談?wù)勄髨A錐曲線離心率的幾種措施

孫婷婷

求圓錐曲線的離心率問(wèn)題的難度一般不大，側(cè)重 于考查橢圓和雙曲線的定義、幾何性質(zhì)、方程以及圓 錐曲線的離心率公式.解答此類(lèi)問(wèn)題，需要靈活運(yùn)用方 程思想、數(shù)形結(jié)合思想.下面，筆者重點(diǎn)談一談求圓錐 曲線離心率的幾種方法.

一、公式法

公式法是運(yùn)用圓錐曲線的離心率公式 e = c a 來(lái)解 題的方法.運(yùn)用公式法解題，往往要先求出 a、b、c 的 值，或建立有關(guān) a、b、c 三者之間的式子，然后利用圓 錐曲線的離心率公式 e = c a 求出結(jié)果.

例1

解：

解答本題，需先根據(jù)題目所給的條件求得入射光 線的斜率及其直線方程；然后確定反射點(diǎn)與反射光線 所在的直線方程，得出焦點(diǎn)坐標(biāo)與 a、b、c 的值；最后 利用圓錐曲線的離心率公式求出問(wèn)題的答案.

二、定義法

定義法是運(yùn)用圓錐曲線的定義來(lái)解題的方法.運(yùn) 用此種方法求離心率，需熟知圓錐曲線的第一定義和 第二定義.根據(jù)第一定義，得出 a、b、c 之間的關(guān)系式； 根據(jù)第二定義，明確曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，就能 求出圓錐曲線的離心率.

例2

解：

由 | AF | 1 = 3| AF | 2 可聯(lián)想到雙曲線的定義：動(dòng)點(diǎn)到 兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為定值，即 | AF | 1 - | AF | 2 = 2a ，據(jù) 此建立關(guān)于a、c的關(guān)系式，即可求出雙曲線的離心率.

三、齊次式法

齊次式法是通過(guò)構(gòu)建齊次式來(lái)解題的方法.當(dāng)難 以計(jì)算出 a、c 的值時(shí)，就可以根據(jù)已知條件和圓錐曲 線中a、b、c之間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于 a、c 的齊次式，然后 通過(guò)解方程得出離心率 e 的值.

例3

解：

我們需先根據(jù)雙曲線的方程和焦半徑公式建立 關(guān)于 a、c 的齊次式，然后在其左右同除以 a2 ，得到關(guān) 于離心率 e 的一元二次方程，通過(guò)解方程，便可以求 得 e 的值.

在求解圓錐曲線的離心率問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要注意 根據(jù)題目中所給的條件，利用圓錐曲線的方程、公式、 幾何性質(zhì)，建立關(guān)于 a、b、c 的關(guān)系式，靈活選用公式 法、定義法、齊次式法，快速求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：江蘇省鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)）