過程性作業
——讓學習真正發生

汪 瓊

（浙江省杭州市富陽區職業高級中學，浙江 杭州 311400）

一、什么是過程性作業

過程性作業是教師根據教材和學情設計，提供給學生自主學習，提高數學素養的一種學案。學生依托過程性作業，在教師引領、同伴互助下進行深度學習，體驗成功的快樂，獲得持續性發展。

二、過程性作業的設計理念

1.體現過程，優化體驗

學習通常要經歷觀察、假設、推理、計算、驗證、歸納等過程，過程性作業必須要體現出上述過程，讓學生建構起作業承載的知識體系。學生在深度學習的過程中，提高了合作能力、自主探究品質，學會了反思，獲得了解決問題的成就感。

2.富有層次，循序漸進

過程性作業是學生自我學習的媒介，因此，教師在設計作業時應當遵循問題或內容由淺入深，由易到難的原則。學生在循序漸進地解決問題，完成任務過程中達到自我學習，自我成長的目的。

3.形式多變，激發興趣

過程性作業不能變成一種學生的簡單習題，應該形式多樣化：如動手操作做學具、畫單元思維導圖、觀看微視頻完成預習作業、錯題整理、當小老師編題等。這些靈活多變的過程性作業，能大大激發學生的學習興趣。

三、過程性作業的內容開發

1.預習式作業

高一《一元二次不等式》這節內容，是初中到高中知識難度跨越很大的一節，需要聯系學生初中學習的一元二次方程，一元二次函數內容。為了幫助學生順利過渡，筆者設計了一份預習式作業。

案例1

《一元二次不等式》預習作業

含有一個未知數，并且未知數的最高次數為二次的不等式，叫作一元二次不等式，標準形式如：

ax2+bx+c＞0（≥0），ax2+bx+c＜（≤0）（a≠0）

一．解下列一元二次方程。

x2-x-6=0 x2-6x+9=0

二．已知一元二次函數y=x2-x-6，

1.畫出這個二次函數的草圖（草圖體現開口方向，與x軸交點即可）。

2.拋物線與x軸的交點是______________，其交點將x軸分成________段。

3.（1）當y=0即x2-x-6=0時，自變量x的取值是______。

（2）當y＞0即x2-x-6＞0時，函數對應圖像位于____，此時自變量x的范圍是______，x2-x-6＞0的解集為______。

（3）當y<0即x2-x-6＜0時，函數對應圖像位于______，此時自變量x的范圍是______，x2-x-6＜0的解集為______。

學生自主完成預習作業，把初中的解一元二次方程，一元二次函數的知識聯系起來。通過動手畫圖像、觀察圖像、動腦思考，初步了解圖像法解一元二次不等式的方法。學生完成預習作業后，再聽教師講解新課，更容易理解新課內容。一份簡單的預習式作業引導學生獨立思考，自主探究，往往能幫助教師突破難點，強化重點，達到事半功倍的效果。

2.反思式作業

學生要學好《二項式定理》這節內容，需要較強的計算能力。在練習過程中，一些典型習題學生往往屢做屢錯。對于運算類習題課，教師如果單單采用講練結合的形式，學生覺得枯燥乏味，教學往往收效甚微。基于此，筆者設計了一份反思式作業，幫助學生突破計算瓶頸。

案例2

《二項式定理》錯題反思作業（部分）

【我是華佗】

病因分析：

對癥下藥：

【滋補佳品】

學生通過完成反思式作業，分析錯誤原因，所用到的算理或知識點，在理解的基礎上完成矯正練習。學生在“反思”——“理解”——“矯正”的深度學習過程中，達到了舉一反三，融會貫通的效果。教師也破解了“教不會”的困惑，小小的“反思作業”起到了一兩撥千斤作用。

3.思維導圖式作業

立體幾何模塊定理和性質多，學生如果對定理和性質不熟悉，碰到題目往往不知如何下手。為了學生能深入地理解這些定理和性質之間的關系，筆者設計了一份思維導圖式作業。

案例3

《空間的平行和垂直》思維導圖式作業

請同學們根據圖示歸納定理或性質，仿照例子寫出命題文字語言，符號語言并畫圖。

1.線面、面面平行的定理和性質

2.線面、面面垂直的定理和性質

圖形：

文字語言：如果平面外一條直線平行于平面內一條直線，那么這條直線就與平面平行。

學生對照書本找每一個“箭頭”對應的定理和性質，畫圖，厘清線面關系。在完成作業的深度學習中，將平行、垂直關系系統化，在腦海中織就一張關系網；又像“庖丁解牛”一樣細節化，分解出每一個命題中條件與結論之間的關系。在碰到判斷命題真假，證明線面平行或垂直類型的題中，馬上能找到解題切入點。教師制作“思維導圖式”作業，在復習課中能引導學生把整章內容牽線搭橋式的進行整理。

4.編題式作業

上完《數列》這一章后，學生感覺這部分內容公式很多，錯綜復雜。等差數列，等比數列都涉及首項、末項、中項、前n項和、通項之間的關系。為了讓學生靈活運用數列公式、性質，筆者設計了一份編題式作業。

案例4：

《數列編題式作業》

在《等差數列》中，我們學習了下列公式，

請你當一次小老師，根據下列條件編題并解答：

要求：已知等差數列 a1,n,d, an,Sn中的任意三個量，求剩下的兩個量。

編題1：____________________________________.

解答：

編題2：____________________________________.

解答：

在《排列組合》這章內容中，學生總是分不清哪些題是排列問題，哪些題是組合問題。為了激發學生的興趣，理解排列問題和組合問題的區別，筆者設計了一份編題式作業。

案例5

《排列組合編題式作業》

你知道如何區分排列問題和組合問題嗎？如果選出的元素在安排時有序，就是排列問題，無序就是組合問題。檢驗是否“有序”，可以變換某一結果中兩元素的位置，結果有變化就是“有序”。

例：從高一（2）班的30位同學中選2位做班干部，是組合問題。

從高一（2）班40位同學中選2位分別擔任班長和紀律委員，是排列問題。

請你結合生活實際，再編2道組合問題和排列問題的題目。

組合問題：1.____________________________________

2.____________________________________

排列問題：1._____________________________________

2.____________________________________

把你編的題目拿給身邊的同學做一做吧！

“編題式作業”，化學生被動解題為主動編題。學生把自己編的題目再拿給身邊的同學做一做，在探究過程中，啟迪思維，相互促進，教學難題迎刃而解。

5.實踐操作式作業

在立體幾何《多面體和旋轉體》內容中，已知圓錐底面半徑，母線長，求圓錐的側面積，體積是常常出現的題目。圓錐的側面展開圖是扇形，求側面積和體積時還與扇形的圓心角等相關，比較復雜。為了讓學生將公式熟記于心并靈活應用，培養學生的動手操作能力，筆者設計了一份實踐操作式作業。

案例6

《圓錐的側面積和體積》操作式作業

一．畫一畫，剪一剪

請你在白紙上確定圓心和半徑，用圓規畫一個扇形，并剪下這個扇形。建議圓心角取特殊角，如30度，45度，60度，120度，135度，150度中任選一個。

二．量一量，記一記

測量扇形的半徑和圓心角，并在本子上做好記錄。

三．做一做，算一算

把剪好的扇形圍成一個圓錐，根據記錄的數據計算這個圓錐的側面積和體積。

（1）扇形半徑：______cm 扇形圓心角：______

求圓錐的側面積和體積

在《橢圓的定義與標準方程》一節中，為了讓學生實際體驗橢圓的形成過程，會求橢圓的長軸，短軸，焦距等，筆者設計了一份實踐操作式作業。

案例7：

《橢圓的定義與標準方程》實踐操作作業

你能畫一個標準的橢圓嗎？

材料準備：

一條長度一定的線繩，兩枚釘子，一支鉛筆，兩塊畫板（可以在木板上貼上白紙）。

二．操作步驟

（1）畫板橫放，將繩子的兩端用釘子固定在畫板上的F1和F2兩點，并使繩長大于F1和F2之間的距離。

（2）用鉛筆尖將線繩拉緊，并保持線繩的拉緊狀態，筆尖在畫板上慢慢移動，畫一個橢圓。

問題：M點在移動過程中，MF1與MF2的距離之和變化嗎？如果不變，MF1與MF2距離之和就是什么？

____________________________________

（3）你會通過建立平面直角坐標系，得到橢圓標準方程，求出長短軸的長度，焦點坐標嗎？

在第一塊畫板（橫放）上，以兩個釘子所在直線為x軸，以F1F2的中垂線為 y軸，建立直角坐標系（用鉛筆畫圖）。測量F1F2間距離，繩子的長度（接頭處不計）

根 據|F1F2|=2c，|MF1|+|MF2|=2a得 測 量 的 結 果：a=______，c=______。根據a2=b2+c2得b2=______。根據焦點在x軸上的橢圓標準方程：，你畫得橢圓標準方程是：____，焦點坐標____，長軸長____，短軸長____。

（4）在第二塊畫板（豎放）上，重復一、二步驟。

根 據|F1F2|=2c，|MF1|+|MF2|=2a得 測 量 的 結 果：a=______，c=______。根據a2=b2+c2得b2=______。根據焦點在x軸上的橢圓標準方程：，你畫得橢圓標準方程是：____，焦點坐標____，長軸長____，短軸長______。

實踐操作式作業體現了“做中學”的教育思想，教師引導學生根據主題任務，通過觀察、操作、類比、歸納等具體活動，自主探究圓錐的側面積和體積的求法、橢圓的形成過程及橢圓的標準方程。學生在過程性的深度學習中，提升了動手操作能力，數形結合能力。

6.總結式作業

為了讓學生對《正、余弦定理與解三角形》這一節內容定理、公式、題型進行歸納總結，會根據不同條件選擇適當的定理解題，筆者設計了一份總結式作業。

案例8

《正、余弦定理與解三角形》總結式作業

【理一理】在《正、余弦定理與解三角形》中，我們學過了正余弦定理和三角形面積公式，還知道了根據不同已知條件選擇合適的定理解題。請你用思維導圖、框圖或樹狀圖的形式進行歸納。

【找一找】根據不同的已知條件，我們要學會選擇合適的定理解題，請你結合自己上面的總結，按照下面的例子，列舉幾種不同的題型。

例：

題型：已知兩角對邊，選擇正弦定理求另一角的對邊。

解答：

題型一：______________________________

例題1：_________________________________________

解答：

【糾一糾】本節內容有哪些易錯題，向同學們推薦幾題。

（1）題目______________________________________，

易錯點：______________________________________。

（2）題目：_____________________________________，

易錯點：______________________________________。

教師在章節復習中引導學生用框圖、思維導圖、樹形圖等形式對概念、定理、公式、性質等基礎知識進行梳理歸納，理清知識點。學生在完成過程性作業中，構建起知識網絡，查漏補缺。題型歸納和錯題自糾，幫助學生深度思考，自我學習。這樣的復習方式，比老師總結，學生被動接受更有實效性。

7.專業結合式作業

電子電工中的正弦交流電與數學中的正弦型函數聯系緊密。專業課老師向筆者反應，學生相關知識的數學基礎不夠。為了讓學生會求正弦交流電的三要素：振幅、周期、初相位。會求正弦交流電的有效值，相位差。筆者設計了一份專業結合式作業。

案例9

一．學一學

在數學中，我們把形如 y=A sin(?x +?)的函數叫作正弦型函數。其中A叫做振幅，ω叫作角頻率，?叫作初相。

在電工專業中，常用 i=Imsin( w t+?i0)和e=Emsin(? t +?e0)來表示交流電中電流和電壓的瞬時值。其中，i，e，u為電流，電動勢，電壓的瞬時值；Im，Em，Um為電流，電動勢和電壓的最大值；ω為角頻率，?0為初相位。

（1）周期

完成一次周期性變化所用的時間叫作周期。用T表示，單位是秒。

（2）頻率

交流電在單位時間內完成周期性變化的次數，叫作頻率。用f表示，單位是赫茲。

（3）角頻率

在e=Emsin(? t +?e0)中，?是線圈轉動的角頻率。角頻率和周期、頻率有如下關系。

（4）初相位和相位差

當t=0時，相位?0叫作初相位。

二．練一練：

通過這份專業結合式作業，學生學會將正弦型函數與正弦交流電結合，應用數學知識解決專業問題。

四.關于過程性作業開發的思考

1.源于教材，整合開發

教材中有一些實踐操作內容，教師可對其進行加工，設計以現實問題為背景的過程性作業，使學生體會到數學的實用性。

2.學科互通，多元開發

教師還可結合各學科中的數學知識開發過程性作業，如建筑和機械專業相關知識結合二面角等。這種跨學科的作業能大大激發學生的興趣，不僅強化了數學知識，還鞏固了專業知識，體現了數學學科的工具作用。

3、不同層次，各有發展

過程性作業，因為設計中體現了學生自我反思，自我總結，自我創造的思想，從而促進學生深度學習，使不同層次的學生數學素養都得到發展。

教師開發多樣化的過程性作業，改變了傳統作業的單一性，靈活多變的形式讓學習不再枯燥。學生在深度學習中，優化了認知結構，形成了學習方法，積累了活動經驗。過程性作業，讓學習在學生身上發生，真正實現了“授之以漁”。