幾何直觀見其然 代數入微促深度

【摘要】幾何直觀主要是指利用圖形描述來分析問題的方法，教師可以借助幾何直觀，把復雜的數學問題簡單化、形象化，引導學生探索解決問題的思路，預測探究的結果。在“數與代數”教學中借助幾何直觀，有利于引導學生探尋數的意義，掌握算理算法，深入理解定律內涵，發展數學思維，從而推動學生深度學習。

【關鍵詞】幾何直觀;數與代數;深度學習

【基金項目】本文系福建省中青年教師教育科研項目（基礎教育研究專項）立項課題“小學數學代數歸納經驗教學策略研究”（立項編號：JSZJ20035）的階段性研究成果。

作者簡介：李燕妮（1990—），女，福建省廈門市海滄區第二實驗小學。

幾何直觀是小學數學教學中的核心概念，在進行小學數學教學時借助幾何直觀，能夠將復雜的數學問題變得直觀、形象，這有助于學生理解知識本質，進行深度學習，發展數學思維。

一、借助幾何直觀，探尋數的意義

“數”的概念是數學知識的重要組成部分，借助幾何直觀可以使這一抽象枯燥的概念變得具體、形象[1]。數軸是直觀理解數的概念的一種有效手段，借助數軸學生可以把抽象的數與具體的點建立對應關系，深化對數的概念的理解，從而能深入探尋數的意義。這一教學方式在小學階段的數學課堂上非常有效，因為小學生本身的邏輯思維能力并不強，他們在學習新的知識時往往只能看到事物的表象，倘若教師能夠依據這一情況為學生安排相應的教學活動，以直觀的方式帶領學生探索數的意義，那么不僅學生學習和理解難度降低了，學生的思維也能得到更加有效的成長。

筆者在教授“分數的意義”時，就利用了數軸啟示學生思考數的概念。

【教學實錄節選】

師：分數也可以用直線上的點來表示。（出示圖1）

師：如果這個點表示的是0，另一個點是1，那么2的位置在哪里？

生：把0到1這條線段看成1個單位長度，從點1往后面再量一個單位長度，所在點就是2的位置。

師：你能找到、這兩個數的位置嗎？怎么找到的？

生上臺借助數軸，找到、的位置，并說明理由。（如圖2）

師追問：關于這個點你有什么想法？

生：這個點既可以用來表示，也可以用來表示，但這兩個分數的意義不一樣。

可見，幾何直觀形象、生動，借助幾何直觀認識數既符合小學生的認知特點，又有利于激發學生的探究欲望，在開展這類直觀、具體的教學時，教師既能以相對輕松的狀態引導學生探索數學奧秘，又能夠以更加直接的方法降低小學階段學生的整體學習難度。在幾何直觀的幫助下，學生對數的認識更加清晰、明朗，對知識的學習也更加深入[2]。

二、借助幾何直觀，連接算理算法

在進行分數運算教學時，教師經常會遇到這樣的情況：學生雖然知道如何進行分數的四則運算，但是對于其中的算理卻不是很明白。出現這一現象的原因，就是學生只注重掌握算法，對分數運算的算理理解得不夠透徹。要解決這一問題，教師可以在計算教學中借助幾何直觀，把抽象的算理直觀表示出來，使學生清晰地理解算理與算法的內在聯系和區別。這樣的教學方法不僅可以幫助小學生更好地掌握算理和算法，同時有利于提升小學階段數學課堂的整體教學效率，有利于教師優化教學工作。

如教授“異分母分數加減法”時，筆者根據幾何直觀，開發了“折一折、畫一畫”教學活動，以幫助學生理解分數加減法的算理。為了使學生理解分母之間存在倍數關系的異分母分數計算，筆者利用了折

紙，先折出這張紙的，再折出這張紙的（如圖3），然后將其展示給學生。如此，學生就能夠發現，可以將變成，所以+=。在這樣的教學過程中，學生自然能夠更加有效地掌握分數加減法的算理。

又如，在教授“分數乘法”時，為了讓學生明確分數與分數相乘的意義，筆者再次利用了折紙的方法。筆者先拿出一張長方形紙，然后向學生提問：“同學們，面對×這樣的算式，我們該怎么折紙才能確保從圖中讀出結果呢？”學生在問題的引導下產生思維碰撞，又經過自己動手折疊，發現從不同的方向折紙，可以在兩個分數之間建立起聯系。于是筆者照著學生的思路，將一張長方形的紙（如圖4），豎向折出4份，將其中的3份涂上顏色，這樣就得到了。然后再重新將紙橫向折出4份，取其中的1份，將其與上述涂色位置重合的部分畫上斜線。通過折痕，學生能發現，這張紙被平均分成了16小份，每小份就是總數的。再結合斜線痕跡，學生就能明白的正好包含3小份，所以×的結果是。

小學階段的學生往往容易被各種有趣的事物所吸引，在面對相對枯燥的數學計算學習時，學生的積極性會相對低一些，但是在幾何直觀的輔助下，與算理和算法相關的數學知識變得有趣起來，學生在進行具體學習的時候自然會更加地投入和主動。如此，學生既能夠理清算理、提升運算能力，又能夠發展利用幾何直觀分析、解決問題的能力。

三、借助幾何直觀，深化定律內涵

小學數學的教學內容中，有很多探索規律的部分，掌握好這些規律對于小學生個人的數學綜合素質提升也是非常有好處的。但是在實際的小學教學過程中，學生對于各種規律的掌握和運用并不太好[3]。要幫助學生科學掌握和運用各種數學規律，教師同樣可以選擇結合幾何直觀進行教學。

乘法分配律是小學生特別容易產生理解錯誤的一種運算律，教學時教師可以借助幾何直觀，從學生已有的知識經驗出發，將文字轉化為圖形，讓學生通過觀察圖形理解問題，并讓學生在圖上畫一畫、圈一圈，初步感知乘法分配律。教授乘法分配律時，筆者以采購六一兒童節禮品為教學情境導入新課，隨后提出問題讓學生幫忙解決。

【教學實錄節選】

師：老師想在教室掛3排燈籠，每排由4個黃色燈籠、5個紅色燈籠組成，同學們覺得老師一共要買幾個燈籠呢？大家能擺一擺、畫一畫、圈一圈，再說說自己的想法嗎？

教師引導學生動手用學具擺一擺后，學生紛紛展示了自己的成果，并給出了兩種計算燈籠數量的方法（如圖5）。方法一是分別求出黃色燈籠和紅色燈籠的個數再相加;方法二是先求單排有多少個燈籠，再求3排一共有多少個。

借助直觀的擺一擺、畫一畫、圈一圈，學生很容易發現3×4+3×5和（4+5）×3這兩個算式的結果是相等的，殊途同歸，都能準確求出燈籠的總數。這樣，學生自然也就直觀地理解了乘法分配律。

“數與代數”中的運算定律具有抽象度高、邏輯性強的特點，借助幾何直觀可以把抽象的知識直觀化，有助于學生理解并探究數學知識，能夠促進學生的深度學習。當小學生在幾何直觀的幫助下充分理解相關的數學規律之后，他們對于這些數學規律的運用會慢慢熟練起來，在嘗試解決數學問題的時候，學生的思維也會更加靈活多變，這有助于他們自身數學綜合能力的不斷提高。

四、借助幾何直觀，簡化晦澀問題

有些數學問題相對晦澀難懂，教師可以利用幾何直觀展示這些問題中的復雜數量關系，幫助學生理清解題的思路。在教學時，教師可以鼓勵學生借助畫圖，把數量關系轉化為圖示，幫助學生理解難題，提高學生解決問題的能力，促使學生進行深度學習，并不斷提升小學階段數學課堂的綜合水平，讓小學生能夠在更加優質的數學課堂上實現個人成長。

如教授“解決問題（喝牛奶）”時，筆者結合分數的意義，利用幾何直觀，轉化例題情景，幫助學生找到解決問題的方法。

【教學實錄節選】

師：同學們，你們喜歡喝牛奶嗎？這里有一道關于喝牛奶的題目。

引導學生閱讀題目。

師：看起來這道題有些復雜啊，大家要不要試試用圖示表現“第一次喝了二分之一杯純牛奶，第二次喝了二分之一杯兌水牛奶”的過程呢？

生一展示了自己繪制的圖示（如圖6），并說明了自己的想法：原本有一杯牛奶，先喝了半杯后又加滿了水，可以得到此時牛奶是二分之一杯，水也是二分之一杯。第二次喝半杯時，喝掉的部分牛奶占一半，水占一半，也就是各占四分之一杯。由此可得，兩次一共喝了四分之三杯牛奶，四分之一杯水。

生二也展示了自己繪制的圖示（如圖7），然后說明自己圖示的不同之處：我覺得可以把水和牛奶分開看，把它們分開表示可以更加直觀地看出喝了四分之三杯牛奶，四分之一杯水。

師：生一、生二的圖示都很棒，請大家給他們鼓掌！老師這里其實還有一種圖示（教師出示圖8），同樣是將水和牛奶分開畫，雖然和生二的畫法不同，但是所表示的意思相同，相信大家也能直觀看出喝了多少奶和水。

由上述教學案例可以看出，借助幾何直觀來嘗試解答數學問題，對小學階段的學生來說是一種非常好的鍛煉，在練習將圖形和問題結合起來的時候，學生對于幾何直觀的理解會更加透徹，對于具體數學問題的思考也會更加全面，這些嘗試和思考將幫助小學生提升自身解決數學問題的綜合能力。

結語

總而言之，在小學數學教學中應用幾何直觀的作用十分顯著，借助幾何直觀來解決小學數學教學中的問題的嘗試如今也變得越來越常見。顯然，將利用幾何直觀學習數學知識的思路傳遞給學生是十分重要的。在小學數學教育中，教師不僅要引導學生掌握各種基礎的數學知識，還應當引導學生去理解數學的內在思想，讓學生明白，看待問題，不能只看表面，要剝離表面，觸及內核。

【參考文獻】

[1]宋健泳.小學生幾何直觀能力發展的幾個階段[J].小學數學教師，2015（03）：66-69，75.

[2]蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法，2013，33（05）：109-115.

[3]孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式：對《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一點認識[J].課程·教材·教法，2012，32（07）：92-97.