感悟轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展核心素養(yǎng)

《三角形的面積》是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)會(huì)了計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形和平行四邊形面積的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。小學(xué)數(shù)學(xué)從長(zhǎng)方形的面積開(kāi)始，通過(guò)把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，把三角形和梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，逐步得出基本圖形的面積計(jì)算公式，其中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化這種重要且基本的數(shù)學(xué)思想。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《2022年版課標(biāo)》）指出，數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，其中“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”都強(qiáng)調(diào)了思維的作用，而數(shù)學(xué)思想是指引、驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思維的潛在力量。因此，教學(xué)《三角形的面積》時(shí)，我們不僅要讓學(xué)生掌握三角形面積的相關(guān)知識(shí)，應(yīng)用公式計(jì)算面積，更要讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過(guò)程，體會(huì)和感悟轉(zhuǎn)化這一重要的數(shù)學(xué)思想，由此啟發(fā)思維，發(fā)展核心素養(yǎng)。

孫進(jìn)、金怡婷兩位老師的《三角形的面積》教學(xué)（以下將孫進(jìn)老師的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)稱(chēng)為“設(shè)計(jì)一”，金怡婷老師的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)稱(chēng)為“設(shè)計(jì)二”）都從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以轉(zhuǎn)化思想的感悟、運(yùn)用為學(xué)習(xí)主線，展開(kāi)了一系列的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，并在提升學(xué)生能力、發(fā)展核心素養(yǎng)方面進(jìn)行了深入的思考。

一、整合：在回顧中溝通聯(lián)系

《2022年版課標(biāo)》指出：“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。”三角形的面積計(jì)算公式及其推導(dǎo)過(guò)程，在平面圖形面積知識(shí)體系中并不是零碎、孤立的，它發(fā)揮著“承上啟下”的作用。因此，三角形的面積計(jì)算教學(xué)應(yīng)著眼于整體，以整體的結(jié)構(gòu)化思維進(jìn)行分析和思考，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將基本平面圖形的面積計(jì)算進(jìn)行勾連，體會(huì)其面積計(jì)算方法的一般意義。

兩則設(shè)計(jì)都在課始以回顧的方式溝通了知識(shí)之間的聯(lián)系。“設(shè)計(jì)一”以真實(shí)情境引入，引導(dǎo)學(xué)生回顧平行四邊形的面積計(jì)算公式及公式的推導(dǎo)過(guò)程，接著，以問(wèn)題引領(lǐng)，為學(xué)生的探索過(guò)程打開(kāi)了思路、明確了方向。“設(shè)計(jì)二”則先讓學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過(guò)的平面圖形的面積計(jì)算公式，并思考能否用一個(gè)統(tǒng)一的字母公式表示，揭示了面積計(jì)算的內(nèi)在共性。兩則設(shè)計(jì)都在組織學(xué)生回顧舊知的過(guò)程中，通過(guò)喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)他們?cè)诼?lián)系整合中尋找三角形面積計(jì)算的方法，誘發(fā)轉(zhuǎn)化意識(shí)。

二、轉(zhuǎn)化：在操作中感悟思想

動(dòng)手操作是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，組織好學(xué)生的操作活動(dòng)可以幫助他們聯(lián)系新舊知識(shí)，直觀地體會(huì)數(shù)學(xué)思想的意義和價(jià)值。

轉(zhuǎn)化意識(shí)的形成，轉(zhuǎn)化思想的感悟和運(yùn)用并非易事，部分學(xué)生想要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式有一定的困難。“設(shè)計(jì)一”關(guān)注到這一點(diǎn)，為實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的自主運(yùn)用，設(shè)計(jì)了兩個(gè)操作活動(dòng)：一是將圖形進(jìn)行“分”的操作，把一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)平行四邊形分別分成兩個(gè)完全一樣的三角形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行倍積轉(zhuǎn)化。這個(gè)操作活動(dòng)雖然降低了思維坡度，但對(duì)一些學(xué)生來(lái)說(shuō)卻缺少了挑戰(zhàn)性，如何設(shè)計(jì)、改進(jìn)活動(dòng)，使其面向不同能力的學(xué)生還需進(jìn)一步探討。二是提供了有方格背景的三角形，引導(dǎo)學(xué)生自主探究等積轉(zhuǎn)化，在“變”與“不變”中感受轉(zhuǎn)化的價(jià)值。“設(shè)計(jì)二”則在了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，為學(xué)生提供了多個(gè)完全相同的三角形，放手讓學(xué)生進(jìn)行拼一拼、剪一剪、畫(huà)一畫(huà)等操作活動(dòng)。學(xué)生在自主探索和合作學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)多種求三角形面積的轉(zhuǎn)化方法，運(yùn)用多種圖形轉(zhuǎn)化策略，感受轉(zhuǎn)化方法的多樣性，從中體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)意義。

三、推理：在比較中形成結(jié)論

推理意識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。《2022年版課標(biāo)》對(duì)“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)提出了明確要求：“要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積公式，形成空間觀念和推理意識(shí)。”兩則設(shè)計(jì)都很好地體現(xiàn)了這一要求，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行操作、想象和空間推理，將三角形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形和平行四邊形。

兩則設(shè)計(jì)都抓住了轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考，組織學(xué)生開(kāi)展推理活動(dòng)，在比較中歸納出三角形的面積計(jì)算公式，掌握?qǐng)D形的特征，圖形之間的位置、大小關(guān)系等，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀。“設(shè)計(jì)一”利用三種不同類(lèi)型的三角形進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化，再通過(guò)問(wèn)題“轉(zhuǎn)化后三角形的面積有沒(méi)有發(fā)生變化？三角形的底、高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，平行四邊形的底、高有著怎樣的聯(lián)系？”引發(fā)思考，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式。“設(shè)計(jì)二”則以探究單的形式收集了學(xué)生的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在多種圖形轉(zhuǎn)化中發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，并在比較中推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算公式。另外，兩則設(shè)計(jì)都引入了《九章算術(shù)》中的三角形面積推理方法，讓學(xué)生感受中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的同時(shí)，進(jìn)一步發(fā)展他們的空間觀念和推理意識(shí)。

四、變式：在訓(xùn)練中發(fā)展思維

《2022年版課標(biāo)》對(duì)練習(xí)的設(shè)計(jì)提出了較為具體的建議：“習(xí)題的設(shè)計(jì)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法。設(shè)計(jì)豐富多彩的習(xí)題，滿足鞏固、復(fù)習(xí)、應(yīng)用、拓展的學(xué)習(xí)需要。”因此，練習(xí)的設(shè)計(jì)既要關(guān)聯(lián)所學(xué)知識(shí)及其實(shí)際應(yīng)用，也要體現(xiàn)知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系；既要關(guān)注知識(shí)的延伸和拓展，又要聚焦學(xué)生的思維發(fā)展。

兩則設(shè)計(jì)的練習(xí)環(huán)節(jié)都兼顧了鞏固性、應(yīng)用性和層次性。“設(shè)計(jì)一”的練習(xí)環(huán)節(jié)分“基本練習(xí)”和“變式練習(xí)”兩個(gè)層次，利用多余條件進(jìn)行變式練習(xí)，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)三角形底和高對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。“設(shè)計(jì)二”的練習(xí)環(huán)節(jié)則分為三個(gè)層次：一是計(jì)算和平行四邊形等底等高的三角形面積；二是畫(huà)等底等高的三角形；三是將三角形變?yōu)樘菪巍＿@三個(gè)層次的練習(xí)分別強(qiáng)化了“三角形和等底等高的平行四邊形之間的關(guān)系”“三角形底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系”“圖形面積之間的聯(lián)系”等知識(shí)，豐富了學(xué)生的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的探究學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的思想基礎(chǔ)。

課堂是發(fā)展核心素養(yǎng)的主陣地，教師要把握學(xué)情，把握教材，從學(xué)生出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過(guò)程，學(xué)生才能體會(huì)和感悟數(shù)學(xué)思想，從而發(fā)展核心素養(yǎng)。

（錢(qián)坤南，特級(jí)教師，江蘇省蘇州市吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)江陵實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)，郵編：215217）