基于高中生對三角函數概念的理解

孫美玲

三角函數相關知識是高中數學中非常重要的概念，是數學知識體系當中非常重要的基礎。高中生對于函數這類抽象知識的學習總會有各種各樣的困難，為了可以更好地理解三角函數相關知識，需要從基礎概念上著手，提高自身對三角函數各個基礎特性的理解。本文主要分析從高中生角度怎樣去理解三角函數的概念。

三角函數是高中數學知識體系中最重要的基礎知識之一。通過學習三角函數相關知識，我們可以更好地理解三角函數的本質和解題思路，有效地聯系其他知識點，在高中數學學習中發揮著非常重要的作用，需要對平面直角坐標系進行大量應用，以解決函數圖像和相關知識點的理解問題，這是數形結合思想的有效體現。通過運用坐標系和數形結合的思想，可以有效地解決問題的思維，使相關知識更靈活地用于有效的數學學習，為其他數學知識點的研究打下良好的基礎。

一、目前我國高中數學教學工作的現狀

根據對我國高中數學教學現狀的分析，雖然隨著新課程標準的提出和實施，總體上取得了非常顯著的成績，但從細節上可以看出，仍然存在許多問題和不足，這嚴重阻礙了我國數學教育的發展。首先，許多高中教師仍然深受傳統教學理念和模式的影響，教學方法和內容仍然相對落后和僵化，導致課堂教學的效率和質量普遍低下。具體表現為：部分高中數學教師在開展日常的教學工作時，往往以考試大綱和課本教材為主，重點講解考試需求的相關知識內容。且在開展教學工作的過程中，忽視或輕視培養學生應用數學知識解決實際問題的能力，嚴重地影響著學生學習數學的熱情與興趣，學生的綜合應用能力也得不到鍛煉與提升。其次，許多教師的教學手段依舊比較落后。從諸多高中數學教師的教學現狀中可以看出，部分教師依舊采用課上單一講解、課后反復練習的教學方式。實踐證明，這樣傳統且死板的教學手段所取得的教學效果并不理想。最后，評價的方式具有較強的片面性。對于大多數的高中數學教師來說，尤其是一些教齡較長的教師，其在評價學生時仍舊堅持傳統的教學方式，以考試成績的高低作為評價學生的主要方式。顯而易見的是，這樣的評價方式難以滿足新時期教育事業以及學生發展的實際需求，更會影響到高中數學課堂教學工作的效率與質量。

二、高中三角函數教學的常見問題

1. 學生對教材概念不甚了解

在高中學習三角函數的過程中，學生需要有較強的推理能力。然而，相當一部分學生仍然缺乏基本概念，這使得他們的推理能力相對較差。另外，由于對三角函數的幾何意義和方程缺乏透徹的理解，對正弦和遞推曲線的繪制方法缺乏掌握，部分學生觀察能力較弱，對代數和數學之間的關系缺乏理解和掌握導致了對三角函數的膚淺研究。

2. 學生對三角函數變形公式欠缺理解

在高中數學三角函數學習中，公式間聯系較為密切，變形較為復雜。故學生須將三角函數基本公式、一般性規律及變性技巧予以掌握，并不斷加強記憶與掌握力度方可更好地學習三角函數。然而，很多學生對這方面掌握力度較為欠缺，數形結合尚不能合理運用，這也是當前學生學習三角函數、老師教授三角函數的一大重難點。

三、函數思想

三角函數的定位已經產生較大的變化，三角函數作為能反映邊角關系的固定比值，一直以來都是用來研究邊角關系的重要工具。以前，我們對三角函數的認知偏于靜態，但是隨著課程的改革與發展，產生了較大的變化，三角函數的內容在函數中已經成為研究的主線，并將“三角函數”看成是重要的初等函數，作為周期現象模型研究的重點，也成為高中數學課程研究的主要內容。

四、抓住三角函數線本質屬性，有技巧地層層引導

1. 引入單位圓，構建三角函數線的舞臺

對教師而言，由比值yr到y，xr到x，再到正弦線、余弦線的兩步跨越，看似簡單，學生卻比較難以理解，在此處盡可能清晰地再現知識的建構過程，使學生明確原則，把握概念的形成。從數學思想層面上可以突出三角函數“簡約”為“一個變量”的思想方法，進而順利實現用“三角函數線”這一直觀的圖形工具來“統一”表達三角函數這一主線。在教學過程中反復強調“最簡化”“統一”的要求，而這樣的理念或思想，不僅能體現本節數學方法的特點，同時也在數學教學的過程中占據重要的地位，具有普適性。

2. 由正弦線與余弦線引導向正切線

學生容易理解和掌握正弦線與余弦線，因為他們有直觀的感覺，但很難理解和掌握切線。突破這一難點的關鍵是幫助學生充分理解“有向線段的數量”及相關概念。那么在講一些諸如“有向線段”“有向線段的數量”等等比較數學化、很難表述的概念時，可以將學生的注意力主要集中到關注“圖形”，自然而然地突出了探究與確定“正、余弦函數線”的形成過程與基本方法，弗賴登塔爾指出，學生不是被動地接受知識，而是再創造，在這個階段，如果可以給學生提供更為開闊的空間，那么到研究“正切函數線”時，學生就可以自覺或不自覺地用探究“正、余弦函數線”的方法解決新的問題。

五、對三角函數概念的理解

1. 由動到靜

三角函數的概念教學中，通常使用“由動到靜”的教學過程。首先，在現有的坐標系中，以單位圓為依托，描述在角變化的過程中，如何利用坐標的思想，給定正弦函數、余弦函數、正切函數的定義，突出“動”，突出函數的內容，并在此基礎上使用比值的方式對三角函數的定義進行簡要了解。

2. 利用畫圖實現理解記憶

三角函數相關知識點當中所包含的公式非常多，概念也相對來說非常的抽象，在學習過程中需要對公式進行總結，提高簡化公式的能力，可以更加簡單地記憶，并做到靈活運用。利用平面直角坐標系，找出各個函數變量之間的關系，對各個象限的數值關系進行更好地理解。

直角坐標系的函數規律進行展示的第一載體，是三角函數與函數圖像相互聯系的有效載體。一方面，在坐標系當中，利用單位圓，一個角x的終邊與單位圓相交，其交點的橫坐標為cosx，縱坐標為sinx，橫坐標與縱坐標之間的比值為正切函數。這些量隨著角度的變化而不斷變化。這樣，我們可以對三角函數有更深入的理解，了解函數關系在動態量變中的變化規律。在坐標系中應用單位圓可以有效地表示三角函數的性質。例如，三角函數的定義范圍、周期性等。另一方面，借助坐標思想，我們可以通過函數圖像的相關知識點更好地研究函數圖像，更好地理解三角函數的相關性質。因此，運用坐標思想解決問題是數形結合的直接體現。

3. 內容復雜掌握公式

三角函數的內容非常復雜，學生在學習的初期會感到很難。雖然教師在教學過程中可以反復分析三角函數的內涵，解釋常用的公式，并在指導書中總結相關公式的使用，但學生在學習時仍然感到茫然。

為了可以更加清晰地認知三角函數，先要對其概念有理解，最好回歸到象限中去理解。其實四個小的象限，充斥著無限的奧妙。兩角終邊相同的情況主要是指兩個角存在一定的關系，在整數值取值的過程中，兩個角有相同性，所以可以使用一個角代表，取值也是相同的。四個象限的變化情況，可以用口訣的方式進行記憶，即“奇變偶不變，符號看象限”。由此可見，三角函數的象限十分重要，在學習的時候需要重點關注，在理解概念的過程中能結合象限進行觀察。

三角函數十分復雜和抽象，也是高中數學的重要內容，為能取得較好的數學成績，可以在學習初期讓學生掌握三角函數。

六、加強學生對三角函數的實際應用

三角函數教學在高中數學學習中起著非常重要的作用，通過課堂提問，培養學生數形結合的能力，使學生將三角函數相關知識應用到實際生活中，使學生在解決三角函數問題時聯系理論知識，注意知識之間的關系。三角函數的學習強調提高學生的實用性，要求學生靈活運用函數公式解決生活中遇到的問題，使學生從已建立的問題情境出發，通過運用數學思想和知識探索，使高中生的理論知識和知識體系更加完善。例如：在學習正弦與余弦定理的時候，教師要引導學生了解三角函數的定義，讓學生正確區分三角函數的定義與指數函數、對數函數以及冪函數之間的區別，在課堂講解的時候，教師可以借用多媒體技術演示三角函數的構成以及規律變化和運動的軌跡。在課堂上提出問題，讓學生探究點在圓周上運動的軌跡進行探究三角函數的運動變化，讓學生正確認識到三角函數與圓周運動之間的關系，讓學生在圓周運動的問題情境下加深對三角函數知識的印象。

七、鼓勵學生參加競賽，提高數學應用能力

近年來，高中數學競賽日益增多。越來越多的學生愿意鞏固他們的數學基礎，提高他們的實際應用能力，激活他們的數學思維。高中數學競賽不同于平時的考試。它不僅是學生能力的提高，也是對學生學習的肯定。由于數學競賽的主要參與者是學生，特別是高中生，其目的是挖掘和培養更多的綜合性數學人才;促進課外活動;提高學生對數學的興趣;推進中學數學教學改革;為國際數學奧林匹克做準備。因此，競賽命題往往突破教材的局限性，教師應在實踐教學中盡量開闊視野，最大限度地利用新穎的問題類型，幫助學生提高抽象思維、想象思維和分析邏輯思維。鼓勵學生以積極的精神、樂觀的態度、大膽的態度積極參加數學競賽，提高數學綜合應用能力。

總之，在高中數學中，三角函數不僅是教師教學的重點，也是學生學習的難點。由于三角函數在實際教學中存在一些問題，直接影響到高中數學的教學質量和教學水平。因此，高中數學教師必須充分重視三角函數的教學，積極培養學生的數學思維能力和解決問題的能力，增強學生的抽象思維能力，從而不斷加強學生對三角函數知識的理解和掌握，有效提高學生三角函數知識的應用水平，進一步提高高中數學教學質量，推動新課程標準的改革進程。