兩線結合 輕松解題

宋海明

[摘 要]角平分線和垂直平分線是非常重要的解題“鑰匙”。研究角平分線和垂直平分線的綜合應用，能讓學生靈活、輕松解題。

[關鍵詞]角平分線;垂直平分線;綜合應用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0023-03

角平分線和垂直平分線作為初中數學的“兩線”，無論是其定義、性質、判定、畫法還是應用，都在初中數學幾何中有著舉足輕重的地位。可以說，學生掌握好這“兩線”對解題大有裨益。本文結合實例對角平分線和垂直平分線的綜合應用進行分析。

一、角平分線和垂直平分線的妙用

角平分線和垂直平分線的教學都是按照定義、性質、判定、畫法、應用五個方面進行的。角平分線和垂直平分線既有相通、相似之處，又能結合起來設置更具靈活性的問題。一般來說，角平分線和垂直平分線有如下妙用。

（一）角平分線的妙用

角平分線的作用非常多，常用來求證點到線的距離相等問題。具體思路有“角平分線 + 垂兩邊”“角平分線 + 造全等”“角平分線、平行線 + 等腰三角形”“角平分線、垂線 + 等腰三角形”。

[例1]如圖1所示，在[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，[AD]平分[∠BAC]，交[BC]于點[D]。若[DC=7]，則[D]到[AB]的距離是? ? ? ? ? ? 。

分析：首先，要充分理解“D到[AB]的距離”，此為“點到直線的距離”定義，所以應過點[D]作[AB]的垂線;然后再結合“[AD]平分[∠BAC]”這一條件，過角平分線AD上的一點向[∠BAC]的兩邊作垂線，最后利用“角平分線上的點到角兩邊距離相等”的性質來解決問題。

[例2]如圖2所示，[∠1=∠2]，[OE=OF]，連接[DE]，[DF]，求證：[△ODE≌△ODF]。

分析：本題欲證明兩個三角形全等，那么應先尋找證明其全等的條件。由題意可知，兩個三角形的兩個對應夾角未知，而這需要根據“[OC]平分[∠AOB]”獲得。可在[∠AOB]的兩邊上取相等的線段后，結合角平分線構造全等三角形。

[例3]如圖3所示，在[△ABC]中，[BO]，[CO]分別為[∠ABC]，[∠ACB]的平分線，經過點[O]的直線[DE∥BC]，交[AB]于點[D]，交[AC]于點[E]。若[BD=3]，[EC=2]，則[DE=]? ? ? ? ? ?。

分析：有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的另一邊的平行線，從而構造等腰三角形。也可以過角的一邊上的一點作角平分線的平行線，與角的另一邊所在直線交于一點，從而構造等腰三角形。如果沒有角平分線，那么需要留意題中是否有垂直平分線、中位線、平行線、等腰三角形等條件，因為運用這些條件解決問題時也可產生與運用角平分線性質相同的效果。

[例4]如圖4所示，在[Rt△ABC]中，[AB=AC]，[∠BAC=90°]，[BD]平分[∠ABC]，[CE⊥BD]的延長線于[E]。求證：[BD=2CE]。

分析：從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與另一邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用等腰三角形“三線合一”的性質（若題目條件中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段止于角的另一邊）。另外，利用所作的垂線還能構造一對全等的直角三角形。

[例5]如圖5所示，有[L1]、[L2]兩條公路相交于點[O]，現要在公路內部修建一個加油站[A]，使得加油站到兩條公路到[L1]、[L2]的距離相等，你認為該加油站應該在何處修建較好？

分析：要解決這類問題，首先要想到角平分線的一個妙用，即作出點使其到兩邊的距離相等。在這里可以將加油站[A]看成角內部的一個點，然后只要作出角的角平分線就能確定加油站所在的位置，即位于[OA]這條射線上，因為可以根據角平分線的性質得到這樣的[A]點到角的兩邊的距離相等。

（二）垂直平分線的妙用

垂直平分線的作用也有很多，常見的有可用來求點到點的距離相等、轉換線段的位置等。

[例6]如圖6所示，在[△ABC]中，[AB]，[AC]的垂直平分線分別交[BC]于點[D]，[E]，垂足分別為[F]，[G]，已知[△ADE]的周長為12 ㎝，則[BC=]? ? ? ? ? ? ?。

分析：在本題中，需要將線段[AD]轉換至[BD]，將[AE]轉換至[EC]。這樣一來，原本告知的“[△ADE]的周長為12 ㎝”條件，便瞬間轉化為“[BD+DE+EC=12]”，這就是本題所求的[BC]的長度。

[例7]如圖7所示，某城市規劃局為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區[A]、[B]、[C]之間修建一個購物中心，試問：該購物中心應建于何處，才能使得它與三個小區的距離相等？

分析：這一類問題在初中幾何尤為常見，所采用的方法就是先將[A]，[B]，[C]三點連接成一個三角形，然后分別作這個三角形每條邊的垂直平分線，這三條垂直平分線會相交于某一個點，該點則為購物中心修建處。

二、角平分線和垂直平分線的綜合應用

角平分線和垂直平分線的綜合應用主要體現在兩個方面，一是借助角平分線和垂直平分線進行計算和證明，二是借助角平分線和垂直平分線進行尺規作圖。

（一）借助角平分線和垂直平分線進行計算和證明

[例8]如圖8所示，在[△ABC]中，[∠ABC=45°]，[DH]垂直平分[BC]交[AB]于點[D]，[BE]平分[∠ABC]，且[BE⊥AC]，垂足為點[E]，與[CD]相交于點[F]。

（1）線段[BF]與線段[AC]相等嗎？

（2）[CE]與[12BF]之間有何關系，為什么？

分析：本題同時出現了角平分線和垂直平分線，在綜合應用的過程中需同時考慮“兩線”的性質及其應用。

（1）線段[BF]與線段[AC]相等。因為[DH]垂直平分[BC]且[∠ABC=45°]，所以[BD=DC]，且[∠BDC=90°]。因為[∠A+∠ABF=90°]，[∠A+∠ACD=90°]，所以[∠ABF=∠ACD]?？梢宰C明[△BDF]和[△CDA]全等，由全等三角形的性質得到[BF=AC]。

（2）由（1）分析可知[BF=AC]。因為[BE]平分[∠ABC]，所以[∠ABE=∠CBE]且[BE⊥AC]，可以證明[△ABE]和[△CBE]全等，得到[CE=AE=12AC=12BF]。

小結：當一道計算題或證明題中同時出現角平分線和垂直平分線時，首先需要根據角平分線和垂直平分線分別得出相應的結論，然后將它們根據解題需要進行綜合應用。一般來說，有角平分線和垂直平分線的題目，通常會涉及全等三角形。

[例9]如圖9所示，[∠A=90°]，[BE]平分[∠ABC]，[DE]垂直平分[BC]，[AB=6]，[AC=8]。求[△ABE]的面積。

分析：本題同時出現角平分線和垂直平分線，那么在分析問題時，應分別利用“兩線”得出結論，然后借助直角三角形列出相應的方程。由角平分線可得[AE=DE]，由垂直平分線可得[BE=EC]。此時，不妨設[AE]為[x]，那么[EC=8-x]，所以在直角三角形[ABE]中，可得[x2+62=（8-x）2]。解之即可求出[△ABE]的面積。

小結：這種模型在學生平時訓練時經常會見到，解題的基本思路是先找出等邊后設未知數并解方程，即把相關的邊放在一個直角三角形中，然后利用勾股定理列出方程，通過數形結合解決問題。

（二）借助角平分線和垂直平分線進行尺規作圖

[例10]如圖10所示，[AB]和[BC]兩條公路相交于[B]點，在其內部有[D]、[E]兩個村莊。為了給兩村村民提供更多生活便利，現計劃在[∠ABC]的內部建一個超市，要求該超市與兩個村莊的距離相等，且同時到兩條公路的距離相等。運用所學知識，采用尺規作圖畫出該超市點[P]。

分析：本題需要同時考慮角平分線和垂直平分線，因為“要求該超市到兩個村莊的距離相等，且同時到兩條公路的距離相等”。因此，點[P]既要在[∠ABC]的角平分線上，又要在線段[DE]的垂直平分線上。如圖10所示，連接[DE]，作[DE]的垂直平分線，再作出[∠ABC]的角平分線，兩線相交于點[P]，則點[P]為所求的點。

小結：遇到這類尺規作圖問題，首先要熟識作圖方法，然后要清楚“點到點的距離相等作垂直平分線，點到邊的距離相等作角平分線”。

綜上所述，在一個問題中同時出現角平分線和垂直平分線時，要掌握“兩線”的定義、性質、判定、畫法應用等內容，以及與之相關的等腰三角形、全等三角形等知識。只有理解掌握這些知識點，才能靈活解決問題。因此，教師在平時教學中要注重這方面的訓練，積極幫助學生構建知識體系和掌握解題技巧。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 任淑芳，張森.找出“型”方能“行”，能力才能得提升：以“角平分線的綜合應用”教學為例[J].中學數學， 2020（22）：12-13，22.

[2]? 喬琦花，董磊.運用“幾何畫板”，凸顯數學思想方法教學：以“平行線的性質與判定的綜合應用”為例[J].中學數學教學參考，2020（8）：75-78.

[3]? 高峰.應用“線段垂直平分線性質定理”解題[J].中學生數學，2013（12）：41-42.

（責任編輯 黃桂堅）