例談新高考背景下特殊化策略在數學單選題中的應用

姚晉秋

[摘? 要] 2021年新高考全國Ⅰ卷的8道單項選擇題，主要考查學生對數學基礎知識的掌握，同時考查學生對數學思想方法的應用，體現了新高考對學生綜合能力的考查. 在考場上，學生應當充分利用題設和選擇支兩方面提供的信息，運用多種解題方法，準確而迅速地完成單項選擇題是獲取高分的關鍵. 特殊化策略無疑是多種解題方法中最為常見也最為有效的得分手段.

[關鍵詞] 新高考;單項選擇題;特殊化策略

特殊化策略即視原問題為一般，構造其特殊問題，通過對特殊問題的解決而獲得原問題的解決. 特殊化策略作為化歸策略，基本思想是很簡單的，相對于“一般”而言，“特殊”問題往往顯得簡單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常孕育著一般問題的解決[1]. 因此，我們在做單項選擇題時，如果直接正面求解有困難，常常會想到將問題轉化為它的特殊情況，特殊情況下的求解結果即為一般性問題的求解結果，從而大大降低了思維難度，提高了解題速度. 正如波利亞所說，“特殊化是從對象的一個給定集合，轉而考慮那包含在這集合內的較小的集合.”“我們往往從專門研究對象的全體轉變為研究包含在這個全體中的僅僅一個對象.”因此，特殊化策略常表現為將題目中的函數或數列等看成是特殊函數或特殊數列，從而迅速獲取答案;或在解題時將特殊數值代入，將答案范圍收縮或限制;抑或將條件中所給圖像或圖形轉化為特殊圖像或圖形，從而達到簡化計算的目的，等等.

從形式上來看，將一般性問題特殊化是不困難的，但某個一般性問題運用不同的特殊化策略進行處理將會得到多個不同的特殊化命題. 所以，運用特殊化策略的關鍵是如何找到一個最佳的切入點. 顯然，在平時的教學中，方法的指導和適當的訓練是必不可少的. 文章中筆者列舉了幾道單項選擇題，結合自身的教學經驗，就常見的特殊化策略做了一個粗淺的梳理，通過與常規解題方法的對比，直觀感受用特殊化策略解題的優越性.

[?] 題設特殊化，速戰速決

從題設構造符合條件的特殊函數、特殊數列等，往往能夠達到減少運算、提高解題速度的目的.

例1 設等差數列{a}中前n項和為S，若S=72，則a+a+a=（? ）

A. 24? B. 25

C. 26? D. 27

解：不妨令等差數列{a}為常數列，設a=x，則S=9x=72，解得x=8，所以a+a+a=3x=24. 故答案選A.

例2 已知函數f（x）的定義域為R，且其圖像關于原點對稱，當x>0時，有xf′（x）+2f（x）<0恒成立，則使得>0成立的x的取值范圍是（? ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-∞，-）∪（0，1）

C. （-∞，-）∪（0，）

D. （-∞，-1）∪（0，）

解：不妨令f（x）=-1，x>0，

0，x=0，

1，x<0，當x>0時，>0，解得0<x<;當x<0時，>0，解得x<-. 故答案選C.

評注：例1是基礎題，運用常規方法將條件和問題轉化為等差數列的首項a和公差d這兩個基本量的運算也很簡單，但解題時把此等差數列特殊化為常數列顯然速度更快，這也在一定程度上體現了不同的數學能力和思維水平. 例2的常規解法是：構造g（x）=x2f（x）（x>0），則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]<0，判斷g（x）在（0，+∞）上的單調性，結合函數的奇偶性得到函數f（x）在定義域R上的單調性，從而討論x的取值范圍并求解.根據題意構造新函數g（x）是常規解題方法的難點;相對而言，要寫出一個滿足“x>0時，有xf′（x）+2f（x）<0恒成立”條件的函數卻并不難. 顯然，這是一種比較理想的得分手段，但在教學過程中，我們不能忽視一般性問題的解決方法.

[?] 數值特殊化，事半功倍

當問題關系不明朗時，可以從特殊數值入手.特殊數值常常使變量關系變得明朗，凸顯問題的關鍵，揭示問題的本質.

例3 若f（x）=x3

-，x≠0，

0，x=0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（? ）

A. [-1，1]∪[3，+∞）

B. （-∞，-1]∪[0，1]∪[3，+∞）

C. [-1，0]∪[1，+∞）

D. （-∞，-3]∪[-1，0]∪[1，+∞）

解：當x=2時，將其代入xf（x-1）得2×f（1）=2×（1-16）=-30<0，不符合題意，排除C，D兩項;當x=-2時，將其代入xf（x-1）得-2×f（-3）=-2×

-27+

>0，符合題意. 故答案選B.

例4 已知函數f（x）=，且ea=lnb=c，則（? ）

A. f（a）<f（b）<f（c）

B. f（b）<f（c）<f（a）

C. f（a）<f（c）<f（b）

D. f（c）<f（b）<f（a）

解：不妨令a=0，則f（x）=. 又e0=lnb=c，所以b=e，c=1.由f′（x）=<0，得f（x）在（1，+∞）上單調遞減，所以f（0）=0<f（e）<f（1），即f（a）<f（b）<f（c）. 故答案選A.

評注：如果正面求解例3，要對x分多種情況進行討論. 具體解法如下：①當x=0或x=1時，xf（x-1）=0，成立;②當x<0時，xf（x-1）=x

（x-1）3-

≥0，可得（x-1）3≤，解得x≤-1;③當x>0且x≠1時，xf（x-1）=x

（x-1）3-

≥0，若x>1，則（x-1）4≥16，解得x≥3;若0<x<1，則（x-1）4≤16，解得0<x<1. 綜上，x∈（-∞，-1]∪[0，1]∪[3，+∞）.

通過對比兩種解法，不難發現，從選擇支出發，將特殊值代入進行驗算，排除錯誤選項是應試首選. 這是建立在從特殊到一般原理基礎上的解法，即“一個命題在一般情況下成立，那么在特殊情況下肯定成立;一個命題在特殊情況下不成立，那么在一般情況下肯定不成立”.

例4之所以令a=0，是因為在新高考背景下，學生對函數f（x）=的圖像與性質了如指掌，從而避免了含有字母的運算，大大提高了解題速度，提升了解題的正確率.

[?] 圖像或圖形特殊化，化繁為簡

對于幾何圖形問題，可先考慮將一般圖形特殊化，使得問題得以簡化，能更快捷地揭示圖形問題的本質和規律，從而解決一般性的圖形問題.

例5 在平行四邊形ABCD中（如圖1所示），E和F分別是BC和CD的中點. 若 =λ+μ，λ，μ∈R，則λ+μ的值為（? ）

A.? ? B.

C.? ? D.

解：如圖2所示，當ABCD為正方形時，==（+），所以λ+μ=. 故答案選B.

例6 在四棱錐P-ABCD中，=3，過直線AB的平面將四棱錐截成體積相等的兩個部分，設該平面與棱PC交于點E，則=（? ）

A. B.

C. D.

解：不妨設DA，DC，DP兩兩垂直，如圖3所示，且DP=DC=DA=3AB=3，設PF=FE=x，V=S·PD=×6×3=6.

所以V=V+V=V+V=S·AB+S·EF=··（1+x）=3，又0<x<3，解得x=2，所以==. 故答案選D.

評注：將圖形特殊化是解答涉及圖形的單項選擇題時常用的方法，如將普通三角形看成等邊三角形，將長方體看成正方體，等等. 這樣做能大大降低思維難度，簡化數學運算. 在例5中，若令a=，b=，用平面向量“基底法”求解也并不困難，但顯然在單項選擇題中運用特殊化策略更為簡單，其優越性在例6中就凸顯得更為明顯. 例6的常規解法是：令=λ（0<λ<1），設四棱錐P-ABCD的體積為V，依據=3這個條件，運用比例關系和等積代換法得到V=λV和V=λ2V，最后根據體積相等原則得到V=V+V=

λ+λ2

V=V，解得λ=. 由此看來，圖形特殊化非常有效，它可以將考生從復雜的代數運算中解放出來.

[?] 關系特殊化 出奇制勝

當題目中出現了多種變量的關系式時，可以考慮運用關系特殊化策略，它能使變量之間達到特殊狀態，動中求靜，迅速發現解答切入點，出奇制勝.

例7 a>0，b>0，c>0，且ab=1，a2+b2+c2=4，則ab+bc+ac的最大值為（? ）

A. 2 B. 1+2

C. 3 D. -2

解：令a=b，由a2=1，

2a2+c2=4得到a=1，

c=.

所以ab+bc+ac=1+2. 故答案選B.

例8 △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知+=6cosC，則+=（? ）

A. 4? B. 2? C. 5? D. 6

解：令a=b，所以6cosC=2，cosC=，tanC=2，tanC=tan（π-2A）=2，所以tanA=，所以原式===4. 故答案選A.

評注：解答例7的常規方法為消元法，利用ab=1，a2+b2+c2=4兩個等式消去a，b，得到關于c的代數式1+，然后利用函數求最值的方法解答;但題設中a與b的地位等價，a=b的特殊關系可使得問題得到極大簡化. 同樣，解答例8的常規方法需要利用正余弦定理進行角化邊，過程復雜，結果易錯;而題設中a與b的地位等價，a=b的特殊關系很快就可以得到正確答案.這里的特殊關系是相等，其本質是對稱，對稱是數理研究的一種重要方法，因為自然就是以對稱的方式存在的.

[?] 位置特殊化，舉重若輕

當問題涉及的圖形運動時，就可以考慮圖形的特殊位置，在特殊位置捕捉到解題的特征信息，從而將抽象問題具體化、復雜問題簡單化，將問題的解決聚焦于對特殊位置的研究，從而快速找到突破口.

例9 如圖4所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的體積為V，點P，Q分別在側棱AA′和CC′上，AP=C′Q，則四棱錐B-APQC的體積為（? ）

A.? ? B.

C.? ? D.

解：因為AP=C′Q，所以可以考慮點P，Q的極端位置. 令AP=C′Q=0，如圖5所示，此時V=V=V=V. 故答案選B.

例10 已知F，F是雙曲線E：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點，點M是雙曲線E上任意一點（不是頂點），過F作∠FMF的平分線的垂線，垂足為N，O是坐標原點. 若ON=，則雙曲線E的漸近線方程為（? ）

A. y=±x B. y=±x

C. y=±x D. y=±x

解：當動點M無限接近雙曲線的右頂點A時，如圖6所示，∠FMF趨向于平角，ON→OA=a，將其代入ON=，可得a=×2c，即c=2a，所以b=a，所以雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x. 故答案選D.

評注：例9給出的條件只有AP=C′Q，如果正面解答，那么計算量較大，因此考慮特殊位置可迅速獲解. 特殊位置通常是在兩端、中間、極限位置等特殊地方.同樣，例10采用了極端分析法求解，這是特殊化策略中的一種.當我們面對這個題目束手無策時，題設中的“不是頂點”給了我們極大的提示，當動點M無限接近雙曲線的右頂點時，問題就迎刃而解了. 例10的常規解法如下：如圖6所示，延長FN與MF，交于K，連接ON. 由題意可得MN為邊KF的垂直平分線，則

MF=MK，且N為KF的中點，ON=

KF. 由雙曲線的定義可得

MF-

MF=MK-

MF=

FK=2a，則ON=a=×2c，即c=2a，以下解答過程同上. 常規方法充分運用了角平分線的性質，結合雙曲線的定義，對學生的思維能力要求較高.倘若我們能在解題時把動點作為突破口，另辟蹊徑，那么正確答案也能隨之水落石出.

[?] 結束語

由一般到特殊的認識過程，是人們認識世界的基本過程之一.數學研究也不例外，在“特殊化”的過程中，學生經歷了從事物的具體背景抽象出一般規律和結構的完整過程，數學抽象素養、邏輯推理素養無疑得到了培育和發展.

應用特殊化策略解決單項選擇題往往可以化繁為簡、出奇制勝，能節省時間、提高效率. 當然，高中數學思想方法還有很多，我們必須認識到任何一種數學思想方法都不是萬能的，在日常教學過程中，每位數學教師必須堅守基本知識和方法的教學，在此基礎上培養學生的基本能力.