基于動力學的協作機械臂零力拖動研究

劉鑌震，潘松峰，李先弘，王先月，伊永祺

(青島大學 自動化學院，山東 青島 266000)

0 引言

隨著機械臂產業的發展及用人成本的上升，我國制造業向著智能化、無人化的方向快速發展。由于協作機械臂具有一定人機交互能力，因此其不僅出現在商場等民用領域，更在軍用、醫療等領域有了突飛猛進的發展。零力拖動，即由操作員直接拖動機器人各關節運動至理想位姿并進行記錄。作為協作機械臂與操作者共同工作的一種協作方案，具有重要的研究意義。

針對某公司一種基于開環力矩控制方法的6軸協作機械臂開發平臺進行機械臂本體動力學分析，并結合電機模型對機器人進行關于零力拖動的相關研究，利用實驗對摩擦補償參數等進行校準，確保機械臂可在工作范圍內實現零力拖動。機械臂本體及相關尺寸數據如圖1所示。

圖1 機械臂本體及相關尺寸圖

1 動力學建模

采用改進D-H參數法對6自由度協作機械臂進行建模，其機械臂結構原理如圖2所示，D-H參數如表1所示。

由于機器人從關節4之后桿長均為0，因此僅對協作機械臂的前3個關節進行研究。

機械臂動力學的機器人本體動力學研究常見有Lagrange法[1-3]、Newton-Euler法[4-6]和Dalembert法[7-8]等。為了便于計算及具象化研究，本文采用Lagrange法進行動力學建模與分析。

圖2 6自由度機械臂結構原理圖

表1 D-H參數表

Lagrange法的數學模型如式(1)所示。

L=K-P

(1)

式中：L為Lagrange函數；K為機械臂本體系統動能；P為系統位能。在此基礎上動力學方程可表示為[9]

(2)

結合式(1)、式(2)，機械臂的本體動力學也可以寫作式(3)形式：

(3)

將式(3)中的哥氏力和離心力分離，機械臂的本體動力學也可寫作式(4)形式：

(4)

式中C(q)和F(q)均為3×3的矩陣。

系統位能考慮慣性帶來的勢能，因此采用轉動慣量法計算力矩。機械臂的質量分布在伺服電機及連桿上，產生繞中心軸線旋轉(伺服電機)和繞遠端關節旋轉(連桿)兩種轉動慣量，如圖3(a)、圖3(b)所示，參數示意圖如圖3(c)所示。

圖3 轉動慣量及機械臂參數示意圖

中心軸線轉動慣量由伺服電機形成，即Jm1、Jm3和Jm5，計算方式如式(5)所示；遠端關節轉動慣量由連桿形成，即Jm2、Jm4和Jm6，計算方式如式(6)所示。

(5)

(6)

其中各字符含義如圖3(a)、圖3(b)所示。圖3(c)中：l2表示關節1電機和關節2電機之間，連桿質心與電機1質心之間的距離；l3表示關節1電機和關節2電機之間，連桿質心與關節2電機之間的距離；關節1和關節2之間距離很短，此處忽略，從而得到機械臂動力學所需轉動慣量的物理參數。

由此建立起機械臂本體的動力學模型，其動力學方程中的具體參數為：

m6l3l6)c2-2m6l5l6c3-2m6l3l6c23，

(m4l3l4+m5l3l5+m6l3l5)c2-2m6l5l6cosθ3-m6l3l6c23，

c11=0,

c12=-(m4l3l4+m5l3l5+m6l3l5)s2+m6l3l6s23，

c13=m6l5l6s3+m6l3l6s23，

g1=[m2l2+m3l3+(m4+m5+m6)l3]gc1+(m4l4+m5l5+m6l5)gc12+m6gl6c123。

推導結果較為復雜且篇幅有限，不再贅述。此處本體動力學模型處于理想狀態下，而在實際模型中電機除輸出式(4)所得力矩外，還需考慮庫侖摩擦力矩τf及黏性摩擦力矩τg，其計算方式如式(7)、式(8)所示。

(7)

τg=N·sign(q)

(8)

式中：M為黏滯系數矩陣；N為庫侖力向量；q為關節輸出角度而非電機輸出角度。將式(7)、式(8)代入式(4)中，并加入機械臂各軸電機的減速比，得到各軸電機的理論輸出力矩如式(9)所示。

(9)

(10)

式中ri表示第i個關節電機的減速比，由電機固件決定。通過關節電機減速比矩陣T將關節力矩與電機實際輸出力矩結合。

2 電機模型

電機是機械臂關節力矩的提供者，因此需要將電機模型與零力模型相結合。本文采用永磁同步電機PMSM，數學模型如式(11)所示[10]。

(11)

式中：ud、uq分別為永磁同步電機d軸和q軸定子的電壓；id、iq分別為永磁同步電機d軸和q軸定子的電流；ω為轉子角速度；Φ為電機永磁體磁鏈；J為轉動慣量；TL為電機負載轉矩；Te為電磁轉矩。由于在式(9)中已從能量觀點對轉動慣量進行運算，電機側不需再對轉動慣量進行單獨運算。

以單關節電機為例對電機模型進行研究。如圖4所示，機械臂關節屬于多軸傳動系統，電機與關節之間由減速器連接，ωS為電機側轉子轉速，qdi為電機輸出角度，ωL為關節側轉速，qi為關節實際輸出角度，四者關系如式(12)所示。

(12)

圖4 電機傳動示意圖

(13)

(14)

其結構圖如圖5所示，實現閉環控制方案。

圖5 零力拖動模型結構圖

3 零力控制模型

零力控制模型就是將考慮各類摩擦及慣性力的機器人本體動力學方程與電機模型結合得到的包含式(9)和式(14)的綜合模型，人為拖動過程力矩模型如式(15)所示。

(15)

式中P為力矩矩陣，其表達式為

(16)

4 實驗與分析

利用6軸協作機械臂開發平臺所自帶的運動傳感器及動力學參數識別，以第2關節為例進行相關實驗。其實驗驗證圖如圖6所示，J2(2)為庫侖摩擦系數，對應式(15)中的N，J2(3)為黏性摩擦系數，對應式(15)中的M。

圖6 單關節零力拖動驗證圖

首先將模型拷入電機控制卡并對其參數進行預設。預設M=N=10，圖6中J2(4)為動力學補償參數，應為1。預設參數的目的在于避免機械臂在零力狀態下因重力導致限位，保證其安全性。隨后通過對庫侖摩擦力矩和黏性摩擦力矩補償，得到M和N的最優值，確保機械臂可進行零力拖動。找到最優值的方法為：當所給定M和N過小時，會因補償不足無法實現零力拖動；當所給定M和N過大時，可實現零力拖動，但會因補償過度導致卡死或拖動困難。機械臂廠商在只補償重力、庫侖摩擦力和黏性摩擦力的情況下給定M的最優值為25，N的最優值為42。最后通過比對M和N的方式驗證模型準確性。

通過驗證可知，當庫侖摩擦參數M>15、黏性摩擦參數N>30時有較好的零力拖動效果。在此條件下通過人為拖動機械臂，轉動第二關節使其關節角從0°拖動至30°位置，得到庫侖摩擦力矩、黏性摩擦力矩、動力學力矩與時間關系如圖7所示。

圖7 庫侖摩擦力矩、黏性摩擦力矩、動力學力矩與時間關系圖

由于零力拖動需人為進行操作，因此圖7中黏性摩擦力矩在1.5s后呈現出抖動現象為人為操作影響。通過驗證，當庫侖摩擦參數M=20、黏性摩擦參數N=40時達到機械臂零力拖動的最佳狀態。二者均小于廠商所給定的數值。原因是由于廠商給定M和N時并未對其他慣性力等補償，只能通過增大庫侖摩擦力矩和黏性摩擦力矩間接補償其他慣性力。由此證明模型的準確性，并為零力拖動準確控制提供了依據。

5 結語

針對一種6自由度協作機械臂，利用動力學方程、靜力學原理及電機轉動軸參數關系對零力拖動進行研究。通過實驗平臺驗證的方法對模型參數進行補償，當庫侖摩擦參數M=20、黏性摩擦參數N=40時準確地實現了機械臂的零力拖動控制，證明了模型的準確性。此模型較于傳統的重力補償零力拖動控制而言，采用動力學及摩擦力補償方式從電機角度實現了零力拖動的準確控制，解決了控制精度不足的問題，也為日后研究工業協作機械臂的動力學控制夯實了基礎。