關于一道圓錐曲線題的分步探究與思考

吳春霞

[摘? 要] 圓錐曲線綜合題解析難度較大，解題探索要充分把握考點，思考思路構建，同時反思常見的變式情形，以“一題”窺“全局”，充分發揮問題價值. 文章對一道圓錐曲線綜合題深入探究，分步突破，探索思路構建，并進行教學反思.

[關鍵詞] 圓錐曲線;雙曲線;直線;向量;變式

[?] 問題呈現，考點定位

問題：已知橢圓C的解析式為+y2=1，點F和F為橢圓C的左、右焦點，試回答下列問題.

（1）求橢圓C的焦距;

（2）已知點Q

，

為橢圓C上的一點，與OQ相平行的直線l與橢圓C相交于點A和B，如果△QAB的面積為1，試求直線l的方程;

（3）已知橢圓C與雙曲線C：x2-y2=1在第一象限的交點為M（x，y），橢圓C與雙曲線C上滿足

x

≥

x

的所有點（x，y）組成了曲線C. 如果點N是曲線C上的一個動點，試求·的取值范圍.

考點解讀：本題為圓錐曲線綜合題，問題以橢圓、直線、雙曲線為背景，考查了圓錐曲線、幾何三角、平面向量等相關知識. 考題共設三問，考查側重點各有不同，且難度逐次遞增.

第（1）問為基礎問題：求橢圓的焦距，考查焦距的含義，以及求焦距的方法;

第（2）問為核心之問：以直線與橢圓的相交為基礎構造三角形，求特定面積情形下直線的方程，實則考查圓錐曲線中面積模型的構造方式;

第（3）問為壓軸之問：以橢圓與雙曲線相交為背景，由坐標值的不等關系構建了另類曲線，并引出了向量積，考查動點與向量的相關知識.

[?] 思路突破，變式拓展

上述圓錐曲線問題主干信息突出，各問又具有相應條件，相互獨立互不干擾，問題解答建議采用分步突破的策略，即逐問分析條件，探索思路構建. 下面進行具體探究.

第一步：基礎鞏固，信息整合

第（1）問分析橢圓C的解析式，由+y2=1可直接確定橢圓C的特征參數，即a=2，b=1，c==. 焦距即橢圓兩焦點之間的距離，由解析式可知橢圓的焦點在x軸上，則焦距為2c=2.

評析與拓展：圓錐曲線的第（1）問通常考查的是基礎知識，從上述考查思路來看，是正向考查的典型范例，即給出圓錐曲線的解析式，求其特征參數值. 高考中還常采用逆向考查的方式，對于上述問題可在特定條件下求橢圓的解析式，故可作如下變更：已知橢圓C：+=1的焦距為2，其右準線方程為x=，試求C的解析式.

顯然這種變更涉及更多的橢圓特征，且推導過程具有一定的邏輯順序，難度有所提升，但基本的破解思路是一致的：先由“焦距為2”求特征參數c，再結合“右準線方程x=”求特征參數a，最后綜合“a2-c2=b2”求特征參數b即可.

第二步：強化提升，模型構建

第（2）問構建了△QAB，在已知其面積的情形下求直線l的方程，其中點Q的坐標已知，是橢圓C1上的定點，點A，B是直線l與橢圓C的兩個交點. 從該條件中可以得到兩個信息：①直線l的斜率可求——由點O和點Q的坐標推導;②聯立直線的方程與橢圓的方程，整理為一元二次方程，則方程的判別式Δ>0.

問題的思路構建可分為如下三個階段：第一階段，處理條件，設定直線的方程;第二階段，構建三角形的面積模型;第三階段，基于面積模型構建關于直線參數的方程，求解直線方程. 具體如下：

①處理條件：已知點Q

，

，則直線l的斜率為k=，故可設l：y=x+m.

②構建面積模型：可將△QAB視為以AB為底、點Q為頂點的三角形，若設點Q到AB的距離為d，則其面積可表示為S=d·

AB

.

③構建關于直線參數的方程：聯立直線l的方程與橢圓C的解析式，整理可得x2+2mx+2m2-2=0. 因兩者有兩個交點，故Δ=4m2-8（m2-1）=8-4m2>0，解得

m

<. 設交點A（x，y），B（x，y），由韋達定理得x+x=-2m，xx=2m2-2. 由弦長公式得AB=AB=·

x-x

=，由點到直線的距離公式得d=. 已知△QAB的面積為1，結合其面積模型可得S=d·

AB

=

m

·=1，解得m=±1，所以l：y=x±1.

評析與拓展：第（2）問是本題的核心之問，問題的綜合性較強，但難度適中，同時轉化的思路也較為清晰，顯然就是基于三角形的面積條件來構建關于直線參數的方程. 高考考查還常以直線與橢圓相交為主體，融入動點，考查三角形面積的最值，故可作如下變更：設點Q是橢圓C上的動點，過原點O的直線l與橢圓C相交于點A和B（點Q不在直線AB上），試求△QAB面積的最大值.

上述變更融入了動點，增加了直線l的不確定性，同時存在直線l斜率存在和不存在兩種情形，難度略有提升，但破解的基本思路一致：l垂直于x軸可直接求出三角形面積的最大值;不垂直則先將三角形底邊表示為與直線參數相關的代數式，再利用點到直線的距離表示三角形的高，進而將三角形的面積表示為關于直線參數的函數式，利用函數性質即可求最值.

第三步：綜合探究，思想綜合

第（3）問的信息量較大，大致分為兩部分：一是雙曲線與橢圓相結合，形成了曲線C;二是曲線C上的動點N與橢圓的焦點構建了向量和. 顯然，求向量積·的取值范圍，需要參考上述內容確定曲線C的具體軌跡，然后再分析向量積的取值范圍. 即第一階段，根據條件確定曲線C的軌跡;第二階段，構建向量，轉化向量積，分析其取值范圍.

①軌跡分析：已知橢圓C：+y2=1，雙曲線C：x2-y2=1，曲線C為兩者上滿足

x

≥

x

的所有點（x，y），故可分為兩部分，且關于y軸呈對稱關系，如圖1的實線所示部分.

②向量分析：可設點N（x，y）是曲線C上的動點，又知焦點坐標為F（-，0），F（，0），可推得向量=（--x，-y），=（-x，-y），故·=x2+y2-3（

x

≥）. 根據圖像可知，點N可在橢圓C上，也可在雙曲線C上，故需要分兩種情形來討論：

當點N在曲線x2+4y2=4（

x

≥

x

）上時，·=1-3y2. 分析可知，當y=時，·取得最小值，且（·）=-;當y=0時，·取得最大值，且（·）=1. 所以此時·的取值范圍為

-，1.

當點N在曲線x2-y2=1（

x

≥

x

）上時，·=2y2-2. 分析可知，當y=時，·取得最小值，且（·）= -;沒有最大值. 所以此時·的取值范圍為

-，+∞

.

綜上可知，·的取值范圍為

-，+∞

.

評析與拓展：上述是以曲線相交為背景的向量積取值范圍問題，問題的難點主要有兩個：一是確定曲線的軌跡，二是轉化向量積，分析最值. 數形結合、分類討論是突破該類問題的常用策略，數形結合可將抽象問題直觀化，尤其適用于軌跡問題;而分類討論則可以降低問題的思維難度，配合數形結合可直接定位切入點，快速構建思路. 上述所呈現的也是向量范圍問題的常規破題思路，即將向量問題轉化為函數問題，利用函數性質來研究最值或范圍，故解題時需要關注變量的取值范圍、曲線的軌跡變化. 另外，對于上述問題還可以從軌跡視角變更如下：將“橢圓C與雙曲線C上滿足

x

≥

x

的所有點（x，y）組成了曲線C”變為“橢圓C與雙曲線C上滿足

x

≤

x

的所有點（x，y）組成了曲線C”，其他條件不變，求·的取值范圍.

上述變了點（x，y）滿足的條件，結合圖像可知，曲線C的軌跡變成了圖1中的虛線部分，對應的向量最值也就發生了變化. 點N在橢圓部分的最值情形變為：當y=時取得最大值，y=1時取得最小值;相應的，點N在雙曲線部分的最值情形變為：當y=時取得最大值，y=0時取得最小值. 后續只需綜合結論即可.

[?] 解后思考，教學建議

上述對一道圓錐曲線問題進行了逐問探究，變式拓展，其構建思路、分析方法具有一定的參考價值，下面深入反思，提出相應的建議.

1. 鞏固基礎，構建體系

上述問題涉及了橢圓、雙曲線、直線、向量等眾多的基礎知識，通常突破問題的第一步是利用基礎知識整合信息條件，為后續解題做鋪墊. 如求曲線的特征參數，利用弦長公式、點到直線距離求三角形的底或高，以及將向量積轉化為函數，等等，基礎知識在解題中起到了極為重要的作用. 故教學中要鞏固學生的知識基礎，構建完整的知識體系，讓學生理解所學，活用所知.

2. 總結方法，形成策略

總結、反思是解題探究的重要環節，即完成思路構建后要注意深入思考問題，總結問題突破的關鍵，反思思路構建過程，形成相應的解題策略. 如上述逐問探究后對解法進行了深入思考，并結合高考考點探討了問題的常規變式，對于拓展學生的解題視野極為有利. 教學中要立足考題開展解后反思，讓學生全面審視問題，思考問題解法，進行解法優化、問題變式.

3. 探究思想，提升素養

解題過程有助于培養學生的解題思維，提升學生的數學素養，尤其是解析過程的思想方法可促進學生的思想提升. 如上述第（3）問充分運用了數形結合、分類討論、化歸轉化等思想，實現了抽象問題的直觀化，降低了思維難度，簡化了解析過程. 教學中要充分利用數學思想進行解題指導，培養學生的數學思維，提升學生的綜合素養.