一道含參拋物線試題的命題思考

曾劍凡

二次函數是初中數學的一個重點和難點.二次函數的考查可以從多方面多角度對學生的數學核心素養進行考查，提高學生對數學基礎知識的掌握水平，也有利于提高學生的邏輯思維、知識遷移及綜合分析并應用數學知識解決實際問題等能力，遵循命題原則，基于幾何直觀、數學運算及轉化能力的考查，本文以“2019年莆田市質檢”和“2018年湖州中考”中的兩道關于二次函數的試題為原始模型展示了一道含參拋物線試題的命制過程.

1 試題展示

己知二次函數的解析式為C：y= --x2+ 4mx -m.

（1）不論m取何值，拋物線C的頂點都在某一函數的圖象上，求該函數的解析式;

（2）若m=1，將拋物線C沿著直線y= 2x的方向平移，得到的拋物線與x軸交于A，B兩點，且AB=4，求平移后的拋物線的解析式;

（3）當0

2 命題過程

2.1 命題思路

二次函數是初中數學的一個重要考點，含參拋物線的有關計算更是中考壓軸題里面常考的題型，這類題型的常見特點是恒過定點問題、頂點位置問題、與x軸的交點問題等，這些類型的題目主要是為了考查學生對二次函數基本知識的掌握程度、學生利用數形結合及綜合應用所學知識解決問題的能力及探究能力，因此，本次的命題就以考慮二次函數在初中課程中的重要性及含參二次函數常見題型的特點作為切入點進行命題，主要為了考查二次函數的頂點坐標、函數解析式、一元二次方程根的存在性、韋達定理等基本知識與概念，考查學生數形結合與化歸、轉化等數學思想方法的掌握，同時也考查學生綜合運用所學知識及探究的能力.

2.2 原始模型

原始模型1 （2019年福建省莆田市質檢題）函數Yi=kx2+ ax+a的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），函數y2= kx2+ bx+b的圖象與x軸交于點C，D（點C在點D的左側），其中k≠0，a≠b.

（1）求證：函數y1與y2的圖象交點落在一條定直線上;

（2）若AB= CD，求a，b和k應滿足的關系式;

（3）是否存在函數y1與y2，使得B，C為線段AD的三等分點？若存在，求a/b的值;若不存在，說明理由，

原始模型2（2018年浙江省湖州市中考題）在平面直角坐標系xoy中，已知點M，N的坐標分別為（-1，2），（2，1），若拋物線y=ax- -x+2（a≠0）與線段MN有兩個不同的交點，則a的取值范圍是（ ）.

以上兩道試題是以二次函數與一元二次方程根的關系、二次函數解析式中的系數與函數圖象特點之間的關聯為載體，考查了學生的推理能力，對學生的基礎知識進行考查的同時考查學生的數形結合能力和知識遷移能力.

2.3 命題實施

一道試題應注重對學生的基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查[1]，課程標準對二次函數基本性質的考查達到探究性理解的水平，因此，在命題過程中，遵循命題原則（如：導向性原則、基礎性原則、適度開放性原則、準確性及相容性等[2，3]），實現命題源于教材、立足基礎、關注本質、內隱探究及考查能力的目的，本試題的設置是為了考查二次函數的綜合知識、培養學生“析數畫形”和“釋形讀數”的能力，就應該圍繞二次函數最核心、最本質的特征進行命題，

初稿題目己知二次函數的解析式為C：y=一X2+4mx -m.（1）不論m取何值，拋物線C的頂點都在某一函數的圖象上.求該函數的解析式;（2）將拋物線C沿著直線y= 2x的方向平移，得到的拋物線與x軸交于A，B兩點，且AB=4.求m的值;（3）當0

分析初稿中第（1）問考查己知函數頂點坐標的計算方法及觀察兩個代數式之間所滿足的等式關系;第（2）在第（1）問求出頂點坐標的基礎上與平移問題相結合，解題只需要利用頂點坐標在己知直線上、與x軸的交點坐標求法及兩點間的距離公式即可求出，思路略顯簡單，需要加深難度，但又不會過分復雜，

第二稿主要改動在于將第（2）問改為：若m=1，將拋物線C沿著直線v= 2x的方向平移，得到的拋物線與x軸交于A，B兩點，且AB=4.求平移后的拋物線的解析式;

分析改動后的第（2）問取定m的值，將拋物線特殊化，讓學生領會從一般到特殊的過程;在求解過程中需要求出平移過程中頂點坐標所在的直線，可借助圖形來感知，培養學生數形結合的思想，求解第（3）問只需要聯立己知拋物線與直線方程，結合轉化思想或一元二次方程的相關知識即可解決，但數學計算能力也是一個重要的目標，此題計算過程比較簡單，因此，考慮將直線方程復雜化，將其認為是一條與m有關的直線，

第三稿主要改動在于將第（3）問改為：當0

在整個題目的設計與修改過程中，考慮到常見的題型是頂點位置在某個己知的函數圖象上求參數，那么反過來的問題當然也值得探究，于是設計出第（1）小題，該問題與原始模型有異曲同工之處;考慮到二次函數圖形的變換一般是上下左右平移，這類平移后的函數解析式學生可以用平移規律求得，而如果沿著某一條斜線方向平移呢？于是設計第（2）小題;兩個函數的交點問題可以轉化為一個函數與x軸的交點問題，考查學生綜合應用知識的能力，于是設計第（3）小題.

2.4解法分析

本題的設計是一道二次函數的綜合題，在求解過程中認真審題、理解題意、探究解題思路，最后正確作答[4，5].不僅要考慮二次函數的基本知識概念，也要考慮題目所隱含的重要數學思想，如轉化與化歸思想、數形結合思想及方程的思想等，正確認識圖形的特征與數、式之間的關系，從而確定正確的解答思路，解題有三個思維層次，即一般性解決，即明確解題的總體方向;功能性解決，即選擇解題方法;特殊性解決，即利用數學知識和技巧具體解答問題，

第（1）小題中拋物線C的頂點是與m有關的量，考生要根據“不論m取何值，拋物線C的頂點都在某一函數的圖象上”這一條件求出該函數的解析式，相當于要找出拋物線C的頂點坐標所要滿足的等式關系（一般性解決）;為了找等量關系，需要求出C的頂點坐標，探索頂點坐標之間的等量關系（功能性解決）;根據二次函數頂點坐標公式求出頂點坐標，并建立等式關系求得函數D的解析式（特殊性解決）.這一小題求解的關鍵點在于求出頂點坐標并探究坐標之前的關系，而易錯點在于含參二次函數由一般式轉化為頂點式學生在計算上容易出現問題，

第（2）小題要求拋物線沿斜線平移后的解析式，只要確定頂點位置就可以了，也就是說相當于找出滿足“拋物線C沿著直線y= 2x的方向平移，得到的拋物線與x軸交于A，B兩點，且AB=4”的拋物線的頂點坐標就可以了（一般性解決）;為了求出平移后的頂點坐標，需要知道拋物線沿斜線平移有什么特點，滿足什么樣的等式，根據這些特點和等式關系求出頂點坐標（功能性解決）;根據平移后的拋物線頂點均在一條與直線y= 2x平行的特點可以根據“設橫表縱”的方法寫出頂點坐標，再利用平移后的拋物線與x軸兩個交點的距離為4這一條件，結合兩點間的距離公式和一元二次方程的韋達定理求出頂點坐標（特殊性解決）.在解題過程中，關鍵是利用數形結合的思想找出拋物線沿斜線平移有什么特點，這也是本小題的一個易錯點和難點，

第（3）小題中要根據“當0

3 試題評析

本題突出初中數學學科的特點，著重考查學生的綜合運用數學思維方法（數形結合、轉化等）分析問題、解決問題的能力，試題以學科素養為導向，比較全面地覆蓋二次函數和一元二次方程的基礎知識（頂點坐標、解析式、與x軸的交點坐標、求根公式、韋達定理等），體現全面性、基礎性的考查要求;通過考查二次函數與一元二次方程的聯系、二次函數與平移的結合凸顯綜合性，試題以數學基礎知識為載體，重點考查學生的理性思維和邏輯推理能力，固本強基，為高中的數學學習奠定一定的基礎，第（1）小題通過由解析式及頂點坐標公式求點的坐標，己知條件中點在某一函數圖象，本質是頂點坐標所滿足的函數關系式，考查學生分析、猜想能力，嘗試從不同角度考查學生獲取“數”與“形”的相關信息，屬于基礎性考查，第（2）小題表面是拋物線的平移，實質是頂點位置的變化，有利于學生綜合運用數學知識來解決問題，涵蓋了方程和函數等知識，確保了試題具有較好的效度和可推廣性，第（3）小題轉換條件，進一步考查函數圖象特點與方程之間的關系，有利于學生猜想、分析和推理，又能考查數形結合、方程與函數、轉化等思想和方法，以此考查并進而增強學生的探索能力、發現能力、獲取并處理信息的能力、綜合運用數學知識能力和創新能力.

4 命題拓展

二次函數與平面幾何的綜合命題，能夠考查學生對代數與幾何之間的把握程度，綜合運用所學知識解決問題的能力，以及能很好地考查學生數形結合及探究，因此，本題還可以通過在平面直角坐標系中將二次函數與平面幾何的三角形、對稱等知識結合起來，作出如下三種方式的拓展：

拓展方案1頂點若要求在一個固定的三角形內部，求參數m的取值范圍，也可以是頂點是在己知三角形的內部的整點，求m值，

拓展方案2題（2）中平移后拋物線的頂點、與x軸兩個交點若構成等邊三角形，求m值，

拓展方案3結合拋物線與x軸，y軸對稱后的圖形進一步分析與直線y=x+4的交點個數問題.

5 結束語

以二次函數為背景的試題能夠全面考查用數析形、以形析數的技能與計算能力，能夠突出學科素養導向，全面覆蓋基礎知識，凸顯綜合性、應用性，在考查學生思維的靈活性、創新性及廣闊性等方面具有較高的效度，這類試題的命制值得關注，

參考文獻

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