中學數學推理思維的逆向性的研討與運用

劉紅

推理思維具有逆向性，探討推理思維的逆向性在數學教學中的運用，對提高數學教學效率具有很大的幫助。筆者根據教學實踐，談談自己的體會。

一、推理思維及其過程的逆向性

推理分為歸納推理和演繹推理。

歸納推理是從特殊事例到一般原理的思維過程。如，由兩手掌摩擦生熱、兩塊鐵摩擦生熱、兩塊石頭摩擦生熱等事例，可以得出“摩擦生熱”的規律性的結論。這就是歸納推理。

演繹推理是歸納推理的逆向思維，即從一般到特殊的思維過程。如，凡是漢字都能通過電腦輸入，“鼎”是漢字，所以，“鼎”能通過電腦輸入。這就是演繹推理。

歸納和演繹是相反相成的思維過程，是互為逆向的思維過程。在客觀世界上，特殊性中有普遍性，普遍性中又有特殊性，二者互相結合，才能使人認識事物間的復雜關系，不斷地擴大和加深知識經驗，從而達到認識和改造客觀世界的目的。而推理過程的逐浙壓縮和簡化，將大大促進和提高思維過程進行的速度和效率，并是思維能力發展的標志。

筆者這里所要探討的是推理思維的心理過程的逆向性，指的是學生思維方向的改變，即從正向思維轉向逆向思維。在本文中，筆者用這個概念把兩個不同的但又相互聯系的過程結合了在一起。也就是說，把單向思維變為了雙向思維。如果用符號表示，即：把A→B變為了A←→B。需要注意的是，筆者這里所說的心理過程的逆向性，是指在數學推理過程中由結果到原始材料的逆向思維，而非其他學科方面的逆向性，因為不同學科的逆向性思維都具有不同的特質。

為了讓學生容易理解，這里沒有把正向思維過程和反向思維過程嚴格地區別開來。如果要嚴格地區分開來，對于初中學生尤其是數學能力差的學生來說，還是有一定難度的。為了讓學生容易理解，我們可以認為從正向思維轉向逆向思維是思維靈活性的一種表現。從以上談到的可以清楚地看出，本文中沒有像皮亞杰那樣賦予逆向性概念那么重要的地位，也沒有嚴格地給逆向性下定義。事實上，對于初中數學教學來說，也沒有必要這樣去做，學生只要能夠理解A←→B的基本含義就行了。

二、推理思維的正向和逆向聯結

筆者要探討一下關于正向和逆向聯結的問題。如果A→B的連續思維是正向聯結，那么B→A就是逆向聯結。在我國和其他國家的許多心理學研究中都提出，在建立正向聯結的同時就能形成逆向聯結。

我們提示推理思維的逆向性和聯結，目的是揭示在數學上能力強的、平常的和能力差的學生中，在其突然地改變心理過程的方向，從正向思維轉向逆向思維以及形成逆向（雙向）的聯結和聯結系統方面能力水平上的差異。

數學能力強的學生去解所提出的逆向問題，沒有特別的困難，也不需要特別的指導和訓練，他們能迅速地辨認出逆向問題。如果先給他們一道正向就能解答的題目，等他們解答完后，再給他們一道同剛才那道題完全相反即需要逆向解答的題目，他們能夠迅速地看出來，然后用逆向思維把它解答出來。通過他們的解答過程，看不出第一道題對他們解答第二道題的技能產生干擾，也看不出第一道題對第二道題的解答有什么抑制作用。在將近一半的例子是在正向問題之后緊接著給出一個逆向問題，比單獨給出一個與原來正向問題無關的逆向問題更容易解答。也就是說，學生能夠沿著第一道題的相反方向去解答第二道題，比單獨解答第二道還要快，還要順利。對于這些學生來說，推理思維的雙向聯結給學生解答數學題目提供了積極的輔助作用。

絕大多數平常的學生不用進行特別的指導和訓練就能夠解答逆向的問題。他們中的多數（大約60%）確實能辨認出對他們提出的逆向問題，但是他們在這樣做的時候表現出信心不足。他們在解答第二道題目時，第一道題會給他們帶來干擾和抑制作用。另一方面，對一個不與正向問題相繼出現的逆向問題解答起來則更有信心。由此可以看出，他們還不能充分地利用推理思維的逆向性給他們解答數學題所帶來的便利。但這些數學能力平常的學生，經過教師指導和自己訓練后，也能較快地掌握解答這種逆向題的本質。

對于數學能力差的學生來說，情況就完全不同了。他們解答第一道題還比較順利，但解答第二道題就明顯感覺吃力了。也就是說，第一道題的解答思路對解答第二道題產生了干擾和抑制作用。如果只讓他們解答第二道題，同他們解答第一道題一樣，思路還比較清晰，速度也比較快。由此可見，他們完全不能利用第一道題的逆向條件來解答第二道題，也就是說，逆向聯結對他們不僅沒有起到正作用，相反起了負作用。在正定理和逆定理的證明中，就能夠非常清楚地看出這一點?？偟膩碚f，讓數學能力差的學生建立正向聯結的逆向聯結比較困難。比如，把前提和結論簡單地交換一下位置（如“所有的直角都是相等的”——“所有相等的角都是直角”），對于數學能力差的學生來說，甚至不懷疑也不去考慮在有些情況下逆定理和逆向推理過程是否正確的問題。

一個能力強的學生按照公式立刻就掌握了一類問題的解法：“兩個數之和乘以兩個數之差就等于這兩個數的平方差?！?/p>

教師：對代數式（x-y）2-25y8作因式分解。

學生：這個問題是反方向的;這是兩個平方數之差。這已經解了。

教師：這個代數式等于什么？

學生：（x-y+5y4）（x-y-5y4）。我們必須考慮這兩個平方是怎樣來的。只要取這兩個數的和，再乘以這兩個數的差就行了，這是很清楚的。

有的數學能力差的學生，雖然經過教師大量的輔導，自己也做了大量的題目，但是還是不能熟練地運用思維的逆向性，有的學生甚至不想運用這種方法解答題目。

教師：解題：5×5=？（學生得出一個正確的答案）?，F在解這個題：我們必須用什么數相乘才能得到25？（學生得出一個正確的回答）。現在注意：5×5=25，并且25=5×5。第二個問題是第一個問題的逆命題。解題：（2x+y）（2x-y）=？（學生得出一個正確的回答）。對，但是如果（2x+y）（2x-y）=4x2-y2，那么我們能說4x2-y2=（2x+y）（2x-y）嗎？（學生給了一個肯定的回答）。好，（9x）2-（4y）2等于什么？

學生：我不知道，這個問題很奇怪，我們沒有做過這種問題。

教師：對，你沒有做過這種問題，但我們來學習做這種問題：兩數之和乘兩數之差等于什么？

學生：等于第一個數的平方減去第二個數的平方。

教師：對。你能說出這個問題的逆命題嗎？平方差等于什么？a2-b2等于什么？

學生：a2-b2=（a+b）（a-b）。

教師：（9x）2-（4y）2=？

學生：（9x+4y）（9x-4y）……

上面省略了一些環節，尤其是同數學能力差的學生討論的環節。用這個例子只是為了說明，為了讓數學能力差的學生正確掌握思維的正向聯結和逆向聯結，需要經過教師的細心指導和學生自己一定的訓練，否則，他們很難掌握逆向聯結，哪怕只是一些最簡單的問題。

三、推理思維及其過程的逆向性在數學教學中的運用

我們探討推理思維及其過程的逆向性，目的是在數學教學中運用。如果只是為了研究而研究，那就失去了它的實際意義。筆者從前人研究中引用幾個典型例子來探討推理思維及其過程的逆向性在數學教學中的運用。這項研究是在我們教研組教師共同參與下進行的。

七年級學生剛從小學升入中學，心智尚未成熟，不太適宜在七年級進行實驗。但在八、九年級都可以進行相關的推理思維的逆向性實驗。

八年級的學生按著正向順序（從左到右）學習了這個公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。教師讓他們計算cos30°·sin15°+cosl5°·sin30°=？他們中還沒有一個人做過這種題目。為解答這個問題，關鍵在于“由右向左”運用這個熟悉的公式。對此，學生中表現出了明顯的差異。所有能力強的學生在幾秒鐘內就用公式解答了題目（sin45°=/2）;一半以上平常的學生不能解答這個題目，他們徒勞無功地企圖用煩瑣的變換找出150角的正弦值和余弦值（他們知道300的三角函數值），大約只有3個平常的學生找到了正確的解法，他們使用了顯然不實用的方法經過長時間的反復嘗試才得到這一個解答。所以，對于數學能力普通的學生來說，他們運用思維的逆向性來解答數學題目，還是有一定難度的。但經過教師指導和自己訓練，他們也能夠運用推理思維的逆向性來解答數學題目。

當在九年級引進一個復數概念的時候，要求學生把（a+b2）和（a-b2）相乘。能力強的學生得出了a2+b2這個答案后，馬上就注意到了（一個逆向聯想“開始活動”），現在，變成了要分解兩個數的平方和，以前是不可能的，而現在是可能的了，因為我們已經學過了虛數。當時學生就提出來任何偶次冪之和的因式分解問題，如：a4+b4=（a2+b2）（a2-b2）。一個數學能力普通的學生正確地做了乘法運算，但是除此而外沒有看出什么問題。9分鐘之后，要求他作a2+b2的因式分解，他表示非常驚奇，并且回答說：這個題無解。

對于數學能力普通的學生來說，他們運用思維的逆向性來解答題目就有一定的困難了;那么，對于數學能力差的學生來說，他們運用推理思維的逆向性來解答題目就更困難了。但只要我們教師多加強指導和自己多加強訓練，也是能夠運用推理思維的逆向性來解答數學題目的。

四、推理思維及其過程的逆向性應該注意的問題

在運用推理思維及其過程的逆向性時，如果得出了不同的結果，這種遷移運用的效果就是負向的，即產生了負遷移，例如漢語拼音字母與英語字母在書寫方面相同或相似，但讀音不同，遷移就起了作用。

在運用推理思維及其過程的逆向性時，定勢思維影響最大。如學習時慣用某一種方式，久而久之，形成一種習慣，即通常說的“思路”。這種定勢，對學習新知識、解決新問題會產生直接影響。一般而言，這種思維定勢在相同或相似的情境中，能迅速找到解決問題的途徑和方法，容易產生正遷移，有利于問題的解決;相反，就會影響問題的迅速解決，產生負遷移。

此外，對所學知識技能的理解與熟練程度，學生的心理狀態，如有無自信心、是否緊張、注意力是否集中、教材結構的特點以及對學習情境的熟悉性等，都是影響推理思維的逆向性遷移的因素。就知識和技能的理解與熟練程度來說，知識與技能的遷移，必須以理解與熟練為中介，學生對所學知識理解不深，技能掌握不熟練、不牢固，運用知識技能解決問題就困難。再如，學生對運用知識技能解決問題缺乏信心，對新情境不熟悉或由于過度緊張引起注意力渙散，運用推理思維的逆向性遷移也會發生困難。

這里需要強調的是，推理思維撇開事物的運動、變化和發展，是在相對靜止的條件下來考察對象的。因而它沒有能力掌握事物的運動、變化和發展，沒有能力通觀全局。要全面認識對象，特別是人從事物內部的矛盾運動去認識對象，就必須運用辯證法。應該說，在事物內部的矛盾性上，推理思維是不起作用的。因此，如果把推理思維的作用絕對化，企圖以它來認識事物的矛盾運動，那么，不僅無法認識運動的實質，而且會導致否認運動的內在矛盾運動，否認運動的真實性，會跌入唯心主義的泥坑。

綜上所述，我們可以得出這樣的結論：數學能力強的學生能夠較快地從正向推理思維轉向逆向推理思維，他們所形成的聯結可以立即變成逆向的。但是，對于數學能力普通的學生來說，就有了一定的難度，但還是能夠解答的;但對于數學能力差的學生，難度就大了，需要經過教師耐心地指導和學生自己反復地訓練，才能夠正確地掌握和運用。