立足整體，凸顯轉化思想

摘 要：《三角形的面積》一課，在圖形面積計算教學中起著“承上啟下”的重要作用。教學時應立足整體，有意識地將長方形、正方形、平行四邊形、三角形以及未來將要學習的圖形面積計算聯系起來，以轉化思想為核心，深化學生對圖形面積計算的認識，發展學生的空間觀念和推理意識。

關鍵詞：《三角形的面積》；整體視角；轉化思想

【教學內容】

蘇教版小學數學五年級上冊第9—10頁。

【課前思考】

《三角形的面積》是在學生掌握了長方形、正方形、平行四邊形面積計算公式以及三角形特征的基礎上學習的。縱觀《多邊形的面積》單元，《三角形的面積》一課在其中起著“承上啟下”的作用——“上承”平行四邊形面積計算公式推導中所使用的轉化思想，學生需再次經歷將新的圖形轉化成熟悉的圖形并計算面積的過程；“下啟”其他圖形的面積計算公式推導過程，學生需經歷多樣化的轉化過程，領悟其中的數學思想。

圖形的面積計算公式在平面圖形面積知識體系中并非零散而孤立的，轉化思想是溝通彼此的橋梁。因此，教學《三角形的面積》應立足整體，滲透多邊形面積計算的一般方法和數學思想，引導學生以整體視角去思考平面圖形的面積計算方法，將已經學過的長方形、正方形、平行四邊形和正在學習的三角形以及未來將要學習的梯形、圓等平面圖形的面積計算公式看作一個整體，完善認知結構，發展空間觀念和推理意識。

【教學目標】

1.經歷三角形面積計算公式的推導過程，能正確計算三角形的面積。

2.經歷觀察、猜想、分析、比較、推理等數學活動，體會轉化思想，初步發展空間觀念和推理意識。

3.經歷合作探索三角形面積計算公式的過程，獲得積極的學習體驗，增強學習的興趣和信心。

【教學過程】

一、回顧引入，喚醒轉化意識

師：我們已經學習了哪些平面圖形的面積計算公式？

師：長方形和正方形是特殊的平行四邊形，它們的面積計算可以用一個統一的公式表示嗎？

師：（板書：S=ah）還記得我們是怎么推導出平行四邊形面積計算公式的嗎？

師：（出示動態轉化過程）在平行四邊形面積計算公式的推導過程中，我們用到了一種非常重要的數學思想——轉化，把平行四邊形的面積轉化為長方形來計算。

[設計意圖：平行四邊形面積計算公式的推導過程為學生研究三角形面積計算公式積累了重要經驗。因此，課始引導學生回顧將平行四邊形轉化成長方形的過程，梳理原圖形和轉化后圖形的各部分關系，喚醒轉化意識，理解轉化的內涵，為之后推導三角形面積計算公式提供思維和方法的支持。]

二、主動探究，理解和運用轉化思想

（一）觀察猜想

師：有了這些寶貴的經驗，我們可以繼續探究其他圖形的面積計算公式。今天，我們就一起來研究三角形的面積。

師：（出示圖1）觀察這個三角形，其內部的虛線格邊長為1cm，你能想辦法求出它的面積嗎？

師：結合我們之前的經驗，是否也可以把三角形轉化成已知的圖形來求面積？

師：想一想，三角形可以轉化成什么已知的圖形？怎樣轉化？

學生各抒己見，猜想把三角形轉化成長方形或平行四邊形的方式。

師：大家的想法都很不錯。我們到底能不能成功地將三角形轉化成長方形或平行四邊形呢？轉化后的圖形和原三角形又有著怎樣的關系？這些問題需要我們進一步操作探究。

[設計意圖：學生通過觀察和猜想等方法來求三角形的面積，有的學生會想到“數格子”，但由于這里的格子并不都是整格或半格，不能十分準確地求出三角形的面積，學生自然會結合轉化經驗，思考“如何把三角形轉化成已知的圖形求面積”，并產生多種轉化的思路和方案，為接下來的探究提供方向和依據。]

（二）探索多樣化的剪拼方法

師：請大家同桌合作，借助學具進行剪拼，也可以直接在空白處畫一畫示意圖進行探究。（出示圖2）操作后完成這張探究單。

學生合作探究，自主思考，記錄想法。

師：（出示用兩個三角形拼成平行四邊形的探究單）你把三角形轉化成了什么圖形？原來的三角形和轉化后的圖形有什么聯系？

師：我們從中得出結論，“三角形的面積=底×高÷2”。

師：用兩個完全相同的三角形拼平行四邊形有幾種方法？（學生回答后出示圖3）將兩個相同的三角形拼成三種平行四邊形，拼法不同，平行四邊形的底和高變化了，得到的結論有變化嗎？為什么？

師：底變化了，對應的高也變化了。三角形有三組對應的底和高，三角形的面積也就可以有三種算法。看來，在計算三角形的面積時要注意選擇對應的底和高。

師：我們用了兩個完全相同的銳角三角形進行了探究，是不是只有銳角三角形才能拼成平行四邊形？

師：用兩個完全相同的三角形除了可以拼成平行四邊形（長方形），還可以拼成什么圖形？

師：拼成這些形狀對解決我們今天的問題有幫助嗎？

師：在轉化時，我們要明確方向，將未知的轉化成已知的，將陌生的轉化成熟悉的。

[設計意圖：筆者課前了解到，學生具有“兩個完全相同的三角形可以拼成平行四邊形（長方形）”的認知基礎，并可以從一種三角形推廣到任意三角形。因此，本節課將教學重點放在了對“兩個完全相同的三角形拼三種不同的平行四邊形”的思考上，引發學生對三角形“三組對應的底和高”的關注。為了讓學生能關注到這種不同并拼出不同的平行四邊形，圖1三角形的三條邊為三種不同的顏色。]

師：（出示用兩個三角形剪拼成長方形的探究單）說說你們的探究思考，剪拼的過程中要注意什么？

師：（出示圖4）這種方法和用兩個三角形拼成平行四邊形有什么相同的地方？有什么不同呢？

師：之前，我們探究了把兩個完全相同的三角形轉化成平行四邊形或長方形，只用一個三角形可以轉化成我們熟悉的圖形嗎？（出示用一個三角形剪拼成平行四邊形或長方形的探究單）能說說轉化后的平行四邊形和原三角形的關系嗎？

師：（出示圖5）從中我們可以得出：三角形的面積=底×（高÷2）。

師：還有不同的方法嗎？（出示圖6）根據這種方法，我們可以得出結論：三角形的面積=（底÷2）×高。

[設計意圖：三角形內部印有格子線，給學生提供思路的同時，也方便了學生的剪拼活動（可以沿著線剪開）。在用一個三角形剪拼平行四邊形時，學生得出的結論往往和圖形的擺放位置有關。因此，要在多樣化的生成中關注方法的典型性。最后一種方法（圖6）學生較難想到，教師可相機在前一種剪拼方法（圖5）反饋后，直接出示圖6，引導學生思考這種方法（圖6）的合理性。]

（三）比較概括

師：我們通過把三角形轉化成平行四邊形或長方形，探究發現三角形的面積的確和它的底和高有關，并且通過不同的方法，得到了一些結論。

出示：（1）三角形的面積=底×高÷2；（2）三角形的面積=（底÷2）×高；（3）三角形的面積=底×（高÷2）。

師：觀察比較這三個結論，你有什么發現？

師：這里的三個公式從算法上看，是可以互相轉化的，它們的本質是相同的。我們可以用一個算式來表示三角形的面積計算公式——三角形的面積=底×高÷2，如果用字母來表示就是S=ah÷2。

師：同學們，剛才我們通過操作有了什么重要的發現？我們是怎么發現的？

[設計意圖：通過不同的轉化操作，學生得到了看似不同的結論，但這只是形式上的不同，在比較、推理后，學生就能夠清楚地發現三個公式的共通點，并用一個公式概括出來。在此過程中，學生豐富了對“÷2”的認識，強化了對“÷2”的本質的體驗，能在解決實際問題的過程中有效減少漏掉“÷2”的情況。]

（四）課外延伸

師：我國古代數學名著《九章算術》中記載了一些常見圖形的面積計算方法。著名數學家劉徽在注文中還用“以盈補虛”的方法加以說明。（出示教材“你知道嗎？”）如果用這個方法轉化三角形，你能想象出轉化后的圖形嗎？（課件動態演示，如圖7）同學們，你能看出這是把三角形轉化成了什么圖形嗎？原三角形和轉化后的圖形又有什么關系呢？

[設計意圖：引入《九章算術》中圖形面積計算方法，可以加深學生對數學文化的感悟，拓展思維，增強民族自信心與自豪感。教學時出示相關的動態演示，可以幫助學生直觀理解轉化后圖形與原三角形的關系，再次體會推導方法的多樣性，加深學生對轉化思想的理解和運用。]

三、聯結溝通，豐富轉化經驗

師：（出示圖8）已知這兩個平行四邊形底是6cm，高4cm，你能算出陰影部分的面積嗎？

師：這兩個三角形的面積和平行四邊形有什么關系？

師：等底等高的三角形和平行四邊形面積有什么關系？（出示圖9）除了從面積公式得出結論，你能從圖9看出來嗎？

師：（出示圖10）你能用剛才得出的結論計算陰影三角形的面積嗎？

師：老師給大家準備了一張方格紙，每個方格的邊長為1cm，你能在上面再畫幾個面積是12cm2的三角形嗎？說說你們是怎么畫的。

學生交流畫法后，教師出示圖11。

師：等底等高的三角形，可能形狀不同，但面積都相同。

師：（出示圖12）這是剛才一位同學畫的三角形，現在我把它的底縮短2cm，再把上方的頂點“打開”，“張開”2cm，三角形變成了什么圖形？

師：梯形和三角形之間也是有聯系的，梯形的面積又會和什么有關？計算公式是什么呢？大膽地猜一猜，我們下節課繼續探究。

[設計意圖：練習部分，筆者用聯系的觀點將知識進行了結構化處理。一是將“三角形的面積是和它等底等高的平行四邊形的面積的一半”從操作活動中單獨抽離出來，使之不僅成為三角形面積計算公式的推導過程，也成為學生可以直接運用的經驗規律；二是讓學生在畫三角形的活動中，進一步體會三角形底和高的對應，并直觀地將等底等高的三角形與平行四邊形建立聯系，引導學生發現等底等高的三角形的形狀可能不同，但面積都相等；三是溝通圖形的面積計算，延伸轉化思想，發展學生的模型意識，為學生的未來學習埋下繼續探究的種子。]

（金怡婷，江蘇省吳江經濟技術開發區江陵實驗小學教育集團，郵編：215217）