有關直線方程的幾類對稱問題及其解法

王猛

直線方程中的對稱問題主要有四種類型，（1）兩條直線上的點關于點對稱問題；（2）兩條直線關于點對稱問題；（3）兩個點關于直線對稱問題；（4）兩條直線關于某條直線對稱問題.通過對此類問題的研究，不僅可以深化學生對直線與直線、點與點、直線與點的位置關系的認識，還可以幫助他們溝通知識點間的聯系，構建完整的知識體系.下面，主要對直線方程中的幾類對稱問題及其解法進行探討.

一、兩條直線上的點關于點對稱問題

解答兩條直線上的點關于點對稱問題，關鍵要根據兩點的坐標與其中點坐標之間的關系，利用中點坐標公式，建立方程組.若一條直線上的點為A1（x1，y1），另一條直線上的點為A2（x2，y2），A1A2中點的坐標為O（a，b），兩點A1、A2關于點O對稱，則

例1

解：

解答本題，需抓住關鍵信息“C、D分別在直線 l1 、 l2 上，且點C、D關于點A對稱”，那么C、D分別滿足直 線 l1 、l2 的方程，建立方程組求得點C的坐標，便可根 據直線的兩點式方程求得直線 l 的方程.

二、兩條直線關于點對稱問題

若兩條直線關于點對稱，則兩條直線平行.解答兩 條直線關于點對稱問題有兩種思路：（1）對稱點到這兩條直線的距離相等，可根據兩平行線之間的距離公式進行求解；（2）可在一條直線上選取一個點，并在另一條直線上找到關于點對稱的點，將問題轉化為兩條直線上的點關于點對稱問題來求解.

例2.已知直線l1：3x +4y -12=0，求這條直線關于點 P（1，3）對稱的直線l2的方程.

解法1：

解法2：

本題還可以采用特殊點法來求解，在兩條直線上 取兩點 （4，0）、（0，3），分別求出它們關于 P（1，3） 對稱的點， 再利用直線的兩點式方程來求出直線 l2 的方程.可 見，解答兩條直線關于點對稱問題，主要的思路是把 線線之間的關系轉化為點點之間的關系或點線之間 的關系來進行研究、分析.

三、兩個點關于直線對稱問題

兩個點關于直線對稱問題屬于軸對稱問題.解題時，需把握兩點：一是兩點的中點在對稱軸上；二是這兩點所在的直線與對稱軸互相垂直.需根據中點坐標公式和直線的斜率公式，建立方程組，從而求得問題的答案.

例3.已知經過點 M（-3，4）的入射光線，被直線 l：x -y +3=0反射后經過點 N（2，6），求反射光線所在直線的方程.

解：

一般地，若點 P（x1，y1） 關于直線 l：Ax + By + C = 0 對 稱的點為 P′（x2，y2） ，可連接 PP′交 l 于 M 點，則 l 垂直 平分 PP′ ，所以 PP′⊥ l ，且 M 為 PP′ 的中點，又因為 M 在直線 l 上，可得 ì í ? ? ? kl ?kPP′ = -1， A x1 + x2 2 + B y1 + y2 2 + C = 0. 此外， 也可以將兩個點關于直線對稱問題轉化為點關于點 對稱的問題，先利用直線的點斜式方程寫出直線 PP′ 的方程，再求出直線 PP′ 與對稱軸交點的坐標，最后 利用中點坐標公式建立方程即可.

四、兩條直線關于某條直線對稱問題

一般地，兩條直線關于某條直線的對稱問題，可轉化為點關于直線對稱問題.若直線 l1：ax + by + c =0與直線 l3關于直線 l2：dx + ey +f=0對稱（兩條直線 l1與l3不平行），則需首先將 l1與l2 的方程聯立求出交點 P（x0 ，y0）；然后在 l1上任取一點（非交點） Q（x1，y1），根據點關于直線對稱求出對稱點Q′（x2 ，y2）；最后根據直線的兩點式方程求出直線的方程.

例4.

解：

解答兩條直線關于某條直線對稱問題，基本思路是在已知直線上任取兩個不同的點，求出這兩點關于直線的對稱點，再根據直線的兩點式方程求出直線的方程.

例5

解：

畫出相應的圖形，便可快速明確直線之間的位置 關系，進而確定三條直線的交點、對稱點，再根據直線 的斜率公式和兩點式方程即可求得直線l的方程.

例6

解：

仔細觀察，可發現直線 x + 2y - 1 = 0 和直線 x + 2y +1 = 0 的斜率相同，即兩條直線平行，那么所求直線與 另兩條直線也平行，其斜率相等，再根據點到直線的 距離公式進行求解即可.

在學習中，學生要學會不斷總結規律，積累解題 經驗，同時要記憶并運用一些二級結論，例如，（1）點 （x，y） 關于直線 x = a 對稱的點為 （2a - x，y） ，關于直線 y = b 對稱的點為 （x，2b - y） ；（2）點 （x，y） 關于點 （a，b） 對 稱的點為 （2a - x，2b - y） ；（3）點 （x，y） 關于直線 x + y = k 對稱的點為 （k - y，k - x） ，關于直線 x - y = k 對稱的點 為 （k + y，x - k） ；（4）曲線 F（x，y）= 0 關于點 （a，b） 對稱的 曲線方程是 F（2a - x，2b - y）= 0 ；（5）曲線 F（x，y）= 0 關 于直線 Ax + By + C = 0 對稱的曲線方程是 F（x -（Ax + By +c）= 0，y -（Ax + By + C）= 0） 等.

（作者單位：江蘇省南京市第十三中學）