有效改善燃油計量裝置穩(wěn)定性。

圖7 出口壓力振蕩幅值隨a6的變化

類似地，可以用根軌跡法分析其余5個參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。限于篇幅，這里不再給出其根軌跡圖，分析結果見結論。

4 基于李雅普諾夫函數(shù)和遺傳算法的多參數(shù)穩(wěn)定性設計方法

通過根軌跡的方法分析并找到了對系統(tǒng)穩(wěn)定性有著較大影響的5個設計參數(shù)：等壓差活門和執(zhí)行活門的彈簧剛度kd、kz以及節(jié)流孔面積a5、a6、a7。然而，該方法只能得到在其他設計參數(shù)保持不變時，單獨的某一個設計參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，進而通過改變這個參數(shù)來改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，如果僅僅通過改變一個設計參數(shù)的值來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性，有時需要對這個參數(shù)做較大幅度的改動，這可能在工程上不易實現(xiàn)。例如，將節(jié)流孔a5的面積擴大為原來的1.6倍后，出口燃油壓力還是存在小幅度的振蕩，如果想要完全消除振蕩，節(jié)流孔a5的面積需要繼續(xù)擴大，但是a5的面積如果較大的話會導致回油流量損失。為了研究多個設計參數(shù)同時作用時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而通過同時調節(jié)多個參數(shù)來改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，決定采用基于李雅普諾夫函數(shù)和遺傳算法的多參數(shù)穩(wěn)定性設計方法[8]，令：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中矩陣A2是一個含有變量kd、kz、a5、a6、a7的7階方陣。依次計算出矩陣A2的各階順序主子式，令其滿足半負定矩陣的性質。利用MATLAB的工具包Optimization中的遺傳算法，將各階主子式設為目標函數(shù)，并限制這5個設計參數(shù)與原始值的差值分別在±5%、±10%、±30%、±50%以內，通過遺傳算法尋優(yōu)可以得到4組不同的設計參數(shù)。接下來利用優(yōu)化前后的設計參數(shù)對燃油計量裝置進行仿真，仿真條件是進口壓力為9 MPa，計量活門閥芯位移為11.3mm，得到優(yōu)化前后的出口燃油壓力仿真結果如圖8所示。圖8(a)是參數(shù)優(yōu)化前的出口燃油壓力響應曲線，可以看出，出口壓力存在振蕩現(xiàn)象，振蕩幅值大約是±430 kPa，頻率大約是10 Hz；圖8(b)是參數(shù)優(yōu)化后的出口燃油壓力響應曲線(設計參數(shù)與原始值的差值限制在30%以內)，可以看出，參數(shù)優(yōu)化后，出口壓力的振蕩很快衰減。

通過仿真研究了優(yōu)化前后設計參數(shù)的調節(jié)時間，發(fā)現(xiàn)調節(jié)時間隨著限制差值范圍的增大而減小，當設計參數(shù)與原始值的差值限制在5%、10%時，調節(jié)時間較長，系統(tǒng)的動態(tài)性能較差；當差值限制在30%、50%時，調節(jié)時間明顯縮短。當然這意味著設計參數(shù)偏離原始值較大。

圖8 出口燃油壓力響應曲線

5 結語

1)燃油計量裝置是一個閉環(huán)控制系統(tǒng)，通過對非線性方程的線性化，利用閉環(huán)特征方程的根軌跡以及基于李雅普諾夫函數(shù)和遺傳算法的多參數(shù)穩(wěn)定性設計方法分析其穩(wěn)定性是可行的。

2)適當增大等壓差活門和執(zhí)行活門的彈簧剛度kd、kz的值，可以改善穩(wěn)定性，但是會增大穩(wěn)態(tài)誤差，所以參數(shù)設計中要考慮兩者的平衡。

3)節(jié)流孔a6是對穩(wěn)定性有重要影響的參數(shù)，且當前設計值(孔面積)處于不合理的區(qū)域。節(jié)流孔a2和a3對穩(wěn)定性的影響不顯著；增大節(jié)流孔a5和a7能改善穩(wěn)定性，但是不建議增大太多，因為會導致回油流量損失。

4)利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，研究了多個設計參數(shù)同時作用時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并利用MATLAB的工具包Optimization中的遺傳算法進行尋優(yōu)，得到優(yōu)化后的設計參數(shù)，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。