求解平面向量的模長問題的方法

周愛琴

平面向量問題的命題方式較多，常見的有根據已 知條件求向量的大小、求向量的數量積、求兩個向量 的夾角的大小、求向量的模長等.其中，求向量的模長 問題的難度不大，常以選擇、填空題的形式出現.此類 問題側重于考查平面向量的模長公式、運算法則及幾 何意義.本文重點談一談求解平面向量的模長問題的 方法.

一、代數法

1.平方

由 a 2 = |a|?|a|cos 0 = |a| 2 可得：|a| 2 = a 2 = a?a ，則平 面向量的模長為：|a| = a?a ，該式為平面向量的模長 公式.在求解平面向量的模長問題時，可根據題意和向 量的模長公式，將向量平方，把模長問題轉化為數量 積問題，這樣便于建立所求向量的模長與已知向量、 夾角之間的聯系.建立關系式后，靈活運用平面向量中 的加法、減法、數乘運算法則，數量積公式、模長公式， 即可順利解題.

例1

解：

題目中所給條件與向量的模、數量積相關，其中 涉及的幾何關系較少，所以將 | | | | a+ b - c 平方，把問題 轉化為數量積問題，通過平面向量運算，根據向量夾 角的取值范圍（0，180°）求得向量的模的最值.將向量 平方并計算出結果后，一定要記得將其開方.

2.坐標法

a= （x，y） ，則由平面向量的模長公式：|a| = a?a 可得 |a| = x 2 + y2 .在求解平面向量的模長問題 時，可根據題目中涉及的圖形的特性，尋找垂直的兩 條直線，將其視為平面直角坐標系的兩條坐標軸，據 此建立平面直角坐標系，分別求得各個點的坐標以及 所求向量的方向向量，即可根據平面向量的模長公式 和平面向量的坐標運算法則解題.若題目中沒有直接 給出相應的圖形，則需根據平面向量的幾何意義構造 幾何圖形，再建立平面直角坐標系，通過平面向量的 坐標運算解題.

例2

解：

我們結合題目中的垂直關系： AB ⊥AC ，建立平 面直角坐標系，從而將問題轉化為坐標運算問題.通過 坐標運算，利用柯西不等式即可求得 | |AM 模長的范圍.對于與平面向量的模長有關的最值問題或范圍問 題，通常可考慮建立平面直角坐標系，得到向量的模 長與變量x、y之間的函數關系，從而將問題轉化為求 函數最值問題來求解.

二、幾何法

運用幾何法解答平面向量問題，需先根據平面向 量的幾何意義：三角形法則和平行四邊形法作出相應 的圖形，將向量的模長看作平面幾何圖形的一條邊長 或弦長，然后根據等腰三角形、等邊三角形、圓、平行 四邊形等幾何圖形的性質，利用正弦定理： a sin A = b sin B = c sin C ，余弦定理：a2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，勾股 定理：a2 = b 2 + c 2 ，求得幾何圖形的邊長或者弦長.

例3

解：

若從代數角度討論向量 a- c，b - c 的夾角為 60° 的情形，運算量較大，所以從幾何角度入手，根據題意 構造圖形，并將 | c| 看作 | |AC ，然后利用弦定理、余弦 定理以及圓的性質：直徑是圓內最長的弦，求得 | |AC 的最大值.

可見，求解平面向量的模長問題可從代數和幾何 兩個方面入手，尋找不同的解題思路.但無論是運用代 數法還是幾何法解題，都需靈活運用向量的模長公 式，平面向量的運算法則、定理、幾何意義.

（作者單位：甘肅省天水市田家炳中學）