低雷諾數下不規則顆粒沉降阻力公式的改進和驗證

雷中云，鄧榮東, 2，姜克冰，庫建剛, 2

(1. 福州大學紫金地質與礦業學院，福建 福州 350108； 2. 福州大學—紫金礦業集團礦產資源綜合利用聯合研發中心，福建 福州 350108)

0 引言

許威等[4]針對球形顆粒在供水管道中的動力學特性進行理論分析，得到球形顆粒和流體的相對速度與球形顆粒阻力系數、升力系數和力矩系數之間的關系. 庫建剛等[5]設計一種單球形顆粒自由沉降法來測量顆粒在流體中的運動阻力. Faroughi等[6]使用Oldroyd-B模型研究球形顆粒的松弛和延遲時間對阻力系數的影響，并對阻力系數進行修正. Ke等[7]采用三維浸入式邊界-晶格玻爾茲曼方法對橢球顆粒在流體中的阻力系數和平均努塞特數的相關性進行研究，從而建立阻力系數與平均努塞特數的關聯性. 但以上研究的對象均為球形和橢球型顆粒，與真實顆粒的不規則形狀不符，顯然，采用以往公式計算不同形狀的顆粒運動阻力是不科學的[8]. 本文通過理論分析、計算模擬和實驗驗證對低雷諾數下不規則顆粒的運動阻力公式進行改進，提高了顆粒運動阻力計算準確性.

1 顆粒在流體中沉降的受力分析

顆粒在流體中沉降主要受到重力(F重)、浮力(F浮)、流體阻力(F阻)、壓強梯度力(F壓強梯度)作用，除此之外附加質量力(F附)、馬格努斯力(F馬)、巴塞特力(F巴)與薩夫曼力(F薩)等作用力也對其有影響[9].流體中的顆粒運動過程非常復雜，運用拉格朗日法對顆粒在流體中的運動狀態進行研究，全面考慮顆粒受到的所有力的作用效果，有以下表達式：

(1)

1.1 重力

顆粒在流體介質中由于自身的質量產生豎直向下的重力，進而沉降，所受重力與運動狀態無關，不能忽略.

(2)

式中：mp為顆粒質量，kg；Vp為顆粒當量體積，m3；ρp為顆粒密度，kg·m-3；g為重力加速度，g=9.8 m·s-2.

1.2 浮力

浸在流體介質內的顆粒受到流體豎直向上托起的作用力叫作浮力. 實質是顆粒在流體中，各表面受流體壓力的差(合力). 由于顆粒始終完全浸沒在流體介質中，浮力一直作用在顆粒上，故不能忽略.

(3)

式中：ρf為流體密度，kg·m-3.

1.3 流體阻力[10]

顆粒相對流體介質運動所受的逆顆粒運動方向上的力稱為流體阻力，在本研究過程中顆粒與流體介質始終存在相對運動，故流體阻力一直作用在顆粒上，且量級與重力相同，不能忽略.

(4)

式中：A為顆粒當量直徑，mm；u為流體的運動速度，m·s-1； ζ為流體阻力系數，是與雷諾數Re有關的系數，當細小的顆粒在流體粘度較大的流體中緩慢運動且Re<1時，則有如下關系式：

(5)

式中：μ為流體動力粘度，Pas. 將式(5)代入阻力計算的公式中，則有：

(6)

1.4 壓強梯度力[11]

壓強梯度力事實上并非真正意義上的“力”，它是由于壓強不同而產生的介質加速度. 本研究過程中顆粒相對流體的沉降速度較慢，流體介質局部壓強差很小，且在選礦過程中經過碎磨的礦石，基本變成非常微小的顆粒，當量直徑通常以毫米計.

(7)

式中：rp為顆粒當量半徑，m. 由上式可知作用于顆粒上的壓強梯度力量級十分微小，對實際顆粒沉降過程影響甚小，故可忽略該力.

1.5 附加質量力[12]

顆粒在流體介質中加速運動時，將引起周圍流體做加速運動. 由于流體有慣性，表現為對顆粒有一個反作用力. 這時，推動顆粒運動的力將大于顆粒本身的慣性力，仿佛顆粒質量增加了，這部分大于顆粒本身慣性力的力叫作附加質量力.

(8)

由于單個顆粒質量非常小，幾乎無法帶動顆粒周圍流體進行運動，流體速度變化很小時，對顆粒的附加作用力難以影響顆粒沉降速度，因此可忽略該力影響.

1.6 馬格努斯力[13]

顆粒在流體中圍繞自身進行高速旋轉時，會產生與流場的運動方向相互垂直的力，這個力稱為馬格努斯力.

F馬=ρf(uf-up)Γ

(9)

式中：uf為流體的速度，m·s-1；up為顆粒的沉降速度，m·s-1；Γ為沿顆粒表面的速度環量.

在顆粒沉降的過程中，由于礦漿粘度大，使得顆粒在流場中自旋角速度很小，所產生的馬格努斯力也很難對顆粒沉降速度起作用，因此可忽略馬格努斯力的顆粒沉降的影響.

1.7 巴塞特力[14]

顆粒在粘性流體中做變速直線運動時，由于流體自身的粘性，會帶動部分流體隨之運動，使得顆粒受到流體運動產生的阻力，此時顆粒受到的流體作用力即為巴塞特力. 其計算式為

(10)

劉小兵等[15]認為： 在定常流場中運動時，可以忽略巴塞特力的影響. Vojir等[16]利用微積分變換的方法對不同條件下巴塞特力對顆粒運動的影響進行了數值研究，結果表明在非定常流體中，流體速度隨機時，顆粒所受到的巴塞特力可以忽略不計. 而顆粒沉降過程可以看成固體顆粒在定常流體中運動，因此巴塞特力對顆粒沉降的干擾也可以忽略.

1.8 薩夫曼力[17]

顆粒在有速度梯度的粘性流體中做變速直線運動時，由于顆粒上下兩端的流體速度不同，這時會產生沿著垂直方向從低速流體指向高速流體的作用力，這個力就是薩夫曼力. 當雷諾數Re<1的時，F薩的計算式為：

(11)

孫銘陽等[18]對薩夫曼力與流體阻力進行量級比較后，發現薩夫曼力也可以忽略.

2 顆粒沉降阻力公式改進

通過對顆粒在流體中受力分析可知，以往流體阻力計算僅僅考慮了雷諾數的大小、流體的粘性和顆粒大小，但并未考慮其形狀，事實上，后者對阻力的影響不可忽視. 在本研究中，為方便觀察、計算，同時盡量減小誤差，選用粘度較大，流動性較差的流體介質，此時顆粒在其中緩慢沉降，與介質的相對運動速度較低，所受的阻力以粘性阻力為主，雷諾數Re<1，流體處于層流狀態.

由式(6)可知，式中μ和dp是流體和顆粒的參數，u是與μ和dp有關的值，則μ、dp和u均無法改變.A是指顆粒與流體相對運動方向上的橫截面面積，此參數會因顆粒沉降過程中發生旋轉實時變化而不足以表現顆粒受力情況. 例如，對于兩個形狀體積完全不相同、但存在一個或數個相同橫截面積大小的兩個顆粒，運動到某一時刻，在相對流體運動方向的橫截面積大小相等，由于兩個顆粒的形狀體積差異，該公式計算結果與實際顆粒所受流體阻力有較大偏差.

基于以上事實，在綜合考量顆粒形狀、表面積和體積的基礎上，本文引入“球形度”這一系數對顆粒沉降阻力計算公式進行系數修正. 以往對于球形度的定義主要涵蓋了體積球形度、直徑球形度、圓比球形度、周長球形度和寬長比球形度[19]等. 在本文研究沉降阻力系數修正中，主要考慮面積和球形度的關系. 面積球形度是指物體的投影面積和最小外接圓面積的比. 顆粒形狀越接近球，其球形度就越接近于1.

已知四面體顆粒的球形度為0.671，六面體顆粒的球形度為0.806，八面體顆粒的球形度為0.846，二十面體顆粒的球形度為0.939. 將顆粒球形度系數以符號k表示，值為顆粒在相對流體運動方向上的橫截面面積A1與其當量直徑A之比，代入顆粒在流體中的原阻力計算公式，得到在低雷諾數(Re<1)下不同形狀的顆粒的阻力計算公式：

(12)

3 模擬驗證

3.1 沉降模型的建立

圖1 沉降過程Fig.1 Settling process

借助有限元軟件COMSOL Multiphysics建立顆粒在牛頓流體中的沉降模型，采用有限元法對顆粒在流場中自由沉降的動態過程進行數值模擬，設定顆粒密度1 200 kg·m-3，當量直徑5 mm，流體密度1 000kg·m-3，動力粘度0.01 Pa·s. 沉降過程如圖1所示，在物理模型中將邊界約束設置為滑移壁，以避免壁面對顆粒沉降的影響.

3.2 模型驗證

對模擬中阻力的求解，利用COMSOL Multiphysics有限元軟件的后處理功能，在模擬計算完畢后，導出顆粒在運動過程中的受力情況.

圖2所繪為數值模擬和改進公式計算所得的密度1 200 kg·m-3、當量直徑0.5 mm的球形顆粒，在不同流體粘度下的阻力，兩者都能很好用于還原實際情況. 實驗中顆粒在介質中先有一段加速運動的過程，隨著速度的變大，受到的阻力不斷增大，運動一段距離后受力平衡，達到沉降末速. 不僅如此，模擬和改進公式計算的結果重合度較高，表明模擬計算得到的流體阻力具有很高的可信度，因此可利用此模型改變顆粒形狀，來進一步驗證改進流體阻力公式的準確性.

3.3 模擬驗證

本模擬設定為不同形狀顆粒(密度1 200 kg·m-3,當量直徑0.5 mm)在流體粘度為0.005 Pas的條件下運行，計算不同形狀顆粒所受阻力，比較改進公式和未考慮球形度的原始公式計算結果的相對誤差，得到圖3.

由圖3可知，用原始公式和改進公式計算阻力的結果與模擬計算的結果相對誤差均較小，且改進公式計算值與模擬值更加接近. 二十面體(球形度0.939)在流體粘度為0.005 Pas的條件下用改進公式計算的阻力與模擬計算的阻力相對誤差最小，僅為0.42%，而原始公式計算的阻力與模擬計算的阻力相對誤差為0.63%. 考慮球形度計算阻力比未考慮球形度得到的值更接近模擬值，說明改進公式計算結果更為準確，且球形度越高(越趨近1)，其結果越準確.

圖2 不同流體粘度下球形顆粒模擬計算與改進公式計算對比Fig.2 Comparison of spherical particle simulation calculation and improved formula calculation under different fluid viscosities

圖3 改進公式與原公式誤差對比Fig.3 Error comparison between the improved formula and the original formula

4 實驗驗證

4.1 實驗材料與試劑

顆粒的沉降實驗采用的流體介質為Brookfield粘度標準液，粘度μ=0.005、0.010、0.050 Pas，流體密度ρf=1 000 kg·m-3. 實驗采用PμSL 3D打印技術制作的不同形狀的顆粒，如圖4所示，顆粒當量直徑d= 0.5、1.0、3.0和5.0 mm，顆粒密度ρs=1 200和1 500 kg·m-3.

4.2 實驗設備

沉降實驗所用容器為有機玻璃制成的方形毛細管，高度100 mm，內邊長5 mm，外邊長7 mm. 使用Macro Vis Eosens型高速相機拍攝，配置XD-300-250W型冷光源. 實驗配置示意圖如圖5所示.

圖4 3D打印制作當量直徑為5 mm顆粒Fig.4 3D printing produces particles with equivalent diameter of 5 mm

圖5 實驗裝置示意圖Fig.5 Schematic diagram of test device

4.3 實驗方法

實驗開始前將流體緩慢加入方形毛細管容器中并靜置，避免產生氣泡影響沉降過程. 打開相機、相機控制軟件和光源； 對沉降容器的側面進行照射； 調整高速相機的鏡頭中心對準光源的中心，形成拍攝平面； 校正相機，使相機成像清晰； 調整完成后相機開始拍攝，將顆粒沿管道中心線釋放并使其自由沉降，記錄下顆粒的沉降全過程； 通過所記錄照片的數量及拍攝幀數可計算出顆粒運動時間. 根據沉降時間和距離，可得到顆粒的沉降末速.

4.4 實驗結果分析4.4.1 沉降末速理論計算

圖6 顆粒沉降過程中的受力分析Fig. 6 Force analysis during particle sedimentation

自由沉降的顆粒, 當重力或離心力與介質運動阻力相等時, 相對于介質的運動速度稱為沉降末速. 在沉降末速計算的過程中，最簡單、最基礎的計算模型就是球形顆粒計算模型[12]. 因此，本文基于該模型研究，對球形顆粒的自由沉降進行受力分析. 受力分析如圖6所示.

由受力分析可知：

F合=F重-F浮-F阻

(13)

可以發現，固體顆粒在流體介質中的沉降首先會有一段加速運動，隨著速度變大，受到的阻力不斷增大，運動一段距離后達到受力平衡，當到達動態平衡之后固體顆粒在流體中做勻速沉降運動. 可以得到沉降末速為：

(14)

4.4.2實驗結果對比

將直徑0.5、1.0、3.0和5.0 mm，密度1 200 kg·m-3的顆粒在流體粘度為 0.005、0.010和0.050 Pas的Brookfield粘度標準液中進行實驗，計算所得沉降末速與實驗所得沉降末速的相對誤差共同繪制在圖7.

圖7 改進公式計算結果與實驗結果對比Fig.7 Improved formula calculation results compared with experimental results

由圖7可知，用改進公式計算出的沉降末速，與實驗結果比較吻合，且球形度越高(形狀越接近球體)，相對誤差越小. 由圖7(a)可知，顆粒當量直徑越小，改進公式計算得到的沉降末速與實驗得到的沉降末速相對誤差越小，最小為0.41%(當量直徑0.5 mm、流體粘度0.005 Pas、球形度0.939)； 圖7(b)則表示流體粘度越大，改進公式計算所得沉降末速與實驗得到的沉降末速相對誤差越小，最小為0.17%(流體粘度0.05 Pas、當量直徑0.5 mm、球形度0.939).

以上結果表明，采用改進公式能夠較為準確計算出其適用范圍(Re<1)內顆粒在流體中的沉降末速，且當流體粘度越大、顆粒當量直徑越小、球形度越接近1時，計算結果越準確.

5 結語

1) 數值模擬結果與改進公式計算結果基本一致，且與實驗結果相符，計算模型、改進公式較為準確；

3) 改進公式計算處于高粘度流體介質中的小顆粒時，相對誤差較小.