數學與藝術

摘要：現代數學與中國傳統藝術有很大的一致性：即使是最簡單的數學對象，也是抽象思維的產物;相對于藝術創造，對于形式（美）的追求在數學中也有明顯的表現，如"對稱性"簡單性""統一性""奇異性"等。數學教育應當努力實現藝術的境界，"真""善""美"的高度統一也應是數學乃至一切科學的最高追求。

關鍵詞：藝術;美學;數學;數學教育

相對于將數學看成自然科學的一個分支，很多數學家更傾向于將自己的學科看成一門藝術①：

"數學是所有人類活動中最完全自主的，它是最純的藝術。"（沙利文）

"數學是一門藝術，因為它創造了顯示人類精神的純思想的形式和模式。"（費爾）

"我幾乎更喜歡把數學看作藝術，然后才是科學，因為數學家的活動是不斷創造的……數學的嚴格演繹推理在這里可以比作畫家的繪畫技巧。就如同不具備一定的技巧就成不了好畫家一樣，不具備一定準確程度的推理能力就成不了數學家……這些都不是最主要的因素。還有一些遠比上述條件難以捉摸的素質才是造就優秀藝術家或優秀數學家的條件。其中有一個共同的素質，那就是想象力。"（博歇）

"數學是創造性的藝術，因為數學家創造了美好的新概念·數學是創造性的藝術，因為數學家像藝術家一樣地生活，一樣地工作，一樣地思索·數學是創造性的藝術，因為數學家這樣對待它。"（哈爾莫斯）

在此，還要特別提及一位當代數學家——洛克哈特。他不僅同樣認定數學是最純粹的藝術，還從這一立場對現行的數學教育體制進行了激烈批判，甚至為了實現自己的理想，從大學轉至基層學校擔任數學教師。他指出："事實上，沒有什么像數學那樣夢幻及富有詩意，那樣激進、具破壞力和帶有奇幻色彩……數學是最純粹的藝術，同時也最容易受到誤解。"①

盡管存在這么多的既有論述，我還是始終未能弄清我們究竟為什么可以甚至應當將數學看成一門藝術。當然，這也直接牽涉到我們應當如何理解藝術。在"理解藝術"方面缺乏必要的修養，正是我一直未能突破這一認識瓶頸的主要原因。

機緣巧合，我近期閱讀了著名美學家宗白華先生的《美從何處尋》，從中獲得了一些啟示。之所以會看一些美學的著作，是受一位語文教師——胡亨康老師的影響②，特別是他的成長歷程，讓我有了新的見解③。我從《美從何處尋》中獲得的啟示，主要源于宗白華先生對中國傳統藝術精髓的分析。

一、中國傳統藝術的精髓

在宗白華先生看來，中國傳統藝術的精髓集中表現于對"意境"的追求："意境是'情'與'景'（意象）的結晶品。""在一個藝術表現里情和景交融互滲，因而發掘出最深的情，一層比一層更深的情，同時也透人了最深的景，一層比一層更晶瑩的景"景中全是情，情具象而為景，因而涌現了一個獨特的宇宙，嶄新的意象。"也就是說，藝術是主客體的一種交融，從而"為人類增加了豐富的想象，替世界開辟了新境"。④

盡管各種藝術都可被看成人類精神的"具象化、肉身化"，但這又并非外部世界的簡單寫照·恰恰相反，如果借用"道"這一術語，即"燦爛的'藝'賦予'道'以形象和生命'道'給予'藝'以深度和靈魂"⑤。這也就是人們提升精神境界的一個重要途徑："藝術的境界，既使心靈和宇宙凈化，又使心靈和宇宙深化，使人在超脫的胸襟里體味到宇宙的深境。"⑥

宗白華先生曾借助"實"和"虛"這一對概念，對中國傳統藝術的上述特征進一步做了分析："由于'粹'，由于去粗存精，藝術表現里有了'虛'，'洗盡塵滓，獨存孤迥'。由于'全'，才能做到孟子所說的'充實之謂美，充實而有光輝之謂大'。'虛'和'實'辯證的統一，才能完成藝術的表現，形成藝術的美。"⑦在宗白華先生看來，這也直接涉及中西藝術的重要差異："只講'全'而不顧'粹'，就是我們現在所說的自然主義·只講'粹'而不能反映'全'，又容易走上抽象的形式主義的道路。"①"西洋文化的主要基礎在希臘"，"希臘藝術理論既因建筑與雕刻兩大美術的暗示，以'形式美'（即基于建筑美的和諧、比例、對稱平衡等）及.自然模仿，（即雕刻藝術的特性）為最高原理，于是理想的藝術創作即在模仿自然的實相中同時表達出和諧、比例、平衡、整齊的形式美"。②例如，"中、西畫法所表現的'境界層'根本不同，一為寫實的，一為虛靈的;一為物我對立的，一為物我渾融的"。再者，盡管西洋繪畫也經歷了由古典精神向近代精神的轉變，"然而它們的宇宙觀點仍是一貫的，即'人'與'物'，'心'與'境'的對立相視"。與此不同，"中國畫所寫近景一樹一石也是虛靈的、表象的。中國畫的透視法是提神太虛，從世外鳥瞰的立場觀照全整的律動的大自然，他的空間立場是在時間中徘徊移動，游目周覽，集合數層與多方的視點譜成一幅超象虛靈的詩情畫境"。③這就是中國藝術最后的理想和最高的成就："以追光躡影之筆，寫通天盡人之懷。"④

二、現代數學與中國傳統藝術的一致性

但是，這些關于藝術的分析與數學究竟有什么關系？這對于我們理解為什么可以甚至應當將數學看成一門藝術又有什么啟示？以下，是我的一些膚淺的想法。

雖然現代數學主要也應歸結于古希臘的傳統，但在我看來，現代數學又與中國傳統藝術有很大的一致性——盡管這聽上去有點不可思議，但或許可以從一個側面表明"大道歸一"的道理。

我主要關注這樣一個事實：數學顯然并非客觀事物與現象在人們頭腦中的簡單反映;恰恰相反，即使是最簡單的數學對象，如1、2、3或點、線、面，也是抽象思維的產物。當然，這也有一個"外化"的過程——數學家們并非使用聲音、色彩、形象這樣的藝術語言，而是主要借助語言和抽象符號實現所謂的"具象化"。

再者，相對于藝術創造，對于形式（美）的追求在數學中也有明顯的表現。我們也可從這一角度對"數學美"作出大致的"定義"，即表現為"對稱性"簡單性"統一性""奇異性"等形式。當然，我們也應清楚地看到："數學家們并非純粹地為藝術而藝術，他們對于美的感受和追求往往以數學上的考慮作為直接背景或目的，這也就是說，他們所追求的是：在極度無序的對象（關系結構）中展現極度的對稱性，在極度復雜的對象中揭示極度的簡單性，在極度離散的對象中發現極度的統一性，在極度平凡的對象中認識極度的奇異性。"⑤簡言之，數學中對于美的追求具有重要的方法論意義，更集中地反映了數學家的以下特性："他們永不滿足于已取得的成果，并希望能夠更深刻、更全面、更正確地認識世界。也正因此，他們總是力圖由已知去推出未知，希望將復雜的東西予以簡單化，分散、零亂的東西予以統一，也總渴望能開拓出新的研究領域……正是在這樣的過程中，數學家們感受到了數學的美，而這事實上也正是認識不斷發展和深化的一個過程。"⑥

在此基礎上，我有了一些新的感悟：數學家們通過自己的研究工作深切感受到了思維的力量、精神的力量，這就是我們應當將數學看成一門藝術的主要原因，包括我們應當如何認識數學的文化價值。關于數學的文化價值，彭加勒（也譯為龐加萊）等著名數學家已經清楚地指明："一個名符其實的科學家，尤其是數學家，他在他的工作中體驗到與藝術家一樣的印象;他的樂趣和藝術家的樂趣具有相同的性質，是同樣偉大的東西。"①"數學……是一種活動，在這種活動中，人類精神似乎從外部世界所取走的東西最少，在這種活動中，人類精神起著作用，或者似乎只是自行起著作用和按照自己的意志起作用。"②

以下依據宗白華先生關于"形式"的分析，做進一步說明。

按照宗先生的看法，對"形式的作用，可以區分出這樣三個不同的層次③：第一，"美的形式的組織，使一片自然或人生的內容自成一獨立的有機體的形象，引動我們對它能有集中的注意、深入的體驗"，"美的對象之第一步需要間隔"。顯然，這就相當于前述的"外化"，包括數學中經常提到的"模式化"。第二，"美的形式之積極的作用是組織、集合、配置。一言蔽之，是構圖，使片景孤境能織成一內在自足的境界，無待于外而自成一意義豐滿的小宇宙，啟示著宇宙人生的更深一層的真實"。從數學的角度看，這意味著由各個孤立的"模式，過渡到了整體性的"結構"。第三，"形式之最后與最深的作用，就是它不只是化實相為空靈，引入精神飛越，超人美境;而尤在它能進一步引入'由美人真'，探入生命節奏的核心。世界上唯有最生動的藝術形式……最能表達人類不可言、不可狀之心靈姿式與生命的律動"。顯然，這也正是諸多數學家將數學看成一門藝術的主要原因。

三、數學教育應當努力實現藝術的境界

依據上述分析，我們可以更好地理解洛克哈特關于"什么是真正的數學"的具體論述，包括數學教師應當通過自己的教學向學生傳遞什么樣的感受，進而理解他為什么對強調"數學的應用"持明確的反對態度④：

"這就是數學的外貌和感覺。數學家的藝術就像這樣：對于我們想象的創造物提出簡單而直接的問題，然后制作出令人滿意又美麗的解釋。沒有其他事物能達到如此純粹的概念世界，如此令人著迷、充滿趣味……"

"（應讓學生）有機會享受當一個有創造力、有靈活性、心胸開放的思想家——這是真正的數學教育可能提供的東西。……數學應該被當作藝術來教。這些世俗上認為'有用'的特點，是不重要的副產品，會自然而然地跟著產生。"

"所有這些'改革'最悲哀的地方，是企圖'要讓數學變有趣'和'與孩子們的生活產生關聯'，你不需要讓數學變得有趣——它本來就遠超過你了解的有趣！它的驕傲就在于與我們的生活完全無關。這就是為什么它是如此有趣。"

"無論如何，重點不在數學是否具有任何實用價值……我要說的是，我們不需要以這個為基礎來證實它的正當性。我們談的是一個完全天真及愉悅的人類心智活動——與自己心智的對話。數學不需要乏味的勤奮或技術上的借口，它超越所有的世俗考量。數學的價值在于它好玩、有趣，并帶給我們很大的歡樂。"①

"教學是開放與誠實的，是能分享興奮之情的能力，是對教學的熱愛。沒有這些，世界上所有的教育學位都不能幫助你。"

"（學生不喜歡數學的）原因就在于他們自己從來沒有機會去發現或發明這類東西。他們從來都沒有碰到一個讓他們著迷的問題，可以讓他們思考，可以讓他們感受挫折，可以讓他們燃起渴望，渴望有解決的技巧或方法。"

"如果你沒有興趣探索你自己個人的想象宇宙，沒有興趣去發現和嘗試了解你的發現，那么你干嗎稱自己為數學教師？如果你和你的學科沒有親密的關系，如果它不能感動你，讓你起雞皮疙瘩，那你必須找其他的工作做。如果你喜歡和小孩相處，你真的想要當老師，那很好——但是去教那些對你真正有意義、你能說得出名堂的學科。"

但是，在初等數學中，我們也能找到這樣的能使學生感到極度震撼并能深切地感受到精神力量的實例嗎？

畢達哥拉斯定理就是這樣的一個實例，它對古希臘乃至整個現代西方文明的發展產生了十分重要的影響。

下面則是另外兩個實例（更多的實例可見《一個數學家的嘆息——如何讓孩子好奇、想學習、走進美麗的數學世界》）：

其一，任一多邊形，不管它是三角形，還是四邊形或五邊形，它的外角和總是360°。

其二，在半圓中以直徑為底作三角形，無論三角形的頂點在圓周的什么地方，三角形的頂角都是90°。

由此可見，即使是中小學數學教學，也可在上述方面大有作為，關鍵在于教師是否具有足夠的自覺性，包括切身的感受和體驗。

以下實例②是一些學生對一位語文教師的回憶。盡管它來自語文教學，相信讀者仍可由此很好地感受到什么是教學應當努力實現的一種境界。對此，我們又確可比擬為一種真正的"藝術境界"。

這是北京四中語文老師李家聲的課堂，不是公開課：

他講《離騷》，"好像被屈原附體一樣，散發出一種人性的光芒，（讓我們）心里有說不出的感動"。他朗讀《離騷》，時而激揚，時而悲憤，學生不得不"被屈原那種靈魂的美、精神的美，所深深吸引"。雖然《離騷》只上了兩節課，一個從前不喜歡語文的理科學生，課后，不知花了多少時間來讀《離騷》，375句差不多都能背下來了。

……

"他講《滿江紅》，不是講，而是吟唱，每次唱，都會哭。"一個考上北大的女生回憶道，"開始時，我望著他，他微蹙著眉頭，凝視著前方，幾根發絲微微顫動。但很快，我低下

頭，不敢再抬起來，因為我知道，自己的雙頰已經紅得發燙，眼中的淚水，已經漲到收不回的程度。"唱到，待從頭、收拾舊山河，朝天闕"時，先生已滿眼是淚，學生也滿眼是淚。歌罷，教室里，立刻響起雷鳴般的掌聲。"我們把手拍紅了，卻都不愿意停下來。就這樣，掌聲一浪接一浪地響了不知多長時間。"

一茬茬的學生，成了他忘年的知音。"先生給予了我空靈、明凈和透亮的靈魂，教我們怎樣做一個知識分子，做一個鐵骨錚錚、處世獨立、橫而不流的知識分子。"

再從宗白華先生的論著中摘錄幾段關于，簡"與，虛"的論述，建議讀者聯系數學和數學教育中對于，抽象"與，留空（白）"的強調，進行比較和理解，包括它們的共同點，乃至，大道歸一"的道理：，簡者簡于象，非簡于意。"，中國畫以黑墨寫于白紙或絹，其精神在抽象……練則簡。簡則幾乎華貴，為藝術之極則矣。"，此虛無非真虛無，乃宇宙中渾沌之原理;亦即畫圖中所謂生動之氣韻。……中國畫最重空白處。空白處并非真空，乃靈氣往來生命流動之處。"，空而后能簡，簡而練，則理趣橫溢，而脫略形跡。然此境內不易到也，必畫家人格高尚，秉性堅貞，不以世俗利害營于胸中，不以時代好尚惑其心志;乃能沉潛深入萬物核心，得其理趣，胸懷灑落。"①

由以上論述，我們還可進一步領悟到相關研究應當避免或糾正的一些傾向，以及超越專業走向，大道"的主要途徑。

首先，無論就藝術或數學而言，事實上都涉及，境"，意"和，形"這樣三個方面②。特別是，我們既應防止完全拘束于對自然的，模仿"或，刻畫"這樣低層次的錯誤，也應防范因

再從宗白華先生的論著中摘錄幾段關于“簡”與“虛”的論述，建議讀者聯系數學和數學教育中對于“抽象”與“留空（白）”的強調，進行比較和理解，包括它們的共同點，乃至“大道歸一”的道理：“簡者簡于象，非簡于意。”“中國畫以黑墨寫于白紙或絹，其精神在抽象……練則S。簡則幾乎華貴，為藝術之極則矣。”“此虛無非真虛無，乃宇宙中渾沌之原理;亦即畫圖中所謂生動之氣韻。……中國畫最重空白處。空白處并非真空，乃靈氣往來生命流動之處。”“空而后能簡，簡而練，則理趣橫溢，而脫略形跡。然此境內不易到也，必畫家人格高尚，秉性堅貞，不以世俗利害營于胸中，不以時代好尚惑其心志;乃能沉潛深入萬物核心，得其理趣，胸懷灑落。”①

由以上論述，我們還可進一步領悟到相關研究應當避免或糾正的一些傾向，以及超越專業走向“大道”的主要途徑。

首先，無論就藝術或數學而言，事實上都涉及“境”“意”和“形”這樣三個方面②。特別是，我們既應防止完全拘束于對自然的“模仿”或“刻畫”這樣低層次的錯誤，也應防范因過分強調形式而陷入形式主義，或者說，未能很好地超出單純的“技能”層面。

其次，從更高的層面看，它們又同時涉及“境（景）”“意（情）”和“思想（理性）”③。這更可被看成我們超越專業走向“大道”的關鍵，即“意（情）”和“思想（理性）”的相互滲透與整合。而這又不僅是指我們不應單純強調“理性”而忽視“人性”，也是指我們不應因單純強調個人情感而忽視自己的社會責任，因為，“一切藝術雖是趨向……于美，然而它最深最厚的基礎仍是在于‘真’與‘誠’”④。

當然，“真”“善”“美”的高度統一也應是數學乃至一切科學的最高追求。

（鄭毓信，南京大學哲學系，教授，博士生導師。享受國務院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員。從事學術研究與各類教學工作50多年，包括中學、大學、研究生教育與各類教師培訓工作，多次赴英、美等國以及我國港臺地區做長期學術訪問或合作研究，赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學做專題學術講演。出版專著30余部，在國內外學術刊物上發表論文近500篇，學術成果獲省部級獎7次。在數學哲學、數學教育、科學哲學與科學教育領域有較大影響。）