電科專業“數學物理方程與特殊函數”課程教學反思

江 貝，陳 雪

（1.湖北大學物理與電子科學學院，湖北 武漢 430062；2.深圳大學微納光電子學研究院，廣東 深圳 518060）

引言

數學物理方程與特殊函數這門課程在電科專業一般是作為一門專業選修課程來開展，課時較短，為32 學時。這門課程連接了基礎數學課程和高級專業物理課程，在基礎課程和專業課程之間承擔了融合銜接的作用。可以說，數學物理方法這門課程是大學生由基礎課轉向專業課程的必經之路。所以說這門課程是一門很基礎但又很重要的課程，也是一門學生難學老師難講的課程。課堂第一章就會給學生用牛頓第二定律推導出波動方程，推導所需知識點并不難，但是過程有些煩瑣，那么老師想要給學生講清楚方程怎么來的就必須要做公式推導，做公式推導學生就容易覺得枯燥，容易走神。這門課程由于他的課程內容決定了課程從頭到尾基本是被推導公式貫徹始終的，而且，最終得到的數學解一般是一個比較復雜的積分加求和的形式，難以和物理的現象進行聯系融合，這也是為什么說這門課程老師難講。那么學生難學則體現在了課程的割裂性上，單獨作為一門課程，與專業課程割裂開來，學生不明白學習的意義，同時，由于推導過多，難以集中注意力，課堂中容易走神。其次雖然課程解決的是物理問題，但是面對數學語言，過于抽象，不能很好地與物理現象相互聯系。加上課程時長短，內容多，使得老師和學生疲于教與學，課堂上的互動交流比較少，這就導致了這門基礎課程被公認為本科階段教和學難度比較高的課程之一。

1 反思

筆者既作為學生學習過這門課程，也作為教師教授過這門課程，在課程的教學過程中，總結了四點教與學的反思。第一點反思是，第一章的小細節需要講授得十分透徹，才能讓學生更好地理解，后續學習才能夠跟上。

對于電科專業的學生，課程內容精簡了許多，核心內容為三類方程，四種解法。三類方程指的是波動方程，輸運方程和穩定方程。這三類方程已經可以覆蓋大部分學生有可能會遇到的物理問題，足夠工科學生后期專業課上使用。定解問題是由泛定方程和定解條件組成的，相對于泛定方程的一般規律性，定解條件的具體細節對學生而言是一大挑戰。在具體問題具體分析的過程中，學生并不能很好地掌握定解條件。對某一具體的物理問題寫出定解條件是最能體現出學生的物理和數學功底的。定解問題主要討論初始條件和邊界條件。初始條件數量對應用于泛定方程中未知函數u 對時間t 的微分階數。時間t 的n階方程需要n 個條件，對應到不同的方程中不同物理量會有不同的物理含義。對應到輸運方程中，描述的就是初始的溫度或者濃度。此處需要特別強調的地方在于，對于穩定場問題，因為物理量并不隨時間變化，所以穩態方程中不含有時間參數，所以是沒有初始問題的。這個地方需要多對學生進行強調，經常在講完這一章后，依然會有同學對這個問題犯迷糊。初始條件必須可以描繪整個系統初始的狀態，這句話強調了兩點。第一點是初始，也就是說初始條件描繪的是t=0 時的系統狀態，這個地方需要結合定解問題中位置和時間的取值范圍來講解。例如，對于這樣一個定解問題：一彈性桿原長為l，一端固定，另一端拉離平衡位置b 而靜止，放手任其振動，請給出定解問題。這個題目的定解問題會寫成這樣：

那么初始條件強調一個初始，也就是t=0，那么什么時候t 開始計時就是一個很重要的問題了。這個時間開始計時的時候往往都是課堂講解中最容易忽略的點，也是最容易使學生犯迷糊的地方。教師在常年的課堂講解中由于十分熟悉時間t 的概念，再加上這個實際是一個十分小的細節，很容易在課堂講解中忽略過去，直接告訴學生放手任其振動，這時t 開始計時，但是對于學生而言，這些知識點都是他們第一次學習，這個小細節的忽略很容易造成學生對初始條件的不理解，不明白為什么是放手開始計時，如果換個題干，又該是什么時候開始計時呢？因此，這里需要和學生講解清楚，時間t 是屬于泛定方程的一個自變量，所以時間開始計算的時候應該是物理現象可以用波動方程描述的時候，波動方程是用來描述振動的，那么在這個例題中，這根桿在放手后才開始振動，也就是說，此時波動方程對這個桿的振動才是適用的，所以在放手的同時，屬于波動方程的自變量的時間t 開始計時，在放手之前通通屬于t=0 的時刻。這也是為什么在定解問題中泛定方程后會跟一個t>0 的時間范圍，意思就是滿足泛定方程時，開始計時的意思，初始時刻是不滿足泛定方程的。第二點強調的是整個系統。這里也是很多同學會在給出初始條件時容易犯的錯誤。很多同學在給出初始條件時非常容易將位置參數也一起固定下來。實際上初始條件只能固定時間t=0。初始條件強調要描繪整個系統的初始狀態，不僅要描述系統內部，也要描述到系統的邊界，這一點在例題定解問題的初始條件后的位置參數的范圍是有所體現的。很明顯，例題中的初始條件給出了t=0 時刻，系統任意位置的某一點的位移和速度，桿有多長，x 可以取多大，包括邊界0 和l。對于邊界條件也是一樣，邊界條件只確定了一個變量，即位置，并沒有確定時間，此時的時間取值范圍要求是在t>0 時刻，也就是說邊界條件描述的是桿在振動時的邊界情況。但是在課堂教學和書本中，側重點一般都會傾向于泛定方程和定解條件，方程和定解條件的取值范圍并不會進行解釋，取值范圍出現在書本中實際上是十分突兀的，在定解問題講完后就直接出現了，十分容易被忽略。實際上，這些對應方程和條件的取值范圍對學生理解定解問題是有很大幫助的，它能夠很好地幫助學生掌握和理解初始條件和邊界條件的注意要點。課堂中，通過將物理問題轉化為數學語言，寫成定解問題，再將定解問題轉化為語言描述的過程中，對應的取值范圍描述都是十分重要的，對學生理解物理語言和數學語言的相互轉化是有巨大的幫助作用的。所以在定解問題講完后，教師需要細致地講解一下方程組中出現的取值范圍，將整個第一章定解問題的注意要點都串聯起來，來幫助學生理解。

在邊界問題上需要給學生講清楚外法線向量的問題。很多同學在這一部分會搞不清楚什么是外法線向量。法線就是垂直于面的直線，有方向之分。對于立體表面而言，法線是有方向的：一般來說，由立體的內部指向外部的是法線正方向即外法線，反過來的是法線負方向。很多同學沒有辦法正確區分這個由里指向外，尤其是在后期的格林函數法中，因為輔助函數V 不能使r 等于0，所以要在區域中，以M0 為中心，r 為半徑挖去這個球（三維）或者圓（二維）區域。此時，一個實心的區域就變成了一個腔體，這個時候雖然那個挖去的區域在視覺上是在區域內的，但是這個空腔內部的空心區域實際是屬于外界區域了，定解問題和輔助函數共同有意義的區域是- 。其他區域全部都屬于外界區域，只有- 區域是里，此時空腔內部的邊界上的外法線向量應該是由- 區域的里指向空心區域的外，轉化為數學語言應該是-r。這個地方是許多學生會出現疑問的地方，需要重點強調清楚。

第二點反思是，不要將課堂時間浪費在給學生補基礎上。例如，邊界條件，分別為第一類邊界條件，第二類邊界條件和第三類邊界條件。第一類邊界條件是未知函數在邊界的值，第二類邊界條件是未知函數法向導數在邊界的值，第三類邊界條件是未知函數在邊界的值和法向導數在邊界的值的線性組合。在邊界條件的提出中，會用到物理方面的知識，如在弦振動問題中，弦的一端與彈簧相連，這時就需要用到胡克定律，教師在課堂教學時需要將胡克定律的定義和公式給學生寫出來。課堂教學的重點應該集中于數理方程上，課程時間寶貴，不能浪費時間到不屬于此門課程的知識點中，此刻就需要教師在課前做好準備工作，在需要的時候直接將物理知識點拿出來讓學生使用。再比如二階常微分方程的通解，實際上學生在高等數學中是有學過對應的課程的，但是由于不經常練習，需要用時，大部分學生都處于不記得的狀態，所以這個時候要提前給出通解，讓學生記下來。二階常微分方程的通解，可以說是貫穿著整個分離變量法的。

第三點反思是推導在課堂教學中需要掌握一個度。推導是理解這門課程的重要過程，公式推導在數理方程課程中是必不可少的，但是推導過多又容易導致教學的效果變差，所以推導在教學過程中的比例需要教師自行掌握，要做到張弛有度。如果因為推導枯燥就減少推導內容，很容易導致課程內容銜接不上，學生無法理解。比如第一章的數理方程的引出，如果不進行那一系列的推導，那么方程的提出將會受到很大的質疑，無法與之前的基礎銜接上。學生根本無法理解為什么波動方程是一個2 階偏微分方程。但是如果全是推導，在學生沒有提前復習的前提下，大部分學生是無法跟上老師推導的步驟的。而且一個完整的知識點的推導實際上是十分煩瑣且步驟很多的，一般是可以寫滿整塊黑板的，這種情況下，跟不上的學生是很容易決定跳過步驟直接背結果，但是跳過不聽的結果就是那個結果他看不懂，不知道公式里面的符號到底代表什么，連帶著后續的求解他也跟不上。這樣子很容易打擊學生上課學習的熱情和信心，所以老師在教學中要靈活安排推導在課堂教學之中的比例，要控制在能給學生都帶到，又不會讓學生覺得太難而放棄，這就需要用到教師的教學經驗。同時教師也要學會適當地給學生留白，上課不能講得過分細致，面面俱到很容易導致學生沒有重點，失去主動學習的自主能動性。

第四點反思是課堂教學需要一些可視化的東西。課程名叫數學物理方程，說明這門課程屬于交叉學科，是數學和物理的一個結合課程。我們需要將物理現象轉化為定解問題，然后求解得到數學結果，再將數學結果轉化為物理意義。定解問題的解隨著邊界條件的改變而改變，而且寫出來一般會是比較復雜的形式。例如，行波法解決無限域的波動問題時，答案實際上是兩個波動方程相加，一個是左行波，一個是右行波。那么為了達到更好的課堂效

果，像這一類的數學解可以采用MATLAB，Mathematica或者COMSOL 等模擬軟件來進行可視化展現，畢竟對于物理而言，圖像更能生動形象地進行物理結果的展示，數學物理方程解定解問題最終還是要回歸到解決物理問題上。通過改變定解條件，得到不同的解，通過圖像或者動畫更直觀地表現出定解條件對物理問題的影響，可以讓學生對結果有一個直觀深刻的印象，能夠更好地將數學和物理結合起來。這就需要老師在課堂外多下功夫多花時間。

2 結語

本文通過對數學物理方法與特殊函數的教授和學習的回顧，總結了四點教學上的反思，希望通過這四點反思來達到更好的課程講授效果。當然僅僅這四點教學反思還是不夠的，課堂講授效果實際上還可以進一步提升。如何將這門課程講好，讓學生學懂將會是筆者今后一直努力的目標。