引學生追溯知識之源　助學生化解學習之困

周新改

在小學數學教學中有許多公認的學習難點，可以稱作是“經典”難點。從大量的公開課或常規課來看，執教者要么淡化處理，要么“告知”學生。這樣做不僅窄化了教學空間、堵塞了學生思考的通道，而且會挫傷學生學習數學的積極性，不利于學生思維的發展，讓學生潛意識地認為數學是無根無源的、數學學習是不講道理的、數學學習是死記硬背的。本文就結合筆者個人的教學實踐淺談自己引導學生追溯知識的本源，幫助學生化解學習難點的一些做法及體會。

一、對接生活，追根溯源

我們知道，二年級學生在《初步認識角》一課的學習中很難理解“角的大小與邊的長短無關”的道理。不少老師借助這樣的演示幫助學生理解：把老師的三角尺教具和學生的三角尺學具中的大小相同的角重合，力圖讓學生看到“老師三角尺中的一個角和學生三角尺中的一個角完全重合，而老師三角尺中的這個角兩邊比學生三角尺中的那個角兩邊要長，不就說明角的大小與邊的長短無關嗎？從課堂反饋來看，學生仍是滿臉茫然。殊不知，這樣的演示讓學生看到的是“面”的比較，更沒有看到“完全重合”，反而造成了學生對“角”與“面”的認知混淆。

也有很多老師只引導學生利用“活動角”直觀感受角的大小是與邊的張合有關，卻不引導學生體會角的大小與邊的長短無關。

學生面對畫在紙面上的“靜態角”，難以擺脫其邊的長短以及表面上的大小所帶來的非本質屬性的干擾，排除這個負面干擾，仍要回到“角”是怎樣抽象出來的源頭去。

請看我教學這部分的片段。

師（指三角板中的一個角）：誰能把這個角畫在黑板上？

學生到黑板上利用三角板畫出老師指的角。

師：我也把這個角畫出來。

師仿照學生的畫法也畫出了這個角（但和學生所畫的角的邊長度不同）。

問學生：這兩個角，哪個大，哪個小？

因為老師和學生畫的是三角板的同一個角，有了“畫同一個角”做載體，課堂上這樣的聲音多了：畫的是同一個角，所以這兩個角同樣大。不僅有結論，而且有道理。

我不急于說出學生心目中想要的答案。

轉身在黑板上先寫了一個小一些的“3”，在它的旁邊又寫了一個大大的“3”。

問學生：這兩個寫得大小不同的“3”，哪個“3”大一些？

生齊答：一樣大。

追問：咦？明明一個“3”寫得那么大，另一個“3”寫得這么小，怎么能相等呢？

生：雖然寫得大小不同，但都表示3個一，所以相等。

順著學生的回答，我在兩個“3”之間寫上“=”。

至此，學生感受到“大”和“小”又有了不尋常的意義。

師：數的大小是指這個數所包含的個數的大小，與寫得大小無關，那角的大小又是指角哪里的大小？與角的哪兒無關？

學生紛紛發表自己的見解，還迫不及待地邊打手勢邊說：角的大小是指角的兩邊張開的大小，與邊的長短無關。

看來，學生對于“大”和“小”的認識正在變得全面而深刻。

杜威說：“教育就是經驗的改造和重組。”兒童的生活經驗和認知缺陷經常會干擾對數學知識本質屬性的理解。立足兒童的心理特點，基于數學的學科特征，設計相應的活動，不僅對知識進行抽象，還要對知識進行還原，讓學生回到知識產生的源頭，經歷知識產生的過程，由直觀感知逐步走向數學抽象，不斷修正錯誤的認知，感悟數學概念的本質。

二、聯系對比，追根溯源

蘇教版五年級下冊第30頁《因數與倍數》這一單元開始有一處注釋：

*研究因數與倍數時，所說的數一般指不是0的自然數。

教師們都知道這是一個數學“規定”，卻不研究規定背后的道理，教學中只是補充告訴學生，而且“以書為證”。那么學生對于這樣“規定”的科學性與合理性就無從認識和理解，讓學生潛意識里以為數學是不講理的，這不是數學應有的面貌。

下面，我提供一個版本，大家可以討論，是否可以幫助學生理解這個規定？

學生在學習了“因數和倍數”的概念后。

師：同學們，你們自己能獨立寫出一道算式并說出算式中的數具有怎樣的因數與倍數關系嗎？

生交流，說的也都是各部分是整數的乘法或除法算式。學生對于概念意義的表面模仿還是很強的。

師：看來，因數和倍數這兩個概念是建立在我們學習過的什么運算的基礎上？

生：乘法或除法。

師：你能用一句話概括乘法算式中三個數之間具有怎樣的因數和倍數關系嗎？

生：在乘法算式中，兩個乘數都是積的因數，積是這兩個乘數的倍數。

師：除法算式中呢？

生：在除法算式中，除數和商都是被除數的因數，被除數是商和除數的倍數。

師：我寫兩個算式，請你們來說說這兩個算式中的各個數具有怎樣的因數和倍數關系。

板書：2×5=10，10×0.2=2

對于第一個算式，學生都特別容易回答了;對于第二個算式，有受思維定勢干擾的學生立刻按照形式說：10和0.2是2的因數，2是10和0.2的倍數。（說完，自己也吐了吐舌頭）

馬上有學生反對：怎么一會兒10是2的倍數，一會兒2是10的倍數？

師故作驚訝：是呀！怎么會有這樣的數學呢？不是矛盾嗎？

學生們議論開來，有的說不可能，有的自言自語：怎么回事呢？也有看過書中注釋的同學恍然大悟：怪不得呢！

我請同學們發表自己的想法、看法。

生1：這樣不是亂套了嗎？

生2（舉著課本興奮地）：書中已經規定了“研究因數和倍數時，所說的數一般是指不是0的自然數。”

生3：就好像“0不能作為除數”一樣，是為了不產生矛盾。

生4：我來補充，只能說2是10的0.2倍，但不能說2是10的倍數，因為它還沒到10的1倍。

師：是呀！為了不產生矛盾，便于研究，所以才有了“研究因數和倍數時，所說的數一般指不是0的自然數”的規定。

學生找到了這個“規定”的“源頭”，對概念的理解就會更加深刻。

其實，任何數學規定產生的背后都有一定的原因和道理、一定的合理性與必要性，作為教師，應努力引導學生去探索、理解、體會“規定”產生的過程，讓學生感受到數學知識內在的嚴謹性，感受到相關“規定”背后的數學道理，從而形成更加合理的認知結構，獲得更多有價值的感悟。

三、經驗倒轉，追根溯源

有經驗的教師都知道，教學《分數的意義》最難突破的是學生對單位“1”意義的構建。許多教師是在學生認識分數的基礎上，總結性地、講述式地告訴學生：像圖中的一個物體、一個圖形、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數1來表示，通常叫作單位“1”。繼而再讓學生舉例說說單位“1”還可以是什么。學生抽象單位“1”的思維過程被教師的一句話代替了，學生處于被動接受知識的位置，單位“1”好像是從天而降的“怪物”！試想：這樣缺乏學生主動思考的學習，還怎么會有經歷？怎么會有體驗？怎么形成經驗？

接下來就說說我是怎樣引導學生抽象出單位“1”的。

如下圖，要求學生自主完成例1中的填空，集體交流說出每個分數的意義。

我利用學生已有的分數認知經驗，引導學生再回來逐一深入研究每一幅圖。

師：把一塊餅平均分成4份，其中一份用表示，其中的2份、3份、4份各怎樣表示？為什么？

生1：1份是，2份是，3份是，4份是，有幾份就是幾個。

生2：我覺得4份是，也就是1。

師：大家覺得呢？

學生進行充分地交流討論得出：4份合起來不就是原來的一塊餅嗎？就可以用“1”來表示。

第一幅圖突破了，第二、三幅圖同理。并明確：1塊餅、1個長方形、1個長度單位都可以用“1”來表示。

最后一幅圖稍遇障礙。

師：這6個圓片該用哪個數來表示呢？

生1：用6來表示。

生2：（疑惑地）我感覺還應該用1來表示吧？

真好！出現了不同的觀點。

師：還是大家一起討論，但要說出用這個數來表示的道理。

不一會兒，意見就統一了，原來認為用6來表示的同學說：我忘記了這里的2個圓片是用來表示的了，3個合起來是? ?，也就是1。

師：看來1的意義真廣呀！不僅可以表示1個物體、1個長方形、1個長度單位，還可以表示——

生（齊答）：6個物體組成的一個整體。

師：聯想一年級時學習的1，這幾幅圖里的“1”又有什么不同？

生：一年級學習的1就代表一個物體，而這里的1還可以表示很多物體。

師：用1來表示很多物體時，是把很多個物體組成一個——

生（齊答）：一個整體。

師：你還能舉例說說用1來表示許多物體組成的一個整體的事情嗎？

學生紛紛舉例，有一堆蘋果、一堆沙、一條路、一個班的學生、一個學校的學生、一個城市的人口——都可以看作1。

單位“1”的意義呼之欲出。

師：此時的“1”非彼時的“1”，意義更廣泛，數學上叫單位“1”。

單位“1”的意義已經在學生的思維里生長出來，分數意義的形成還有困難嗎？喚醒學生已有的認知分數經驗，引導學生的思維倒轉到知識發生的“源頭”，深深體會到平均分是單位“1”，平均分后得到的分數都是單位“1”的一部分。“1”不斷累加得到整數，“1”平均分后得到分數，“1”是整數的根基，也是分數產生的根基。有了這樣的理解和認識，就能很好地為學生后續的學習賦能。

學生學習任何知識都應該是自然的、自覺的，面對學生學習中的難點，要聯系所學知識的“前世今生”，結合學生的認知規律，思考我們的教學路徑，把數學學習從哪里來、到哪里去，梳理清晰明白。從學生的已知出發，引導學生到未知的領域探索。