基于小波矩量法的目標(biāo)電磁散射快速算法研究

宋文良，楊崢崢

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

隨著電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的不斷發(fā)展，矩量法(MoM)已經(jīng)成為解決與電磁輻射與散射問題相關(guān)的積分方程的重要方法。然而這種方法在計(jì)算過程中引入了格林函數(shù)，需要解復(fù)雜的矩陣方程，尤其對(duì)于電大物體來(lái)說，會(huì)形成一個(gè)規(guī)模較大且稠密的阻抗矩陣，因此求解時(shí)的計(jì)算范圍很大并且需要大量的時(shí)間。

本文從阻抗矩陣元素的填充過程以及本身的性態(tài)出發(fā)，立足于RWG基函數(shù)定義的三角區(qū)域,采用質(zhì)心切分法對(duì)阻抗矩陣元素進(jìn)行高效填充，同時(shí)還可以避免在元素計(jì)算過程中出現(xiàn)的奇異性問題；然后在質(zhì)心切分法的基礎(chǔ)上，將離散小波變換與矩量法相結(jié)合，經(jīng)過小波變換矩陣的處理，填充完成后的稠密的阻抗矩陣會(huì)變得稀疏；最后經(jīng)過仿真驗(yàn)證了本文所提算法的正確性和高效性。

1 質(zhì)心切分法

首先建立起具有普遍應(yīng)用性的電場(chǎng)積分方程，通過位函數(shù)理論,可以得到散射場(chǎng)與入射場(chǎng)之間的關(guān)系：

()=-▽()-jω()

(1)

式中：()表示磁矢位；()表示電標(biāo)位。

()、()可分別表示為:

(2)

(3)

式中：()表示目標(biāo)表面的等效電流；()表示均勻無(wú)界空間的格林函數(shù)。

將式(2)和式(3)代入到式(1)中，可以得到：

(4)

式中：表示由等效電流產(chǎn)生的電場(chǎng)散射算子。

由理想導(dǎo)體表面邊界條件可知，導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量為0，因此電場(chǎng)積分方程可以表示為：

(5)

使用伽略金法，采用RWG基函數(shù)作為權(quán)函數(shù)離散電場(chǎng)積分方程,阻抗矩陣元素可以表示為：

(6)

式中：(),(′)表示RWG基函數(shù)。

采用矩量法對(duì)電場(chǎng)積分方程求解時(shí)，結(jié)合RWG基函數(shù)的求解區(qū)域，可將待求電磁量表示為基函數(shù)疊加的形式。由此就會(huì)形成一個(gè)含有格林函數(shù)的二重積分，如式(6)所示。此二重積分的展開過程實(shí)質(zhì)上就是阻抗矩陣元素填充的過程。由以上推導(dǎo)過程可以看出，這個(gè)填充過程的復(fù)雜程度實(shí)際是由磁矢位和電標(biāo)位所決定的。因此立足于RWG基函數(shù)定義的求解區(qū)域，采用一種特殊的三角分塊法——質(zhì)心切分法對(duì)阻抗矩陣元素進(jìn)行填充。

如圖1所示，導(dǎo)體的表面通過RWG基函數(shù)進(jìn)行三角剖分后，采用質(zhì)心切分法，將每個(gè)劃分的三角形單元細(xì)分為9個(gè)相同的小三角形塊。

圖1 質(zhì)心切分法示意圖

圖1中黑色的大點(diǎn)位于大三角塊質(zhì)心的位置，將小三角塊的質(zhì)心作為源點(diǎn)，大三角形的質(zhì)心作為場(chǎng)點(diǎn)，此時(shí)可以通過每個(gè)子三角形上質(zhì)心處值的加權(quán)總和來(lái)近似被積數(shù)。所有的元素采用相同的公式計(jì)算，從而可以減小阻抗矩陣元素的填充時(shí)間，提高填充阻抗矩陣的效率。函數(shù)在原始三角形上的積分可以表示為：

(7)

根據(jù)質(zhì)心切分法可以將磁矢位和電標(biāo)位重新寫為：

(8)

(9)

因此阻抗矩陣可以表示為：

(10)

從原理公式的推導(dǎo)上可以看出，這種方法能簡(jiǎn)化磁矢量與電標(biāo)量的計(jì)算過程，從而降低阻抗矩陣元素的計(jì)算復(fù)雜度；同時(shí)由于被劃分的9個(gè)小三角塊位置的特殊性，剛好使得場(chǎng)點(diǎn)、源點(diǎn)分離，此時(shí)對(duì)于阻抗矩陣元素填充的計(jì)算就不需要區(qū)分奇異部分和非奇異部分。

2 小波矩量法

上述的質(zhì)心切分法在填充阻抗矩陣元素的同時(shí)，解決了計(jì)算過程中可能會(huì)出現(xiàn)的奇異性問題，實(shí)現(xiàn)了阻抗矩陣元素填充的高效性；但是實(shí)際上并沒有改變阻抗矩陣本身的性質(zhì)，因此對(duì)于矩陣方程的求解是沒有任何影響的。矩量法在計(jì)算散射問題時(shí)引入了格林函數(shù)作為積分核函數(shù)，盡管它可以準(zhǔn)確地描述電磁場(chǎng)的傳播過程，但是它生成的矩陣是一個(gè)滿秩的稠密矩陣，計(jì)算復(fù)雜。由于求解線性方程組的復(fù)雜度與系數(shù)矩陣中非零元素的數(shù)量有關(guān)，零元素越多，系數(shù)矩陣越稀疏，計(jì)算復(fù)雜度就越低。針對(duì)這一情況，在質(zhì)心切分法的基礎(chǔ)上，將離散小波變換與矩量法相結(jié)合，經(jīng)過小波變換矩陣的處理，填充完成后的稠密的阻抗矩陣將變得稀疏。

通過矩量法求解電場(chǎng)積分方程，同時(shí)未知電流可以表示為RWG基函數(shù)的疊加形式，矩陣方程如下所示：

=

(11)

式中：,,分別表示阻抗矩陣，待求解的列向量，已知的激勵(lì)向量。

設(shè)是一個(gè)規(guī)模為×的非奇異矩陣，為小波變換矩陣。對(duì)于任意向量，由于小波基具有多分辨率以及消失矩特性。因此·相當(dāng)于對(duì)向量進(jìn)行小波分解。將小波變換矩陣引入到傳統(tǒng)的矩量法中,矩陣方程可以重新表示為：

′′=′

(12)

矩陣的作用就是稀疏阻抗矩陣。對(duì)于任意的阻抗矩陣，它的小波變換矩陣為。為了更合理地對(duì)阻抗矩陣進(jìn)行稀疏，選擇閾值如下所示：

(13)

式中：表示矩陣的維數(shù)，表示控制變量。

當(dāng)矩陣元素小于這個(gè)閾值時(shí)就被置為零。矩陣通過矩陣變?yōu)榱讼∈桕嚒Ｅc直接求解矩陣相比，求解′矩陣會(huì)減少計(jì)算時(shí)間，小波變換矩陣的逆矩陣為：

()′=

(14)

3 算法仿真分析

為了驗(yàn)證上述方法的正確性和高效性,使用電場(chǎng)積分方程分析理想導(dǎo)體球與導(dǎo)體平板的雙站雷達(dá)截面積(RCS)。對(duì)于每一個(gè)例子，通過RWG基函數(shù)離散導(dǎo)體表面，采用伽略金法和質(zhì)心切分法獲得阻抗矩陣，然后經(jīng)過小波變換稀疏得到阻抗矩陣。傳統(tǒng)矩量法計(jì)算得到的阻抗矩陣是嚴(yán)格對(duì)稱的，但是由于使用了質(zhì)心切分法填充阻抗矩陣元素，在計(jì)算過程中使用質(zhì)心代替了任一點(diǎn)的計(jì)算，所以使得阻抗矩陣并不是嚴(yán)格對(duì)稱的，因此本文采用廣義最小余量法這一迭代方法進(jìn)行矩陣方程的求解。

首先對(duì)尺寸為045的理想導(dǎo)體球進(jìn)行分析。入射波頻率為300 MHz，沿-方向入射，電場(chǎng)的極化方向沿+方向，電場(chǎng)強(qiáng)度取為1 V/m，剖分物體表面的三角形單元平均尺寸為0.1，小波分析中閾值標(biāo)準(zhǔn)=10。雙站RCS描繪電磁散射特性，入射角度為(,)=(0°,0°)，散射波觀察角度為(,)=(0°,-180°,0°)。第2個(gè)例子采用邊長(zhǎng)為5×5的理想導(dǎo)體平板，仿真條件與導(dǎo)體球的相同。圖2和圖3分別給出了傳統(tǒng)矩量法、質(zhì)心切分-矩量法以及質(zhì)心切分-小波變換矩量法的雙站RCS仿真曲線。

圖2 0.45λPEC球的雙站RCS

圖3 5λPEC球的雙站RCS

可以看出，質(zhì)心切分-矩量法以及質(zhì)心切分-小波變換-矩量法與傳統(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了這2種算法的正確性與有效性，同時(shí)也可以看出改進(jìn)后的算法具有良好的計(jì)算精度。表1和表2分別記錄了導(dǎo)體球與導(dǎo)體平板在傳統(tǒng)矩量法，質(zhì)心切分-矩量法以及質(zhì)心切分-小波變換-矩量法下的矩陣填充時(shí)間與計(jì)算總時(shí)間，3種方法的未知量數(shù)目相同。

表1 3種算法的計(jì)算時(shí)間比較(導(dǎo)體球)

表2 3種算法的計(jì)算時(shí)間比較(導(dǎo)體平板)

相比于傳統(tǒng)的矩量法，由于質(zhì)心切分法在填充阻抗矩陣時(shí)計(jì)算簡(jiǎn)單，不需要區(qū)分奇異性與非奇異性，因此大大提高了填充阻抗矩陣的效率。從上述2個(gè)例子可以看出，隨著未知量的增加，減少的填充時(shí)間也是在增加的。這也表明了隨著目標(biāo)電尺寸的增大，質(zhì)心切分法的效率也會(huì)隨之增加。從計(jì)算總時(shí)間上看，隨著未知量的增加，節(jié)省的計(jì)算總時(shí)間也隨之在增加。但是從質(zhì)心切分-小波變換-MoM與質(zhì)心切分-MoM的計(jì)算總時(shí)間可以看出，若僅采用小波變換的方法，實(shí)際上對(duì)于計(jì)算總時(shí)間的減少是有限的。這是由于采用矩量法計(jì)算目標(biāo)電磁散射問題的過程中，耗時(shí)最多的就是填充矩陣元素的過程。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種由小波矩量法和質(zhì)心切分法相結(jié)合的算法，質(zhì)心切分法可以加快阻抗矩陣元素的填充，并且可以有效避免計(jì)算過程中的奇異性問題。小波矩量法可以使矩陣方程稀疏化，從而被快速求解。數(shù)值算例表明改進(jìn)后的方法可以顯著降低阻抗矩陣的填充時(shí)間與求解時(shí)間，證明了本文所提方法的正確性和有效性。