淺談運用“割”“補”策略解圖形面積問題

李亞軍

摘要：求解圖形的面積問題是初中數學平面幾何問題中的常考題型，解有關不規則幾何圖形的面積問題時，通常會利用割、補、拼、湊等手段將其轉變為可計算的常見規則圖形.割、補的手段是幾何學中的重要方法，在面積和體積問題中出現的次數尤為多.本研究就“割、補”策略在解答平面圖形的面積方面的運用作了深入仔細的分析探討，通常結合軸對稱、中心對稱、函數圖象、旋轉等知識解答問題.

關鍵詞：解題策略;圖形面積

1 策略一：割

所謂“割”，即是對原圖形添加適當的輔助線，將原圖形分為若干個常見的規則圖形（如正方形、直角三角形等），并利用各個圖形的面積和進行求解.使用“割”策略求解的關鍵在于合理將原圖形進行分割，使得分割后的每個圖形的面積都易于求解.除此之外，還需要對各個基本圖形的面積計算公式了然于心，即可保證正確求解.

例1 已知⊙O是△ABC內切圓，D，E，F分別是BC，AC，AB邊上的切點，如果BC=a，AC=b，AB=c，內切圓O的半徑為r，求△ABC的面積.

分析：本題不知道三角形的高，所以無法直接運用三角形的面積公式求解，而找出三角形的高具有一定難度，且耗費時間較多.若采用“割”的手段，以圓心O作為三角形頂點，以⊙O的半徑作為三角形的高，分別求出△AOB，△AOC，△BOC的面積即可順利求解.

解：如圖1，連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，把△ABC分割為△AOB，△AOC，△BOC三個部分.

∵D，E，F是切點，

∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.

∴OD=OE=OF=r.

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=12AB＼5r+12BC＼5r+12AC＼5r=12AB+BC+CA＼5r=12a+b+cr.

注意：可以借上述結論求任意一個三角形的內切圓的半徑.當已知一個三角形的面積為S以及它的三邊長a，b，c時，則r=2Sa+b+c成立.

練習1 如圖2所示，是由一個大圓和四個相同的小圓組成的圖案，若大圓的半徑等于2，則陰影部分的面積為.

分析：本題陰影部分面積的求解，考查的是勾股定理的應用，圓的對稱性與正方形的性質，以及對扇形面積與弓形面積的理解.正多邊形與圓是解題的關鍵.

解：如圖3所示，由圓的對稱性與割補法可得，陰影部分的面積為大圓的面積減去正方形的面積.

∵大圓的半徑等于2，∠ACB=90°，AC=BC，

∴AB=4，AC2+BC2=16.

∴AC2=8.

∴陰影部分的面積S=π×22-AC2=4π-8.

2 策略二：補

所謂“補”，是指通過對原圖形添加輔助線的方式將原圖形轉變為規則圖形，使問題簡單化，進而利于求解的策略.一般來說，需要“補”的圖形都不規則，不易計算，因此需要將其“補”成一個規則圖形幫助求解.“補”的關鍵在于根據原圖形的特點將其添補成一個常見的且易于求解的圖形，最后利用相關圖形的面積公式相加或者相減即可得解.如例題2.

例2 如圖4所示，將一個邊長等于 3的正方形ABCD繞點A逆時針方向旋轉30°后得到正方形A′B′C′D′，則圖中的陰影部分面積為平方單位.

分析：本題要結合旋轉的性質和正方形的性質求解，旋轉變換前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.將原正方形ABCD旋轉后得到的陰影部分的圖形極其不規則，不易直接計算其面積，“割”的手段也不甚好用，但添加輔助線可將其轉變為等腰直角梯形，利用已知條件和公式可輕松得出陰影部分的面積.

解：如圖5，設DC與B′C′交于點E，連接AE.由旋轉的性質可知，∠BAB′=30°.

∵AD=AB′，AE=AE，∠D=∠B′=90°，

∴△AB′E≌△ADE.

∵∠B′AD=∠DAB-30°=60°，

∴∠B′AE=∠DAE=30°.

∴DE=tan 30°＼5AD= 33× 3=1.

∴S四邊形A′B′ED=2×12× 3×1= 3.

綜上所述，陰影部分的面積為3- 3.

練習2 如圖6所示，邊長等于1的兩個正方形互相重合，若摁住其中一個不動，使另一個繞頂點A順時針旋轉45°，則這兩個正方形重疊部分的面積為.

分析：本題考查正方形的性質和圖形的旋轉變換，可將AD′延長作輔助線，由于原圖形旋轉了45°，因此AD′的延長線經過點C，再用△ABC的面積減去△CD′E的面積即可.

解：如圖7所示，連接D′C，設BC與C′D′交于點E.

∵正方形ABCD繞點A順時針旋轉了45°，

∴點D′位于正方形ABCD的對角線AC上.

∴∠D′CE=45°.

∵∠AD′E=90°，

∴∠ED′C=180°-∠AD′E=180°-90°=90°.

∴△CD′E是等腰直角三角形，即CD′=D′E.

在Rt△ABC中，由勾股定理，可得

AC= AB2+BC2= 1+1= 2.

∴CD′=AC-AD′= 2-1.

∴兩個正方形重疊部分的面積S=S△ABC-S△CD′E=12×1×1-12 2-12= 2-1.

3 策略三：割補并舉

當單獨使用“割”或者“補”都不能順利求解時，就可以利用割補并舉的方式求解，這種策略在等積變形中最常見.割補并舉是指將原圖形上的某一部分切割下來放到其他合適的位置上，使其成為一個較為規則的圖形，進而簡化求解.運用此策略根據圖形的特點進行靈活割補，結合題目已知條件計算求解即可.

例3 如圖8所示，圖中的三塊陰影部分由兩個半徑等于1的圓和其外公切線分割而得，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩個圓的公共弦長等于（? ）.

A. 52????? B. 62

C.12 25-π2

D.12 16-π2

分析：本題只利用“割”或者“補”較難求解，既需要“割”又需要“補”.根據已知條件可得圓的面積恰好等于矩形ABCD的面積，在此基礎上結合垂徑定理即可解得公共弦長.

解：由圖形割補可知，圓的面積等于矩形ABCD的面積.

所以π×12=2AB，

即AB=π2.

根據垂徑定理可知，公共弦EF=2× 12-π42=2× 16-π24=12 16-π2.

故選正確答案：D.

練習3 如圖9所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8 cm，把△ABC以點B為中心，逆時針旋轉使點C旋轉到AB邊的延長上點C′處，求AC邊掃過的圖形（圖中陰影部分）的面積為（結果保留π）.

分析：本題可將△A′BC′中陰影部分割補到△ABC中，將原陰影部分轉變為一個規則的環形，再利用大扇形的面積減去小扇形的面積即可得到所求陰影面積.

解：由題意可知，點A走過的路徑為弧AA′，且其所對的圓心角為∠ABA′=180°-∠A′BC′=180°-60°=120°.

∴弧AA′的長為120×2π×8360=16π3.

在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=8.

∴BC=12AB=4，∠ABC=60°.

∴AC= AB2-BC2=4 3.

又∵△ABC旋轉到△A′BC′，

∴∠A′BC′=∠ABC=60°.

因此，陰影面積S=120360π×82-120360π×42=643π-163π=16π（cm2）.

在初中數學知識中，內角和定理、勾股定理等常用割補法證明，解答與梯形有關的問題也可利用“割”“補”的策略進行求解.總而言之，“割”“補”的方法在解題中十分常見，對提高學生分析問題和解決問題的能力大有裨益，也有助于培養學生的化歸思想.

參考文獻：

[1]杭永根，陳德前.圖形面積問題[J].中學數學教學參考，2016（Z2）：104-108.

[2]章杰，葉昌.初中數學從“解構”到“重構”的問題鏈教學設計[J].湖州師范學院學報，2022（2）：112-116.