和諧促成同構，統(tǒng)一助力直觀

郭海萍 林新建

[摘? 要] 很多學生認為數(shù)學枯燥乏味，其最大原因就是經(jīng)常陷于“題海”不能自拔，很少從“美”的角度去看待解題.文章以2021年全國統(tǒng)一考試模擬演練第8題為例，從“數(shù)學美”的視角出發(fā)，分別從“以‘和諧’促成同構”與“以‘統(tǒng)一’助力直觀”兩方面來引領學生感悟數(shù)學中的“和諧美”與“統(tǒng)一美”.

[關鍵詞] 和諧;同構;統(tǒng)一;直觀

參數(shù)大小比較是近年來數(shù)學高考考查的熱點之一，這類題目因式子結構雜亂，參數(shù)排列無序，給考生的解答帶來了極大的困難.為此，教學中教師應引領學生基于“數(shù)學美”的視角，挖掘此類問題中的數(shù)學關系，并對已知式子作恰當變形，構造出和諧、對稱或統(tǒng)一的式子，方便問題的解決.

下面以一道新高考模擬演練題為例，就如何基于數(shù)學中的“和諧美”與“統(tǒng)一美”的視角來指引解題作一闡述，以饗讀者.

試題：（2021年全國統(tǒng)一考試模擬演練第8題）已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則（? ）

A. c<b<a B. b<c<a

C. a<c<b D. a<b<c

[?] 考點剖析

本題以比較大小的形式出現(xiàn)，考查函數(shù)的圖像和性質，考查考生綜合應用數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想解決問題的能力，考查數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，綜合性強、難度較大.

[?] 解法探析

題目給出了三個式子及三個參數(shù)，且三個參數(shù)分別位于三個式子，由于看不出三個參數(shù)之間的聯(lián)系，因此也就無法直接對其進行大小比較.

為此，需要對式子的模型特點作感知，以發(fā)掘式子的隱含信息，進而對式子作適當?shù)淖冃无D換，找出參數(shù)間的聯(lián)系，方能有效解決問題.

1. 以“和諧”促成同構

基于“和諧美”對已知式子作恒等變形，得到=，=，=，進而根據(jù)式子特征構造出函數(shù)f（x）=（x>0），利用同構函數(shù)的單調性和圖像解決問題.

解析：由已知可得=，=，=，且0<a<5，0<b<4，0<c<3，構造函數(shù)f（x）=（x>0），從而f（a）=f（5），f（b）=f（4），f（c）=f（3）. 因為f′（x）=，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，從而f（5）>f（4）>f（3），作出函數(shù)f（x）的大致圖像，如圖1所示. 因為0<a<5，0<b<4，0<c<3，所以0<a<1，0<b<1，0<c<1，且f（a）>f（b）>f（c），所以a<b<c.

評析：基于“和諧美”，對已知式子作出了恰當?shù)淖冃危沟闷湟?guī)則與規(guī)律顯示了起來，實現(xiàn)了數(shù)學模型的“同構”，彰顯了數(shù)學解題的“模型美”和“對稱美”.

“和諧美”是數(shù)學的一種重要美，表面上雜亂無章的式子，通過和諧的轉換，就會顯示出規(guī)則與規(guī)律. 教學中教師要引領學生感知數(shù)學的“和諧美”，運用數(shù)學的“和諧美”，在美的感受中培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

如問題：（2020年全國Ⅰ卷理科第12題）若2a+loga=4b+2logb，則（? ）

A. a>2b B. a<2b

C. a>b2 D. a<b2

2. 以“統(tǒng)一”助力直觀

基于“統(tǒng)一美”對已知式子作恒等變形，得到右邊統(tǒng)一的三個關系式x=ex，x=ex，x=ex，進而借助于一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)y=ex的圖像，直觀地解決問題.

解析：由已知得x=ex，x=ex，x=ex，且0<a<5，0<b<4，0<c<3，可知a，b，c分別是函數(shù)y=x，y=x，y=x與函數(shù)y=ex的圖像交點的橫坐標.

在同一平面直角坐標系中作出上述函數(shù)的圖像，如圖2所示，由于直線y=ex與函數(shù)y=ex的圖像相切于點（1，e），而>e，>e，>e，所以函數(shù)y=x，y=x，y=x與函數(shù)y=ex的圖像均有兩個交點，其橫坐標均分別在（0，1），（1，+∞）上.

易知5，4，3分別是函數(shù)y=x，y=x，y=x與函數(shù)y=ex的圖像交點的橫坐標，但0<a<5，0<b<4，0<c<3，從而0<a<1，0<b<1，0<c<1，直觀分析即知a<b<c.

評析：基于“統(tǒng)一美”，對已知式子作出了恰當?shù)淖冃危l(fā)現(xiàn)了其圖形特征和變化規(guī)律，實現(xiàn)了數(shù)學解題的直觀與簡潔，彰顯了數(shù)學解題的“直觀美”和“簡潔美”.

“統(tǒng)一美”也是數(shù)學的一種重要美，表面上看起來毫不相關的內容，卻可以通過一個概念、一個公式統(tǒng)一起來. 教學中教師要引領學生感知數(shù)學的“統(tǒng)一美”，運用數(shù)學的“統(tǒng)一美”，在美的感受中培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

再如問題：（漳州市2021屆高三畢業(yè)班適應性測試）正實數(shù)a，b，c滿足a+2-a=2，b+3b=3，c+logc=4，則實數(shù)a，b，c之間的大小關系為（? ）

A. b<a<c B. a<b<c

C. a<c<b D. b<c<a

[?] 教學建議

數(shù)學學習離不開解題，很多學生認為數(shù)學枯燥乏味，其最大原因就是沒完沒了地做題，陷于“題海”不能自拔，很少從“美”的角度去看待問題.

實際上，數(shù)學之美無處不在，數(shù)學“美”不只是一種審美標準，這種審美效應還能直接作用于數(shù)學解題中. 在解題過程中，一旦題目所提供的信息與審美情感吻合，就會激起審美直覺，使人迅速地從“美”的角度確定解題思路，從而使問題得以解決. 在數(shù)學教學中，若能適當換個視角去看待解題，讓學生欣賞其中的“數(shù)學美”，一定能更深刻地把握數(shù)學的本質，從而提高數(shù)學學習興趣，提升數(shù)學思維品質.

所以，教師要創(chuàng)設“數(shù)學美”的認知活動，引領學生在數(shù)學活動中感知“數(shù)學美”、體悟“數(shù)學美”、追尋“數(shù)學美”，讓思路更加自然順暢，讓數(shù)學課堂更加生動有趣，讓他們在“美”的感受中分析問題和解決問題，進而培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學的核心素養(yǎng).