巧構函數，妙證不等式

劉傳美

不等式證明問題的考查方式靈活多變，難易程度 不一.對于較為復雜的不等式，如含有指數式、對數式、 高次冪、多個變量等的不等式，通常需運用構造函數 法進行求證.如何巧妙地構造出合適的函數模型呢？ 這是解題的關鍵.下面結合實例來探討一下運用構造 函數法證明不等式的三個技巧.

一、移項作差

若要證明的不等式左右兩邊含有多項式，則需先 將不等式左右兩邊的式子移項作差，把不等式轉化為 h（x） < 0 或 h（x） > 0 的形式；再將 h（x） 或其中含有變量 的一部分視為新函數，并根據函數單調性的定義，或 導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性； 最后求得函數的最值，證明 h（x） max < 0 或 h（x） min > 0 ，即 可證明不等式成立.

例1

證明：

所要求證的不等式左右兩邊均含有多項式，于是 將 不 等 式 兩 邊 的 式 子 移 項 作 差 ，構 造 出 新 函 數 g（x） = f （x） - x ，將問題轉化為證明 -6 ≤ g（x） ≤ 0 ；再 根據導數 g'（x） 的正負值與函數的單調性之間的關系 判斷出函數的單調性，求得函數的最值 g（x） ，即可證 明結論.

例2

證明：

所要求證的不等式左右兩邊的式子較為復雜，可 直接將其移項作差，構造新函數 h（x） = g（x） - f （x） ，將 問題轉化為證明函數 h（x） > 0 ，再借助導數法求得函 數 h（x） 的最值，即可解題.

二、參數分離

有些不等式中的參數、變量容易分離，此時可采 用分離參數法，先將不等式中的參數、變量分離開，使 得不等號的一邊含有參數，一邊不含有參數；然后將 不含有參數的式子構造成函數，將問題轉化為證明為 h（x） < a 或 h（x） > a ；最后根據函數的單調性，或運用 導數法求得函數在定義域內的最值，使得 h（x） max < a 或 h（x） min > a ，即可證明不等式成立.

例3

證明：

所要求證的不等式中含有參數，且參數容易分離出 來，于是采用分離參數法，將不等式變形，并將問題轉化為 證明 a > x 2 - 2e x - 1；然后構造新函數 g（x） = 2e x - 1 x 2 （x > 0） ， 討論其導函數的性質，求得其最值，即可證明不等式.

三、換元

有些不等式較為復雜，如含有根式、絕對值、雙變 量、對數式、指數式，此時我們需引入新元，將不等式 中的某一部分用新元替換，將不等式轉化為關于新元 的式子，再構造關于新元的函數式，討論該函數的單 調性，即可根據函數的單調性來求得最值，從而證明 不等式成立.運用換元法證明不等式，主要是運用了代 數式之間的等價關系進行恒等變換，從而簡化不等式.

例4

證明：

所要證明的不等式中含有雙變量 x1 、x2 ，很難直 接證明不等式，于是根據②式的特點，引入新元t，令 t = x1 x2 ，并構造函數 h（t） ，便將問題轉化證明 h（t） max < 0 . 運用換元證明不等式，需關注新舊元定義域的等價性.

可見，運用構造函數法證明不等式的關鍵是將不 等式進行適當的變形，以便構造出合適的函數模型.這 就需要根據不等式的結構特點和解題需求，進行移項 作差、分離參數、合理換元.

（作者單位：山東省聊城市茌平區杜郎口高級中學）