對中考復習中數(shù)學思想方法教學的探究

摘要：數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上.如何激發(fā)學生的學習積極性，增強學生通過自主探索和合作交流等多種途徑理解和掌握數(shù)學知識、數(shù)學方法是任課教師的首要任務之一.本文通過研究國內外專家理論與實踐，使用分類討論、函數(shù)與方程等方法，以初三中考復習為背景，試圖通過具體課例講解幾何學習中的難點——圖形問題，激發(fā)學生學習主動性、自主探索性和交流合作性.

關鍵詞：中考復習；自主探索；分類討論

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）29-0014-03

收稿日期：2022-06-15

作者簡介：胡琳玲（1982.1-），女，江蘇省南京人，研究生，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

《數(shù)學課程標準》中提出：“數(shù)學為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發(fā)展的基礎；數(shù)學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用；數(shù)學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分.”“數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上.教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗.”而思想、方法大量存在于圖形問題中，例如幾何問題中就經(jīng)常需要使用分類討論思想、函數(shù)與方程等思想來解決問題.值得一提的是，當前的初中數(shù)學復習課教學中存在著兩大誤區(qū)：一是復習的內容是“老調重彈”，把復習課看成了補課；二是復習的方法是“題海戰(zhàn)術”，把復習課上成了習題課.復習，是指為了恢復或強化頭腦里已形成的暫時神經(jīng)聯(lián)系，對已學過的知識進行重新學習.這種重新學習并不是對已學知識的簡單重復、單純的補缺補差，而是通過復習，把教材中的各部分知識進行歸納整理，以達到鞏固提高、融會貫通的目的，從而進行更高層次的再學習.數(shù)學復習課應該是從厚到薄，再從薄到厚.因此我們要精心設計教學內容和環(huán)節(jié)，激發(fā)學生的復習興趣，把復習教學過程組織成學生的再認識過程，從更高的層次、更新的角度進一步掌握、理解已學過的知識和技能，進而提高學生的數(shù)學能力，發(fā)展學生的數(shù)學思維.在初三中考復習階段，教師如何利用學生已有的認知水平和認知經(jīng)驗，如何創(chuàng)設恰切的活動時空和交流平臺，促使學生通過自主探索、相互合作去體會數(shù)學思想的作用呢？我們對專題復習做了有益的嘗試，選擇分類討論的思想，探求它在幾何問題中的運用.

1 研究的理論根據(jù)

1.1 心理學家韋納（B.Weiner）的歸因理論

在學習過程中，如果學生對學業(yè)成敗歸因的控制點在外部，他就會相信任務的難度、自己的運氣以及他人的因素是決定自己學業(yè)現(xiàn)狀的因素；若控制點在內部，他就會相信學習能力或自己的努力是學業(yè)現(xiàn)狀的決定因素.研究發(fā)現(xiàn)，在智力水平相當?shù)膶W生中，控制點的位置往往是影響學習成績的一個重要因素.一般來說，控制點在內部的學生的成績比控制點在外部的學生的成績好.本次復習課就是要逐步建立學生內化分類討論的數(shù)學思想，明確學習效果的內在指向性.

1.2 心理學家羅森塔爾（RobertRosenthal）的期望效應

羅森塔爾認為教師對學生的關注與期望很大程度上影響著學生的學業(yè)情況，使其朝好的方向發(fā)展.羅森塔爾效應的關鍵是教師對學生的信任、贊揚和愛.期望效應通過教師行為改變學生自我預期，對學生的學習效果的影響，從而證明了個人自我預期對個體發(fā)展的巨大影響.自我預期效應的根本原理是改變個體自我形象認知，利用積極的形象規(guī)范引導個體的行為.使個體努力去做符合心中積極自我形象的事，克服以前自我形象的局限，從而化虛假的自我想象為真實的自我.本次復習課也試圖通過具體案例增強學生對類似題型的正確解決的信息，樹立正面預期.

在我國數(shù)學教育界，王仲春教授等認為：“數(shù)學思想是指人類關于數(shù)學對象和理性認知的過程，包括應用數(shù)學工具解決各種實際問題的思考過程.”朱成杰指出：“數(shù)學思想是人們對數(shù)學內容本質的認識，是對數(shù)學知識和數(shù)學方法的進一步抽象和概括.而數(shù)學方法則是解決數(shù)學問題的手段.若將數(shù)學思想與數(shù)學方法嚴格區(qū)分開來是困難的，因此人們統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法.”分類是揭示概念外延的一種邏輯方法.

在數(shù)學教學中，貫穿著數(shù)學知識和數(shù)學思想方法，基礎知識是課堂上的一條明線，而數(shù)學思想方法則是的一條暗線.學生走出校園后，通常幾年后就遺忘了數(shù)學知識，而數(shù)學思想方法卻銘刻在腦海中.實際上，無論在哪一階段的教學，培養(yǎng)數(shù)學思維能力一直都是教學的目標，而數(shù)學思想方法的學習，是培養(yǎng)和提高數(shù)學思維能力的過程.在中學數(shù)學中，分類討論就是一種重要的思想方法.朱成杰指出：“數(shù)學的分類是，按照數(shù)學對象的相同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法.”不會正確分類就不可能學好數(shù)學，分類思想在中小學數(shù)學中非常有用.通過對有關分類討論思想方法的文獻研究和分析，結合我們自身的教學經(jīng)驗，我們發(fā)現(xiàn)分類具有的三個要素：被討論的對象；討論后所得出的類概念；分類的標準.朱成杰指出，一個科學分類的標準必須能夠把需要分類的數(shù)學對象，進行不重復，無遺漏的分劃，分類討論方法的重要性不言而喻.

2 關注教學目標，制定重點難點

本節(jié)課作為初三階段的幾何復習課，旨在將學生所學的有關知識進行歸納、整理，進行縱、橫向的歸類，進而作知識的系統(tǒng)的整體綜合，形成結構化的知識，最終培養(yǎng)和提高學生運用知識、解決問題的能力.因此，授課教師制定教學目標如下：

能理解幾何問題分類討論的原因，遇到幾何問題時有分類討論的意識.經(jīng)歷用分類討論思想解決幾何問題的經(jīng)驗積累過程，掌握分類討論的方法，感受分類討論的必要性；通過對幾何問題的解決，體會分類討論的原則——不重復不遺漏；在這個課堂教學目標的指引下，授課教師將教學重難點放在“培養(yǎng)分類討論的意識，掌握分類討論的方法，體會分類討論的原則”上.在教學過程中，始終圍繞這個教學目標和重難點進行，取得了不錯的效果.

3 問題引導學習，激發(fā)主體思維

問題是數(shù)學的心臟，在數(shù)學教學中，以實際問題為載體，通過設計有思維含量的問題，可以激發(fā)學生學習的興趣，充分調動學生學習的積極性和主動性，產(chǎn)生學習的內驅力，使其智力活動達到最佳激活狀態(tài)，使其主動參與教學.

本節(jié)課的導入部分設計了兩個問題，都是關于圓與圓相切的問題.

問題1：若兩圓相切，圓心距是7cm，其中一圓的半徑為3cm，則另一圓的半徑為cm.

問題2：如圖1，在網(wǎng)格圖中（每個小正方形的邊長均為1個單位長度），⊙A的半徑為1，⊙B的半徑為2，要使⊙A與靜止的⊙B相切，那么⊙A由圖示位置需向右平移個單位長度.

兩個問題都需要分類討論，其中問題1是由于“相切”這個概念需要分類，問題2不僅需要根據(jù)概念分類，還由于圓與圓的位置關系不能確定而需要進行二次分類.這兩個問題學生不僅能夠自主解決，而且還可以體會分類討論的原因：概念需要分類和位置關系的不確定需要分類.學生很多時候只是單純解題，而不會去問自己為什么要分類.教師可以通過提問“你為什么想要分類？分類的依據(jù)是什么？”來激發(fā)學生主動思考分類討論的原因.

學生在幾何解題時經(jīng)常遇到的是與三角形有關的問題，所以在這節(jié)復習課，教師可以給出一些關于等腰三角形、直角三角形、一般三角形的問題，讓學生進一步體會分類討論的原因，并積累分類討論的經(jīng)驗，掌握分類討論的方法.

問題3：已知等腰三角形的一個內角為30°，求這個等腰三角形的頂角度數(shù).

問題4：已知一個直角三角形的兩條邊長分別為3和4，求第三邊的長.

問題5：在△ABC中，∠A=30°，AC=8，BC=5，求△ABC的面積.

問題3和問題4學生在以前的學習中都遇到過，但是在以前的學習過程中，學生很多僅僅停留在能做出正確的答案這個層次上，對分類討論的深層原因——三角形的形狀不能確定卻知之甚少.問題5對學生來說分類討論較為困難，其根本原因仍然是不能在畫圖時判斷出這個三角形形狀不能確定.學生在自己畫圖時會因為不用圓規(guī)而忽視“以C為圓心，5個單位長度為半徑的圓與射線AC有兩個交點”這個結果，從而導致畫出的三角形只有一個形狀.問題3和問題4可以交給學生自主解決，并且引導他們自主思考分類的原因.問題5在教學時教師通過引導學生用圓規(guī)畫圖而使學生自主發(fā)現(xiàn)錯誤而改變原有的思維結果.

從學生熟悉的問題出發(fā)，使問題層層推進，由淺顯引向深入，讓學生不知不覺中經(jīng)歷知識的發(fā)生和發(fā)展的過程，體會分類討論的思想.通過這五個問題，學生積極主動的歸納出幾何問題分類討論的原因，對分類討論的方法積累了相當多的經(jīng)驗，這時候教師可以給出幾個小問題幫助他們鞏固已有知識，提高解決問題的能力.

問題6：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為45°，則底角∠B=_____度.

問題7：等腰三角形的兩邊長分別是4和7，則其周長為_____.

問題7的變題：等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則其周長為_____.

問題8：若等腰三角形的一個外角為130°，則它的底角為_____度.

問題8的變題：若等腰三角形的一個外角為70°，則它的底角為_____度.

問題6教師可以引導學生關注“AC所在的直線”這個條件，從而使學生自主畫出兩個形狀不相同的圖形，學生也能更加深刻的體會到“圖形的形狀不確定要分類討論”.問題7和問題8及他們的變式題，使學生意識到不僅要分類討論，還需要討論每一類別的合理性，不符合要求的要舍去.

總之，這是一節(jié)復習課，教師的教學過程不僅僅是圍繞如何解題展開的，更重要的是啟發(fā)學生的思維，培養(yǎng)學生的思維方式，體會并能夠運用數(shù)學思想方法，提高他們分析問題解決問題的能力.雖然數(shù)學給人的形象是冰冷的，但掩藏在冰冷的外表下的是火熱的思考，課堂中要充分展現(xiàn)數(shù)學的思維過程，讓數(shù)學的無窮魅力得到最大的釋放.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）［M］：北京：北京師范大學出版社，2001.

［2］ 王仲春.數(shù)學思維與方法論[M].北京：高等教育出版社，1989.

［3］ 朱成杰.數(shù)學思想方法學教學研究導論[M].上海：文匯出版社，1998.