基于教育數(shù)學(xué)思想“面積之算兩次”的實踐研究

曾立萱

摘? 要：“算兩次”是指將同一個量采用兩種不同的形式來表示出來，以等量關(guān)系來求解的一種數(shù)學(xué)思想方法。在初中階段運用面積“算兩次”方法，可以幫助學(xué)生巧妙地解決一些經(jīng)典的幾何圖形問題。初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對學(xué)生來說有著一定的難度，這主要是因為數(shù)學(xué)知識有著一定的邏輯性，對學(xué)生的思維能力有著較高的要求，特別是幾何題型的解決上，困擾著很多學(xué)生。而在初中數(shù)學(xué)課堂上，教師提倡學(xué)生采用“算兩次”的數(shù)學(xué)方法解決幾何問題，這對提升數(shù)據(jù)計算的準(zhǔn)確性有著重要的作用。對此，文章中基于教育數(shù)學(xué)思想進行了“面積之算兩次”的實踐研究。

關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué)思想；面積；算兩次；實踐方法

目前，初中階段的數(shù)學(xué)知識在難度上有了明顯的增加，很多初中生的數(shù)學(xué)成績并不是很理想，雖然很多學(xué)生都表示錯題中有很多是自己已經(jīng)熟練掌握的題型，但是因為馬虎出現(xiàn)了計算問題，最終導(dǎo)致題目出現(xiàn)問題，可以說這樣的錯誤幾乎初中生都遇到過。“算兩次”的方法可以有效地解決這個問題，對學(xué)生難以解決的面積問題，通過將面積“算兩次”，可以輔助學(xué)生解決一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，保證計算的準(zhǔn)確性，全面提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

一、“算兩次”內(nèi)涵

“算兩次”屬于一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，初中階段有很多學(xué)生對“算兩次”的含義掌握不夠準(zhǔn)確，在運用時難以獲得良好的效果。其實，“算兩次”是指學(xué)生在計算數(shù)學(xué)問題時，需要采用不同的方法來解答，得到一個等式，這樣就可以有效地提升初中生的計算準(zhǔn)確率。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何圖形的體積計算內(nèi)容時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生采用等體積法。如所求圖形為三角形，給出三角形及三個面的面積，以及一條高，求另一條高。若是想解決這個問題，采用“算兩次”的方法來實施，學(xué)生首先要明確三角形的體積是不變的。

二、基于教育數(shù)學(xué)思想“面積之算兩次”的實踐

（一）基于感悟反思，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想滲透

初中數(shù)學(xué)教育不應(yīng)只是實現(xiàn)知識精準(zhǔn)傳遞，而是運用數(shù)學(xué)思想點燃智慧火焰，將學(xué)生思維能力做到極大程度提升，引導(dǎo)學(xué)生從多角度去分析與解決各類數(shù)學(xué)問題，從而實現(xiàn)以點帶面，學(xué)生才能突破問題表象，憑借腦中知識與數(shù)學(xué)能力直達問題本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)能力不斷強化。在數(shù)學(xué)文化與思想的傳遞中，初中數(shù)學(xué)教師從教材入手，設(shè)計變式習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生通過練習(xí)對數(shù)學(xué)思想這一寶藏做到精準(zhǔn)挖掘。算兩次思想的傳遞需要教師引導(dǎo)學(xué)生運用兩種不同方式完成同一問題的計算，而不是簡單的一題多解。學(xué)生在算兩次思想的滲透下根據(jù)同一結(jié)果反過來運用不同角度去挖掘潛在信息并加以整理，從而轉(zhuǎn)換思想去尋找解決途徑。在初中數(shù)學(xué)課堂中，教師必須重視算兩次思想的滲透，幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)思想，學(xué)生會找到探索與運用知識的方法，為學(xué)生全方位發(fā)展夯實基礎(chǔ)。

例如教師為了培養(yǎng)學(xué)生反思習(xí)慣，運用經(jīng)典例題引導(dǎo)學(xué)生。首先，教師給出已知條件：兩個直角三角形的邊長分為別ａ、ｂ、ｃ，另一個直角三角形的兩條直角邊是ｃ，這３個直角三角形以組合的方式構(gòu)成一個梯形（如圖１所示），要求用兩種不同計算方式完成梯形面積計算。其次，學(xué)生在認(rèn)真觀察中，意識到梯形構(gòu)成特點，從而意識到可以直接運用梯形面積公式進行計算。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生還從不同角度考慮，將３個三角形各自面積相加之后也能求出梯形面積，輕松找出兩種方法獲得梯形面積。再次，學(xué)生列出■（a+b）（a+b）=■ab+■ab+■c2，通過進一步整理得出a2+b2=c2。最后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角邊長與斜邊之間的關(guān)系完全是滿足a2+b2=c2，從而在面積計算過程中又對勾股定理進行驗證，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的記憶，保證在變式習(xí)題中靈活與準(zhǔn)確運用。教師還鼓勵學(xué)生對算兩次的過程進行對比，學(xué)生從圖形面積、三角形特點等方面入手，建立起相等關(guān)系，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想科學(xué)滲透，幫助學(xué)生對自身發(fā)現(xiàn)結(jié)論做到全面歸納。

（二）消除定勢思維，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

在初中數(shù)學(xué)課堂中，教師必須運用現(xiàn)代教育技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生走出定勢思維，使得學(xué)生可以運用兩種思路完成問題的解決，從不同角度去表達同一個量，最終通過構(gòu)造等式的途徑去實現(xiàn)問題求解并得到準(zhǔn)確答案。由于部分初中生思路受限，面對與面積相關(guān)的問題時并不能從多角度考慮，而是生搬面積求解公式，導(dǎo)致學(xué)生無法形成算兩次的數(shù)學(xué)思想。那么，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)站在初中生角度考慮，結(jié)合初中生成長特點與思維特征來完成算兩次數(shù)學(xué)思想的滲透，幫助學(xué)生從具有相同特點的公式入手，對圖形特點有進一步了解，同時對同一內(nèi)容做到全面分析，列出算式并完成計算，也是對數(shù)形結(jié)合思想的一種傳遞。

例如教師依托三角形相似性質(zhì)來引導(dǎo)學(xué)生，設(shè)計優(yōu)秀例題打開學(xué)生思維空間。教師運用生活情境鼓勵學(xué)生思考“在銳角三角形ＡＢＣ中，ＢＣ長度為１２ｃｍ，ＡＤ為三角形的高，ＡＤ＝８ｃｍ。工人需要將其制作成正方形零件，而且這個正方形的一條邊需要在ＢＣ上，保證頂點位于ＡＢ和ＡＣ兩個邊上（如圖２所示），求加工后的正方形邊長與面積分別是多少？”。學(xué)生馬上開始觀察圖形，同時設(shè)ｘｃｍ為正方形邊長，再結(jié)合三角形特點及面積公式，從而得到ＡＥ＝ＡＤ＝ＤＥ＝（８－ｘ）ｃｍ，接著列出ＢＱ＋ＣＭ＝ＢＣ－ＱＭ＝（１２－ｘ）ｃｍ。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生由三角形相似性質(zhì)入手，考慮到相似三角形所對應(yīng)的高度比實際上是等于相似比，對這一知識加以應(yīng)用，得到S△ABC=■BC·AD=■×12×8=48（ｃｍ２）。

學(xué)生還將相似性質(zhì)不斷延伸，得出：

S△ABC=S△BPQ+S△NMC+S正方形PQMN=■PN·AE+■BQ·PQ+■CM·MP+PN2=■x（8-x）+■（12-x）·x+x2=10x（xm）2

∴ 10x=48? ∴ x=4.8

那么，正方形邊長為４．８ｃｍ，面積為２３．０４。在該例題的討論中，學(xué)生將巧妙劃分為４個部分，其中３個為三角形，１個為正方形。學(xué)生能夠從面積計算特點入手，運轉(zhuǎn)思維并創(chuàng)造出兩種解題方式，感受到解題趣味性，成功對一題多解有進一步認(rèn)識，形成算兩次數(shù)學(xué)思想。

（三）依托觀點轉(zhuǎn)換，提煉問題關(guān)鍵信息

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開反復(fù)解題，學(xué)生如果能在解題過程中明確思路并找準(zhǔn)大方向，那么將直接挖掘出問題中具有關(guān)鍵性的信息，從而看透問題本質(zhì)，使得學(xué)生感到回味無窮，樂于通過算兩次方式對自身想法做到科學(xué)驗證，強化學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)能力，學(xué)生也能形成算兩次的數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)各階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來極大程度促進。由于算兩次是具有靈活性的婁科學(xué)家方法，為了得到最終結(jié)果，學(xué)生需要把同一個量運用具有不同方式的兩種方法進行科學(xué)表示，同時也能反過來使用兩種思路完成同一個量的準(zhǔn)確計算，簡言之，即于從兩個不同的角度來實現(xiàn)一個量的最終考查，學(xué)生將轉(zhuǎn)換觀點去看待具有探究意味的數(shù)學(xué)問題。在初中數(shù)學(xué)課堂中，面積計算中蘊含著運用不同角度去計算的思想，學(xué)生在面對與面積相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時可以選用普適性的手段，也可以基于算兩次思想去深挖問題中的關(guān)鍵信息，從而找到等量關(guān)系，學(xué)生思維呈現(xiàn)出發(fā)散性，同時依托自身數(shù)學(xué)建模能力去計算并找到正確答案。為了實現(xiàn)算兩次，教師通過課堂互動或者小測試等不同方式對學(xué)生解題常用角度做到分析，基于稚化思維培養(yǎng)幫助學(xué)生揭示算兩次這一數(shù)學(xué)原理中的本質(zhì)，學(xué)生感受到算兩次的樂趣，從而主動從另一個角度去思考，使得算兩次這一數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)換為學(xué)生學(xué)習(xí)與探究過程中的利器。

（四）引入數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生理性思維

在初中階段的數(shù)學(xué)課堂上，教師需要有意識地引導(dǎo)學(xué)生進行“算兩次”思考，通過細心的研究后，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)初中階段的很多數(shù)學(xué)知識都可以采用該種方法來解決。如學(xué)生經(jīng)常使用到的各種圖形面積、體積的原酸等，且很多的公式使用起來比較靈活，所以這就需要教師善于引導(dǎo)學(xué)生運用“算兩次”方法，探索嶄新的解題思路，以此來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，幫助學(xué)生實現(xiàn)理性思維能力的提升。

在具體教學(xué)時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生以“算兩次”的方法來解決習(xí)題。教師在指導(dǎo)學(xué)生運用“算兩次”數(shù)學(xué)思想計算時，一是要使得學(xué)生明確這道題目的兩種計算方式，即Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＝８ｎ＋５ｎ＝（８＋５）ｎ，通過將８ｎ與５ｎ合并時，通過將系數(shù)８和５進行合并，ｎ是固定量，這樣就可以引入合并同類項的法則，即合并同類項時，需要將同類項的系數(shù)相加，子目和字母的指數(shù)不會發(fā)生變化。隨之引入“算兩次”法則，從分開與合并的兩個角度來觀察和分析這個問題，便可以得到兩個不同的結(jié)果，且兩個結(jié)果相等，這樣就可以保證學(xué)生計算的準(zhǔn)確性。從這道題目來看，不管是分開還是合并，都是學(xué)生思考問題的不同角度，當(dāng)學(xué)生掌握了面年紀(jì)不變，便可以輕松地引入法則，有效地幫助學(xué)生了解了數(shù)形結(jié)合的思想。

（五）巧妙構(gòu)思解法，鍛煉學(xué)生綜合能力

教育教學(xué)需要以學(xué)生已有的知識經(jīng)驗為出發(fā)點，激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望。所以，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)期間，教師對教學(xué)工作的設(shè)計則需要充分的考慮到學(xué)生在知識探索過程中對知識的掌握程度，引導(dǎo)學(xué)生在自主探索與操作實踐的過程中，形成分析和解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，相似三角形所占的比重比較大，且難度偏高，歷來是各地中考?？嫉膬?nèi)容，一直困擾著初中生。“算兩次”作為重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)期間，教師便可以利用“算兩次”的方法引導(dǎo)學(xué)生探索不同的問題解答思路，發(fā)掘?qū)W生的潛能，引導(dǎo)學(xué)生在巧妙構(gòu)思解法的過程中，完善自身對數(shù)學(xué)知識的理解。因此，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)期間，教師則需要善于引入“算兩次”，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來探索問題的解決方法，從而實現(xiàn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

（六）立足知識關(guān)聯(lián)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)

目前，站在初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的角度分析來看，由于初中數(shù)學(xué)知識難度有了明顯的增加，對學(xué)生的思維能力有了更高的要求，這對還沒有完全掌握數(shù)學(xué)知識理論的學(xué)生來說存在著一定的困難。且數(shù)學(xué)教材中的很多定理、公式知識理解起來難度較大，學(xué)生對這些知識的運用上存在著諸多的缺陷。所以，為了幫助學(xué)生突破知識難點，教師則需要借助數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系性來幫助學(xué)生理解知識，構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。

例如若是△ＡＢＣ的三條邊分別為ａ、ｂ、ｃ，請學(xué)生嘗試寫出該三角形的內(nèi)切圓半徑公式。教師指導(dǎo)學(xué)生對題干進行分析時，可以假設(shè)內(nèi)切圓的圓心為Ｏ，半徑為ｒ，通過連接ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ。一方面，由海倫－秦九韶公式，

可得Ｓ△ＡＢＣ＝■其中ｐ＝■。

另一方面，Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△OＡＢ＋Ｓ△OＢＣ＋Ｓ△OＡＣ＝■ｃｒ＋■ａｒ＋■ｂｒ，經(jīng)過整理可得：

ｒ＝２■

＝■。

從該題目的解題思路分析來看，其在整體表示三角形面積時，運用了海倫－秦九韶公式，將三角形面積計算與其三邊聯(lián)系起來；然后采用分割法來標(biāo)識三角形面積時，也將面積計算與三邊聯(lián)系了起來，符合“算兩次”的巧妙論證。經(jīng)過運用“算兩次”思想方法，不僅可以幫助學(xué)生從不同的角度來思考問題的解答方法，還可以引導(dǎo)學(xué)生抓住知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建完善的知識網(wǎng)絡(luò)。

三、結(jié)語

總而言之，現(xiàn)階段初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題已經(jīng)成為困擾初中生的重要問題，當(dāng)前輔助學(xué)生掌握新的學(xué)習(xí)方法解決數(shù)學(xué)問題勢在必行。目前，新課改實施以來，提倡初中數(shù)學(xué)課堂采用“算兩次”的方法來解決問題，探索數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。對困擾初中生的面積問題，通過“算兩次”的方法，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生換個思路解決問題，還能夠深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握，這樣學(xué)生對面積問題的解決就可以運用“算兩次”來解決問題，從而提升學(xué)生的計算準(zhǔn)確率和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

參考文獻：

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（責(zé)任編輯：莫唯然）