讓思維在深度學習中產生質變
——以分數、百分數單元學習為例

江蘇省鹽城市騰飛路小學 仇 燦

一、引發認知沖突，夯實思維根基

在數學概念教學中，學生由于長期的經驗積累與辨別式學習而形成的“前概念”往往會先入為主。一旦這些“前概念”是錯誤的，就會嚴重阻礙正確概念的構建。如果在教學中，教師只是將正確概念一味灌輸給學生，學生沒有真正接受，一段時間后學生就又會回到錯誤的認知上。因此，要解決這一問題，教師必須了解學生真實的思維起點，設計以生為本的課堂教學，有效促進學生深度思維、深度學習，實現由“前概念”向“科學概念”的轉變，并將“科學概念”夯實為學生新思維的根基。

案例1：百分數的意義和讀寫

在比較百分數與分數環節，教師出示判斷題：百分數就是分母為100的分數。

生2：我也認為是對的，百分數是特殊的分數，它的分母都是100。

生3：書上是這樣定義百分數的——表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫作百分數。我覺得題目中的描述不完整，是不對的。

（一些學生有些猶豫，開始小聲議論起來）

師：俗話說得好，“燈芯越撥越亮，道理越辯越明。”現在請大家看以下幾個分母是100的分數，它們都能用百分數表示嗎？

生4：能。因為它們的分母都是100。

生7：我發現這兩道題中，凡是分數后面帶有單位的，都表示一定的數量，都不能用百分數表示。

師：經過剛才的討論，你們對百分數有什么新的認識？

生8：我認為，不是所有分母是100的分數，就是百分數。如果是一個具體的數量，就不能用百分數表示。

生9：百分數表示兩個數量之間的關系，因為分率表示的是部分與整體的關系，所以分率可以用百分數表示。

生10：我認為兩個數量的倍比關系也可以用百分數表示。

在上述片段中，筆者從學生的認知現實出發，將“說理權”交給學生，充分發揮學生已有知識的作用，打通新舊概念的生長通道。學生在思辨和說理的過程中，對百分數的認識逐漸清晰起來，錯誤的認識被“趕跑”了，正確的概念“扎根”了，既為今后的學習打下了堅實的基礎，又訓練了學生的思維能力和表達能力。

二、優化運算途徑，發展思維能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出，運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力，培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。也就是說，數學運算不只是一種技能，也不只是解決問題的工具，還是體現思維的過程與品質。

在“分數四則混合運算”教學中，教材創設問題情境，通過讓學生用不同的方法解決實際問題，引導學生自覺將整數四則混合運算的運算順序推廣到分數四則混合運算中來，并通過對兩種解法的比較，認識到整數的運算律在分數運算中同樣適用。在實際教學中，運算順序雖然是重點，但不是難點，分配律的應用才是難點。因此，在第二課時練習課中，筆者對教學內容做了調整。

案例2：“分數四則混合運算”練習課

1.變式練習：獨立完成后交流，你們是怎樣想的？

生2：第二小題是乘減混合，可以應用乘法分配律，把左邊的式子寫成，同樣能使計算變得簡便。

師（小結）：交換律、結合律都是針對一種運算的規律，而分配律是針對兩種運算的規律。所以，我們要先觀察算式特點，再根據算式特點運算。

2.辨式練習：說說錯在哪兒。

生1：第（1）題選擇用乘法分配律是對的，但在運用過程中，直接把括號去掉是不對的。應該用12分別與相乘，再把兩次乘得的積相加。

生2：第（2）題選擇用乘法分配律也是明智的，但它犯了與第（1）題同樣的錯識。應該把12×7看成一個整體，分別與相乘，再把兩次乘得的積相加。

生3：乘法分配律公式是a×c+b×c=(a+b)×c。這里的可以看成a，可以看成b，第（1）題中12就是c，第（2）題中（12×7）可以看成c。

師（小結）：乘法分配律的應用，要根據范式，用括號里的數分別與第三個數（或式子）相乘，再把計算的結果相加或相減。

現在，經常聽到數學教師抱怨：學生的運算能力下降了。原因是什么呢？一方面，大量的計算訓練，讓學生從理想中的“熟能生巧”變成現實中的熟能生“厭”、熟能生“笨”；另一方面，就是我們常常將數學運算單列出來，缺少生活情境的支撐，缺少學生思維的加入，除了計算還是計算，一旦出現錯誤就歸咎于學生粗心。在筆者看來，運算能力不僅是一種數學的操作能力，更是一種數學的思維能力，它是運算技能與邏輯思維的有機整合。在數學運算中發展學生的能力，就是要強化運算過程的整體思考和運算思路的方法優化。

三、催化實踐反思，提升思維品質

數學教學應與生活相聯系，與社會相溝通，不局限于課堂，不拘泥于教材，發展“社會即學校，生活即教育”的理論，把課堂延伸到廣闊的社會生活領域中，讓學生對身邊的問題進行積極思考，感受數學的時代性和社會性。

百分數這個單元提供了大量現實的、學生熟悉的學習素材，能有效喚起學生已有的生活經驗，有利于學生真切感受到百分數與現實生活的密切聯系，體會所學知識的價值，增強對數學學習的興趣，從而用數學的眼光觀察世界、用數學的語言表達世界、用數學的思維思考世界。在“折扣問題”教學中，為了激發學生的興趣，筆者布置了為期一周的小組研究題——走到“折扣現象”的背后，要求學生以小組為單位，進行調查、研究以及信息搜集、數據整理，并組織交流。

案例3：走到“折扣現象”的背后

主持人（數學課代表）：同學們，今天我們聚焦生活中常見的“折扣現象”，組織一次交流會。請各小組來匯報本組調查、研究的結果，一人主發言，其他小組成員可在發言結束時做補充。

第1小組代表：我們小組經過調查、分析，認為超市中“折扣現象”最多，一是實行會員制，大部分商品對會員實行折扣制，以此吸引顧客，從而穩定客源；二是部分商品快到保質期限了，實行打折促銷，目的是盡快處理這部分商品。

第2小組代表：我們小組通過走訪，發現不同的物品折扣是不一樣的，商場里的服飾經常是五折起售；藥店通常是逢每個月的8日、18日和28日打八五折；洗車店采用的是充200送30的方式，也是變相地打折。

第3小組代表1：我們小組經過統計，發現每年“雙十一”期間網上的購物量劇增，就是因為這時各大平臺都有“滿減”的優惠活動，像滿200減30，實際上就是八五折。

第3小組代表2：“雙十一”有折扣“注水”的現象。有媒體報道，一款奶油曲奇800克，10月26日的售價為25.8元，10月28日價格為32.8元，10月31日價格則調高到歷史最高價40元。然而“雙十一”七折銷售，還比之前貴。所以我們要奉勸大家理性消費。

第4小組代表：我們小組發現，黃金的折扣幾乎為零，但玉器的折扣令人吃驚，有的一折就出售了，讓人不敢相信，總覺得其中有貓膩，有必要讓家人謹慎購買。如今房地產形勢不好，許多樓盤推出買房子送陽臺、送車位等活動，這也是變相地打折。

第5小組代表1：我們小組有組員家里是開蛋糕店的，他給我們提供了這樣一組數據：平時蛋撻每盒10元，每天能賣出25盒；雙休日時，蛋撻打八折，每天能賣出40盒。我們計算了一下：平時蛋撻的營業額是25×10＝250（元），雙休日蛋撻的營業額是40×（10×80%）＝320（元）。可見，打折的手段是通過降低單價的方式吸引顧客，從而實現營業額和利潤的增長。

第5小組代表2：老師，但我們也認為，這樣的手段也有一定的不可預估性，要看準市場的需求，也有可能是“賠了夫人又折兵”。

在實際教學中，我們應該給學生提供更多的思考機會和表達機會，包括培養學生長時間思考的習慣和能力，讓學生認真思考如何才能清楚和有條理地表達，令大家信服。只有這樣，學生思維的品質才能真正得到歷練與提升。