《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出,“數據意識”是小學階段學生核心素養的主要表現之一。隨著科技迅速發展和大數據時代的到來,從小培養學生的數據意識顯得尤為重要。數據意識有助于學生理解生活中的隨機現象,逐步養成用數據說話的習慣。教學時可以設計一些生活中與隨機現象和數據分析有關的數學問題,通過問題解決,引導學生正確認識、精準分析和準確表達數據,培養學生的數據意識。
【題目】
中央電視臺曾經有一檔電視節目《是真的嗎》,節目根據網友提出的問題,通過各大新媒體共同互動求證,運用調查、實驗、觀察、推理、計算、分析等手段,一起探求真相。下面讓我們來參加一場數學版的“是真的嗎”活動吧。
第1題 哪組均分高?
某次數學期末考試中一組和二組男、女生平均分如表1所示(設每位學生的分數只能是整數或小數部分為0.5的小數)。根據表格中的數據可知,一組男生的均分比二組男生均分高,一組女生的均分也比二組女生均分高,所以一組學生的均分比二組學生的均分高。這是真的嗎?
第2題 誰的進步大?
小麗和小敏最近勤加苦練跳繩,都取得了一定的進步,圖1、圖2是根據兩人最近5次1分鐘跳繩成績畫出的折線。已知第1次小麗跳120個,小敏跳123個。從兩條折線可以看出,小敏進步比較明顯,所以她的進步更大。這是真的嗎?
第3題 誰是專業籃球運動員?
A、B、C三人中有1人是專業籃球運動員,A的投籃命中率為50%,B的投籃命中率為60%,C的投籃命中率為54.5%。因為60%>54.5%>50%,所以B的投籃水平最高,專業籃球運動員應為B。這是真的嗎?
【解析】
第1題,由于一組的男女生均分都比二組高,學生易認為一組的整體均分也比二組高,也有學生會發現兩個組男女生人數不同,可能問題沒那么簡單,于是嘗試從計算的角度進行驗證。一組:(92.1×7 + 93.3×3)÷(7+3)=(644.7+279.9)÷10=924.6÷10=92.46;二組:(92×5+93×5)÷(5+5)=(460+465)÷10=925÷10=92.5。計算的結果顯示二組的平均分更高一些。還有的學生發現問題后將每個人的分數列出來比較總數,得出二組的總分比一組高0.4分,因此平均分高0.04分。不論是直接計算還是列出每個人的得分后再算,都得到同樣的結論,那就是二組的均分比一組要高。事實真的是這樣嗎?
第2題,學生學習折線統計圖時,都知道折線統計圖既能表示數量的多少,又能清晰地反映數量增減變化的情況??吹狡露绕骄従拖氲綌祿兓^小,坡度較陡就想到數據變化較大。當第一眼看到題目所給的兩條折線時,容易根據折線的變化幅度認為小敏跳繩增長較快,進步較大。事實真的是這樣嗎?其實,要想將兩人的數據通過折線圖進行比較,就得將其折線圖置于坐標系中,并統一縱軸單位長度和起始數據值,形成規范、準確的折線統計圖,否則無法比較兩組數據。而原圖只給出兩條折線,根本無法表示每組數據的大小、變化快慢,容易產生錯覺,導致誤判。事實上,根據小麗和小敏最近5次跳繩的成績,在Excel表中分別生成兩幅折線統計圖(如圖3、圖4),從中可清楚地看出小麗進步更大。所以原來的說法是假的。
第3題,投籃命中率反映投中次數與投籃次數的關系。學生需要有這樣的基本認識,即只有收集了足夠多的數據,才能得到比較穩定可靠的命中率。表2是三人投籃的原始數據,從中可以看出,A和B只投了幾次,如果再進行一次投籃活動,A和B的命中率還能分別達到50%和60%嗎?不一定。C正是NBA球員庫里,據統計,庫里在11年的NBA生涯中共參賽527場,投籃4734次,命中2578次,命中率為54.5%。C的投籃命中率相當高,而且是通過大量數據計算所得,穩定性、可信度高。可見,C才是專業籃球運動員。所以“專業籃球運動員應為B”這一說法是假的。
【設計意圖】
一、追根溯源,正確認識數據
面對數據,我們不能不假思索地直接使用,而要保持清醒的思考與判斷,其中首要的是追根溯源,正確認識數據。三道題都聚焦實際問題,試圖用數據說話,面對題目給出的數據,學生需要思考這些數據是如何得到的,正確認識平均數、百分數等統計量的意義。例如,第3題主要考查學生對投籃命中率這個統計量的意義理解。百分數是兩個數量倍數關系的表達,既可以表達確定數據(如利息、折扣等),也可以表達隨機數據(如某籃球運動員投籃命中率)。因為在隨機事件中,每次收集的數據可能不同,需要有足夠多的數據才能從中獲得穩定可靠的統計量,因此,我們需要追尋原始數據(若僅為理解統計概念,也可設置某些數據構建模型),如根據表2可以了解這三個投籃命中率的由來,讓學生從統計的角度想一想數據是否合理,能否從中作出正確的判斷。
二、深度思考,精準分析數據
生活在用數據說話的時代,除了正確認識數據,還需要我們具備以合理、專業的視角對數據進行解讀和分析的能力。平均數在數學中是一個常用的統計量,表示一組數據的集中趨勢。教學時教師通常注意到幫助學生感受平均數具有虛擬性、趨中性、敏感性等特征,但大都忽略了平均數還有近似特征,由此導致了誤差的產生,尤其是進行數據比較時可能出現錯誤的判斷。第1題中雖然一組的男、女生均分都比二組高,但通過計算發現二組的平均分更高一些。如果不考慮平均數的近似特征,分析到此戛然而止,就會產生誤判。因此,第1題的設計旨在引導學生在分析數據時要深度思考,全面考慮數據的相關特性,發現數據背后隱藏的信息,從而做到精準分析,并根據實際情況正確判斷。實際上,由于本題中一組男生和女生的平均數都是近似值,導致了一組總分的不確定,最終二組的平均分可能比一組高,也可能和一組相等,結論會出現反轉。
三、合理選擇,準確表達數據
由于統計圖既能直觀、形象地表示數據,又能以很小的篇幅給人們提供大量的信息,因此,統計圖已成為表現數據的主要形式之一,在報刊、網絡等媒體中經常出現。但如果這些數據的表達不恰當,例如在繪制統計圖的過程中故意夸大效果,歪曲事實,制造假象,則會導致人們的思考與實際情況發生偏差,使一些人上當受騙。第2題旨在考查學生對折線統計圖要素的理解和把握。圖1、圖2實際上是不完整、不規范的折線統計圖,縱軸起始數據和單位長度設置可能不一致,所反映出來的信息就會和實際完全不符,造成假象和錯判。一些商家會利用不規范的統計圖引誘消費者進行消費,例如一商品打折降價,從2800元降到2520元,如果將折線統計圖縱軸起始數據設為2500,單位長度設為25,就會呈現出降價幅度很大、價格已快要到底線的假象,事實上從2800元到2520元只下降了10%而已。這樣的問題可以幫助學生識別統計圖的真偽,體會準確表達數據的重要性,認識到在生動直觀地表示數據的同時,還要依據合理規范的圖表,才能作出正確判斷。
(劉艷,江蘇省南京市建鄴區教師發展中心,郵編:210017)