解答三角形面積的最值問題的幾種思路

顧海霞

三角形面積的最值問題經常出現在各類試題中， 常見的命題形式為根據已知的邊角關系，求三角形的 邊長、角、面積、周長的最值.其中，三角形面積的最值 問題側重考查正余弦定理、勾股定理、三角形面積公 式的應用.本文主要談一談求解三角形面積的最值問 題的幾種思路.

一、建立平面直角坐標系

有些三角形面積的最值問題中涉及了動點、動直 線，此時我們很難快速確定三角形的面積，不妨根據 三角形的形狀特點建立平面直角坐標系，設出動點的 坐標，將動直線用直線的方程表示出來，這樣便可運 用點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、正余弦 定理、勾股定理，求得三角形的邊長、高，進而根據三 角形的面積公式 S = 1 2 ab sin C = 1 2 底 × 高 ，求得三角 形面積的最值.

例1

解：

建立平面直角坐標系，設出三角形的頂點 A、B、C 的坐標，便可根據已知條件建立關于 x 、y 的關系式 （x - 4） 2 + y2 = 8 ，而該式表示的是一個圓，于是根據圓 上的點到直徑的最大距離為半徑，得出 C 到 AB 的最 大距離，最后根據三角形的面積公式求得 △ABC 面積 的最大值.

二、利用基本不等式

基本不等式 a + b ≥ 2 ab （a > 0，b > 0） 是解答最值 問題的重要工具.在求得三角形的面積公式后，可將其 進行合理的變形，如湊系數、添項、去項、進行“1”的代 換等，構造出兩式的和或積，并使其中之一為定值，這 樣便可直接利用基本不等式求得三角形面積的最值.值 得注意的是，在求得最值后，還需檢驗等號是否成立.

例2

解：

根據三角形的面積公式 S = 1 2 bcsin A 求得三角形 的面積后，發現該式為 b、c 的積，由此聯想到余弦定 理，即可運用基本不等式 b 2 + c 2 ≥ 2bc ，求得bc的取值 范圍，進而求得三角形面積的最值.

三、構造函數

有些三角形面積的表達式較為復雜，很難快速求 得其最值，此時不妨將面積的表達式看作關于某個變 量的函數式，判斷出函數的單調性，便可根據函數的 單調性求得函數的最值，進而求得三角形面積的最值. 運用構造函數法求三角形面積的最值，關鍵在于選取 合適的量作為自變量，以便構造出函數模型.

例3

解：

我們以角 ∠C = θ 為自變量，根據題意和三角形的 面積公式求得三角形ABC面積的表達式，便可將其看 作關于 θ 的函數，利用正弦函數的有界性求得最值.

相比較而言，坐標法、基本不等式法比較常用，且 較為便捷.但無論運用哪種方法解題，都需根據題意， 明確三角形三邊、邊角之間的關系，以便根據三角形 的面積公式求得三角形面積的表達式.

（作者單位：江蘇省鹽城市阜寧縣第一高級中學）