怎樣求解抽象函數問題

劉蘋蘋

在解題時，我們經常會遇到抽象函數問題，此類問題往往不會給出具體的函數解析式，要求根據已知條件，求函數的定義域、值域，求某個函數值，判斷函數的奇偶性和單調性.這類問題具有較強的抽象性，很多同學們在解答時不知該如何下手.下面結合實例，探討一下三類抽象函數問題的解法.

一、定義域問題

抽象函數的定義域問題常以選擇題、填空題的形式出現，常見的命題形式是由 f（%）的定義域，求 f（g（%））的定義域，或由 f（g（%））的定義域，求 f（%）、f（h（%））的定義域.解答這類問題，需先根據題意確定 f（g（%））中 g（%）的范圍，求出 f（%）中%的范圍；然后根據同一個函數的定義域相同，確定 f（h（%））中 h（%）的范圍；最后解不等式，求得問題的答案.

例1.

解：

解答本題，關鍵在于明確 f （x） 中的 x 的范圍與 f （x 2 - 1） 中 x 2 - 1 的范圍都為 [-1，1] ，據此建立關系式 即可.

二、求抽象函數的值

由于抽象函數沒有具體的解析式，因此在求抽象 函數的值時，需對已知的關系式進行賦值，如令 x = 1、-1、0、- x 等；再根據函數的奇偶性、對稱性、周 期性建立關系式；最后通過等量代換，求得某點處函 數的值.

例2

解：

解答本題的關鍵在于抓住已知關系式 f （x + y）= f （x）+ f （y），對其進行合理的賦值，分別令 x = y = 4、 x = y = 2，通過等量代換，最終求出 f （2） 的值.

三、函數的奇偶性問題

解答抽象函數的奇偶性問題，需靈活運用函數奇 偶性的定義，可令 x = - x ，通過等量代換，確定 f （x） 與 f （-x） 之間的關系.若 f （x） = f （-x） ，則函數為偶函 數；若 f （x） =- f （-x） ，則函數為奇函數.

例3

解：

為了明確 f （x） 與 f （-x） 之間的關系，需分別令 x = y = 1 、x = y = -1 ，求得 f （1） 、f （-1） 的值，從而判斷 出 f （x） 與 f （-x） 的關系：f （-x）= f （x） ，進而判斷出函 數的奇偶性.

可見，解答抽象函數問題，需根據已知關系式和 解題需求，選擇合適的值進行賦值，通過等量代換，求 出函數的定義域、某點處的函數值，明確函數的奇偶 性、對稱性、周期性等，從而獲得問題的答案.

（作者單位：山東省菏澤市鄄城縣第一中學）