基于CEEMDAN和FRFT的多分量LFM信號參數估計

陳 寶，石耀坤，何國華

(桂林長海發展有限責任公司，廣西 桂林 541001)

0 引 言

線性調頻(LFM)信號是一種常用的脈沖壓縮信號和典型的非平穩信號，具有大時寬帶寬積等優點，可以獲得較遠的探測距離和較高的距離分辨率，在雷達、通信等領域應用非常廣泛。因此LFM信號的檢測和參數估計一直是非常重要的研究課題。但在實際應用過程中，對LFM信號的檢測和參數估計容易受到各種噪聲和其它信號的干擾，如何抑制這些干擾非常重要。本文將自適應噪聲完備集合經驗模態分解(CEEMDAN)和分數階傅里葉變換(FRFT)結合，提出了一種新的多分量LFM信號參數估計方法。

1998年諾頓·黃等人提出了一種非平穩非線性信號的信號分解方法——經驗模態分解方法(EMD)，它可以將信號分解成按頻率由高到低排列的固有模態函數(IMF)。2011年，Torres等人在EMD基礎之上，提出了自適應噪聲完備集合經驗模態分解(CEEMDAN)，其通過計算特定余量來獲取各個模態分量，分解過程具有完備性，重構誤差幾乎為零，有效地解決了模態混疊問題，應用領域非常廣泛。

截止到目前，針對LFM信號參數估計已經出現了很多數字信號處理算法，經典的傅里葉變換(FT)僅適用于平穩信號。針對這個問題，近年來，研究人員提出和發展了一系列新的分析方法，例如短時傅里葉變換(STFT),Wigner-Ville分布(WVD)，FRFT等，其中STFT受信噪比影響大，同時無法兼顧時間和頻率的分辨率，WVD處理多分量信號時容易受到交叉項影響，導致分析結果失真。分數階傅里葉變換(FRFT)作為一種較新的時頻變換方法，Namias首先從數學角度提出了定義，Almeida分析了它和WVD變換的關系，并解釋成時頻平面的旋轉算子，同時FRFT對LFM信號具有很好的聚集性，受噪聲影響小。

本文在上述研究基礎上，提出了一種基于CEEMDAN和FRFT的參數估計方法，其基本思想是使用CEEMDAN分解信號，獲取多個IMF分量，根據每個IMF分量的傅里葉頻譜方差，選擇有用的IMF分量完成信號重構，并基于分離思想和擬Newton法對重構信號做FRFT處理，獲取信號參數，仿真結果驗證了該方法的可靠性和準確性。

1 基本原理

1.1 CEEMDAN核心理論

CEEMDAN本質上屬于EMD的一種，是一種噪聲輔助分析方法。它的優點在于克服了模態混疊效應，可以精確重構出原始信號。算法具體如下：首先定義(·)為給定信號的第個IMF分量的算子，()表示高斯白噪聲，其中=1,2,…,;表示在每個階段的信噪比，其中=1,2,…,。設()為目標信號，CEEMDAN分為以下6個步驟：

(1) 將加入不同噪聲的信號重復EMD分解次，計算集合平均值，目標信號()的第一模態固有分量為：

(1)

(2) 當=1時，計算一階殘差為：

()=()-()

(2)

(3) 對()添加經EMD分解后的噪聲分量[()]，再進行EMD分解，第二階固有模態分量為：

(3)

(4) 當=2,…,時(其中，是模態總體數量)，計算階殘差為：

()=-1()-()

(4)

(5) 使用EMD獲取()+[()]的IMF分量，第+1階固有模態分量為：

(5)

(6) 重復上述步驟(4)，直到所有余量不能進行EMD分解為止。

通過上述計算步驟可以看出，CEEMDAN是完備的，可以精確重構出原始信號，用做后續分析。

1.2 FRFT定義及相關理論

FRFT作為一種廣義的傅里葉分析方法，信號的FRFT可以看作將信號的坐標軸在時頻平面上繞原點做逆時針旋轉。如果將信號的FT變換看成其由時間軸上逆時針旋轉π/2后到頻率軸上的表示，FRFT則可以看成信號在時間軸上逆時針旋轉角度得到的軸的表示。任意信號()的FRFT定義為：

(6)

式中：為FRFT的變換階數，可以為任意實數；=π2；[·]為FRFT的算子符號；(,)為FRFT的變換核：

(,)=

(7)

另外FRFT具有線性疊加和階數疊加等性質。

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由定義可知，LFM信號只在適當分數傅里葉域中是一個沖激函數，因此只在該分數傅里葉域具有最好聚集特性，一個有限長的LFM信號在時頻平面呈現斜直線的背鰭形狀。FRFT本質上是信號的旋轉，因此只要將信號旋轉合適的角度，其幅度會出現明顯的峰值，而白噪聲則不會出現峰值，因此FRFT非常適用于處理LFM信號。

利用FRFT實現LFM信號參數估計的基本思路是，以旋轉角度作為變量，對LFM信號做FRFT變換，形成信號能量在(,)的二維分布，=2π，如圖1所示。

圖1 FRFT能量聚集尖峰示意圖

(8)

但在實際應用過程中，需要采用數字信號處理方式，目前大多采用了Ozaktas等提出的基于FFT的離散FRFT快速算法，該算法實現了量綱歸一化，使得FRFT在實際中得到了廣泛應用，本文同樣采用上述離散算法。

由于峰值搜索是一個二維搜索問題，當參數估計要求精度高的時候，計算量很大。因此本文采用擬Newton法完成迭代搜索。具體思路如下，首先對變量和按照大的搜索步長直接搜索，得到初略估計，隨后按照這一初始值，采用擬Newton法進行迭代搜索，得到參數的精確估計，其迭代過程表示為：

(9)

擬Newton法有效降低了二維搜索算法的復雜度。

2 基于CEEMDAN和FRFT的多分量LFM信號參數估計

多分量LFM信號參數估計方法流程如圖2所示。首先對LFM信號做CEEMDAN分解，獲得從高頻到低頻排列的IMF分量，隨后對每個IMF分量做傅里葉變換，得到每個分量的幅值方差，計算所有方差平均值，比較每個方差值和方差平均值的大小關系，分離出有用IMF分量，重構有用IMF分量得到去噪后的信號，再利用FRFT估計各個分量參數。其中采用了分離技術和擬Newton法，有效提高了該方法的可靠性并降低了計算的復雜性。

圖2 方法流程圖

2.1 CEEMDAN分解和重構

CEEMDAN作為一種非平穩非線性的信號分解方法，可以把復雜信號分解為一系列不同尺度的固有模態函數，每個IMF分量包含的頻段隨信號自適應變化，非常適用于LFM這類非線性信號。采用CEEMDAN分解去噪的原理是去掉包含噪聲的IMF分量，隨后重構信號，因此準確分離出噪聲IMF分量和有用信號IMF分量非常重要。目前常用方法有排列熵、自相關函數、互相關系數等。排列熵需要計算每個IMF分量的熵值，計算較為復雜；自相關函數要求取每個IMF分量自相關曲線的主瓣寬度，經過對LFM信號的驗證，此方法效果較差；互相關系數法是通過計算每個IMF分量和原始信號的相關系數大小進行去噪，對于非平穩非線性信號降噪效果較差。經過對比，本文采用基于IMF的頻譜幅值方差大小作為判斷依據，有用信號IMF分量頻率成分幅值較為單一，噪聲IMF分量幅值較為雜亂，因此可以通過計算所有IMF分量的方差來判斷。方差反映的是數據的離散化趨勢，方差越大表明數據波動越大。如果某一個IMF分量幅值方差較大，可以認為是噪聲IMF分量，相反則認為是有用IMF分量。隨后重構有用IMF分量，得到去噪后的信號。

2.2 FRFT應用

3 仿真分析

為了驗證上述方法的可靠性和準確性，下面建立仿真實驗進行驗證，LFM信號中各分量參數見表1，并在信號中加入5 dB的高斯白噪聲，按照上述方法流程對信號進行處理。

表1 LFM信號各分量參數

首先對信號做CEEMDAN分解，分解后的10個IMF分量如圖3所示。并計算每個分量的傅里葉頻譜方差值，如表2所示。方差平均值=326，取幅值方差大于的IMF分量作為重構分量，累加重構分量得到重構信號。

圖3 多分量LFM信號CEEMDAN分解

表2 IMF分量傅里葉變換幅值方差大小

分別對仿真信號和重構信號做FRFT變換，分數階頻譜三維圖分別如圖4(a)和圖4(b)所示。從圖4(a)中可以看出，仿真信號包含2個峰值點，信號的能量在此旋轉角度得到良好的聚集，表明LFM信號中含有2個分量，在經過CEEMDAN分解重構后，FRFT頻譜圖如圖4(b)所示，從圖4可以看出，重構信號的能量峰值依然突出，但在底層能量分布較為光滑，表明CEEMDAN分解重構有效地減小了噪聲干擾。

圖4 CEEMDAN去噪對比

按照本文方法，對重構信號做FRFT處理，如圖4(b)所示。采用二維搜索和擬Newton法，找到峰值最大點，最大峰值點對應的階數為=1.063。因此根據公式(8)，第一分量的起始頻率為=3.004 7 MHz，調制斜率為=0.990 0 MHz·μs。隨后在域采用漢寧窗對該分量進行窄帶濾波，對濾波后的信號做-階的FRFT，反向旋轉到原來的時間域，再做FRFT處理，找到峰值最大點對應的階數=1.126，得到第二分量的起始頻率=1.999 0 MHz和調制斜率=2.005 5 MHz·μs。按照上述步驟，取輸入信噪比的變化為-20～20 dB，間隔2 dB，分別運行1 000次蒙特卡羅模擬，并計算各分量參數的估計均方差。為了體現本文方法的可靠性，同時對仿真信號做傳統FRFT處理，最后對2種方法的估計均方差進行對比。2種方法的調頻率和起始頻率均方誤差估計如表3～表6和圖5～圖6所示。

表3 第一分量參數頻率f0的不同信噪比估計均方差

表4 第一分量參數斜率k0的不同信噪比估計均方差

表5 第二分量參數頻率f1的不同信噪比估計均方差

表6 第二分量參數斜率k1的不同信噪比估計均方差

為了突出2種方法參數估計結果差異，按照不同信噪比范圍對參數估計結果進行對比。當信噪比在-20～-10 dB之間，傳統FRFT和CEEMDAN+FRFT兩種方法的所有參數估計均方誤差如表3～6所示。從圖中可以看出基于CEEMDAN+FRFT的參數估計準確率比傳統FRFT方法要高。當信噪比在-8 dB和20 dB之間時，2種方法估計結果如圖5～6所示。第一分量2種參數的估計結果如圖5所示。當信噪比小于4 dB時，基于CEEMDAN+FRFT方法與傳統FRFT方法相比，其參數估計精度較高；當信噪比大于4 dB時，2種方法估計精度相差不大，估計結果都非常準確。第二分量的2種參數估計結果如圖6所示，根據圖中對比結果，2種方法的估計精度相差較大。上述所有結果表明CEEMDAN+FRFT可以有效提高參數估計性能。

圖5 第一分量2種參數不同方法估計均方差對比

圖6 第二分量2種參數不同方法估計均方差對比

4 結束語

本文針對多分量LFM信號參數估計問題，提出了一種新的參數估計方法。該方法通過對信號做CEEMDAN分解，利用IMF方差作為判定依據，得到去噪后的重構信號，最后利用FRFT的相關特性，并在處理過程中引入分離技術和擬Newton法，提高了參數估計精度。仿真實驗結果表明，與傳統的FRFT方法相比，該方法能有效去除噪聲的干擾，不需要針對不同信號設置不同門限，具有一定普適性，有效提高了參數估計的可靠性。