進階視域下空間觀念的培養策略
——以“圖形的旋轉”教學為例

■福建省龍巖市永定區實驗小學 曾秀珍

數學課程標準（2011版）把空間觀念的培養列為十大核心概念之一，并指出空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。小學生的空間觀念主要表現在對所學幾何形體的原型、幾何圖形與它們的名稱、特征之間建立起“刺激——反應（聯想）——抽象”。從心理學的視角看，空間知覺、空間表象、空間想象和空間能力四者之間是相互聯系、密不可分的，呈遞進式發展；空間表象是在空間知覺的基礎上建立的，空間想象是空間表象的發展；空間表象作為一種信息表征，起著承前啟后的作用。小學階段是空間觀念發展的重要時期。怎樣培養和發展學生的空間觀念，筆者結合“圖形的旋轉”教學從學習進階視域下談幾點感受。

一、視覺直觀與思考相結合，從空間知覺進階到空間表象

空間知覺是指關于物體或圖形的形狀、大小及距離、方位及相互位置關系的知覺。在大量空間知覺的基礎上，形成的關于物體或圖形的形狀、大小及相互位置關系的印象就是空間表象。荷蘭學者范.希爾夫婦的幾何發展理論指出，幾何思維水平的發展是循序漸進的，只有掌握了低水平內容，才能達到高一級水平。觀察和操作是發展空間觀念的重要途徑，培養小學生觀察能力和空間觀念是同步進行的。因此，在小學數學課堂教學中要加強學生視覺直觀，引導學生從觀察入手，通過視覺感官逐步建立表象概念，引導學生在比較中辨析圖形的異同；在運動變化中觀察圖形，在各種情境中識別圖形的特征、位置、變化和互相關系等。如，“旋轉”隸屬于“圖形的運動”，縱觀人教版的教材，有關“圖形的旋轉”的知識，在義務教育階段分三個學段來學習，在第一學段編排《圖形的運動（一）》，通過實例讓學生初步感知圖形的旋轉，在初步感受生活中的旋轉現象時，教材提供許多生活中的旋轉教材，而這些素材都是生活中旋轉一周的旋轉現象。第二學段五年級下冊第五單元進一步探索圖形旋轉的特征和性質，當學生再次學習“圖形的旋轉”時，對學生進行課前測試，發現許多學生因為受前面學習因素的干擾，大都認為只有旋轉一周的現象才是旋轉，而人教版五年級下冊的教材提供的旋轉素材大多是旋轉90度的現象。根據學生的年齡特征，第三學段學生的思維能力逐漸從直觀、形象思維向抽象思維過渡，但還是以直觀形象思維為主，為了讓學生正確地建立旋轉的概念，課堂上除提供鐘面、自行車，還特意設計鐘擺、道閘這些生活中常見的旋轉學習素材。這兩種物體的旋轉方向是變化的，旋轉角度都沒有達到360度，學生在此類豐富的學習素材中通過回憶、觀察、判斷等思維活動，在對比中初步認識到旋轉方向、旋轉角度都可以任意設定，拓展了學生對旋轉的認知。學生通過觀察、對比、辨析，對接收到的外部刺激進行逐步內化抽象，為形成概念的表象和空間表象奠定基礎，實現從空間知覺到空間表象的完美進階。

二、動作直觀與想象相結合，從空間表象進階到空間想象

心理學認為想象是為人對頭腦中已有表象進行改造的過程，而空間想象是以現實世界為背景,對頭腦中已有的幾何表象進行加工、改造的過程。在小學數學學習中，空間表象是空間觀念最主要的表征形態，表現在學生從不同角度觀察物體的想象力，來源于對現實原型的豐富感知和對活動的深刻體驗。空間想象不僅是實物形狀與幾何圖形的轉換，還是幾何體與展開圖、三視圖之間的轉換。在小學數學學習中，動手操作和想象相結合是從空間表象進階到空間想象的有力支撐。動手探究是培養學生空間想象力的一個行之有效的教學策略，特別是到了高年級，探究性學習活動更能使數學學習煥發活力，教師要精心創設情境，引發學生認知沖突，激發學生探究欲望，再適時給學生提供探究材料，引導學生通過觀察、實驗、討論等活動中進行發現、檢驗和證明。

（一）動手操作中豐富空間表象

皮亞杰曾說，空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須動手做的過程。心理研究證明，視覺、觸覺、聽覺等多種感官共同參與幾何材料的操作，有利于空間觀念的建立和鞏固。學生對旋轉的認識，并不是從概念中獲得的，而是對相關具體情境的感悟、在動手實踐與操作的體驗中獲得的。因此，在教學中，教師要創設有價值的情境活動和操作活動，鼓勵學生觀察操作、分析、表達,使學生在動作直觀中獲得豐富的感性認識,并為學生留下充分想象的時間和空間，引導學生在觀察實物進行想象，在動手操作進行想象，通過直觀圖進行想象，根據語言描述進行想象。

學生在第一學段對旋轉有了初步認識，第二學段的將繼續認識旋轉的特征，明確旋轉的本質，并能在操作中對旋轉有進階認識。從人教版有關“圖形的旋轉”的知識編排看，五年級進一步探索圖形旋轉這一內容起著承上啟下的重要作用，既要關注新舊知識的聯結點，用原有知識推動新知識的學習，又要為第三學段的學習打下堅實的基礎。因此，五年級學習“圖形的旋轉”的重點是通過多種活動理解旋轉的含感悟旋轉的特征和性質。結合進階學習理論，在教學時不僅要關注感知層面的設計，更要注重操作層面的逐層遞進設計。

課始利用思維導圖回顧平移、軸對稱的基本特征后，教師設計問題串，進行追問：生活中有哪些旋轉的現象？旋轉和平移、軸對稱圖形的運動有聯系嗎？

在探索圖形線段的旋轉的特征時，教師設計以下兩個活動：

活動1：用語言辨析描述車桿的運動，讓學生明白旋轉運動不一定要一圈又一圈地繞，只要是繞著一個點朝著某個方向轉動一定角度，這樣的運動都是旋轉。學生用語言描述的過程，理解概念的本質屬性。

活動2：思考線段旋轉的因素。

教師：要想開啟智慧之門，必須畫出線段0A旋轉90度后的位置，想想看，線段0A旋轉90度后的位置在哪里？你能畫出線段0A旋轉90度后的位置嗎？

學生動手操作后同桌交流，再全班交流各種不同的旋轉方法。教師引導學生質疑：都是旋轉90度，為什么有多種情況？這幾種情況到底哪種才能打開智慧之門？要補充什么信息？學生：只有旋轉的角度還不夠，需要補充中心點和方向。教師：（課件演示：線段OA繞點O逆時針旋轉90度）現在補完整信息了，你能想象它是怎樣旋轉的嗎？為什么？

學生在認真觀察、積極思考、大膽猜測、激烈討論、動手操作驗證中，把想象與操作驗證相結合。學生先把圖形的旋轉過程用數學語言描述，初步體會旋轉的基本要素；教師再引導學生利用多種感官協同操作，通過想象、反思將操作活動慢慢地內化為心理操作，只有給足旋轉的三要素，才能確定旋轉的位置，從而明白旋轉運動的概念本質。教師通過創設問題串引導學生觀察、思考、猜測、想象、操作和驗證，把動作直觀和想象相結合，逐漸挖掘出概念的本質、屬性，讓概念在頭腦中逐步完善，實現從空間表象到空間想象的進階。

（二）運動變換中發展空間想象

圖形的平移、旋轉、對稱現象是圖形變換的基本形式。圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，它將運動觀點引入幾何教學中，使靜止的圖形動起來，有助于學生用數學眼光觀察世界，從運動變化的角度認識事物，了解圖形之間的聯系，從而發展學生的空間觀念和幾何直觀，同時有利于學生對圖形美的感受和欣賞。數學課程標準（2011版）中關于“圖形的旋轉”，第一學段要求結合實例，感知旋轉，第二學段指出通過觀察、操作等，在方格紙上認識圖形的旋轉，會在方格紙上將簡單圖形旋轉90°，能夠從旋轉的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設計簡單的圖案。兩個學段的目標呈螺旋上升的遞進。因此，在教學中，教師要選取生活中的典型例子，讓學生在運動變換中感知旋轉。如二年級學習“圖形的運動（一）”時，教師可以先讓學生觀察生活中平移和旋轉現象，幫助學生積累這方面的經驗。通過觀察初步理解平移與旋轉的特點后，運用感知的經驗，判斷日常生活中物體運動的平移和旋轉現象，說一說生活中平移與旋轉的具體實例，感受平移與旋轉現象的普遍性。在學生初步感受到什么是“旋轉”和“平移”后，請學生閉睛靜靜地想一想什么是平移、什么是旋轉，讓學生站起身來用肢體動作表示平移與旋轉的動作。在活動中學生進一步體會平移與旋轉的特點。讓學生靜靜地想一想，把“空白”留給學生，讓其對概念進行重新詮釋和再次解讀，對學生沉淀知識和發展空間想象力起著至關重要的作用。有了“空白”，不同的學生會用不同的生活經驗、不同的思維方式進行想象，學生的個性體驗有了呈現、發展的舞臺，各種情感體驗在一起碰撞、交流，容易激發學生的空間想象和創造性思維。

三、動態想象與推理相結合，從空間想象進階到空間能力

空間能力是以空間形式為主要對象，以空間知覺、空間表象和空間想象為主要心理活動，在頭腦中進行幾何抽象、分析與綜合、判斷與推理的思維能力。空間能力主要是特定領域內的思維能力，它是“圖形與幾何”領域的核心，除了包括對信息進行加工的空間思維，還包含解決信息輸出的空間問題。在“圖形與幾何”的教學中，應重視從學生的實際出發，創設能承轉知識的問題情境，使學生在經歷觀察、操作、想象、推理等學習活動，在“動態想象”中發展空間能力。如教學二年級下冊《圖形的旋轉》，教師可以選擇孩子喜歡和常見的卡通圖、風車、抽屜等素材，通過列舉生活中的例子，引導學生分析比較、動手操作、想象驗證等，對圖形的旋轉進行生動而豐富的數學挖掘。為了進一步提高學生對平移和旋轉概念的理解，在教學中還可以引導學生進行“動態想象”，采用讓學生先猜想，再交流，最后進行操作，將“觀察”與“思考”相結合，提高學生空間想象力進階到空間能力的水平，促進學生數學思維的發展。

教師可以拿出一支削過的鉛筆問學生：“閉眼想一想，旋轉這支鉛筆有幾種可能？”

教師給學生足夠的思考時間和空間，引導學生閉眼進行“動態想象”，這種想象不僅包含著圖形的變化，更加蘊涵著一種數學思考。然后在“動態想象”的基礎上再引導學生與同桌合作做不同的旋轉活動，通過動手操作將想象活動進行內化，再讓學生把剛才操作時的發現畫在紙上，得到多種旋轉的方法：

通過動態想象、動手操作、畫圖內化實現思維的創新，發展學生的空間能力。由于學生的旋轉只停留在垂直面上的旋轉，這時教師再追問，適時引導：“老師也畫了一種旋轉活動，猜猜會是怎么樣的？”通過把鉛筆在垂直面上的旋轉拓寬到水平面上的旋轉，為“動態想象”創造了更大的空間和載體，再引導學生通過再次思考、想象、操作、交流，在“動態想象”中學會從不同的角度思考問題，從而真正發展學生的空間能力。

又如，五年級教學《圖形的旋轉》時，在第一階段學習線段的旋轉，引導學生發現線段旋轉可以借助軸對稱和平移的方法找相對應的點進行旋轉。學生在第二階段學習三角形的旋轉時想象到可以找相對應的點進行旋轉。設置一系列問題，觀察旋轉后的圖形，什么變了，什么沒變，你能借助前面學習的平移進行思考等串引領學生展開想象的翅膀，實現同領域知識的鏈接。教師問：“為什么圖形的旋轉可以與軸對稱、平移通用？”讓學生發現原來圖形的運動之間都是有聯系的，畫圖形的運動方法是通用的，都是找相對應的點或邊。最后再追問“繼續像剛才那樣，每次繞著O點順時針旋轉90度，會形成什么圖形？”通過找到知識的前因后果，以結構化的思想引領學生的學習逐步深入，達到思維“線”上的串通，實現學習進階。

空間觀念作為創新精神所需要的基本要素，在認識圖形的教學過程，教師可以借助變換，動態直觀地刻畫圖形的特征，如通過平移、旋轉、對稱的變換，清晰直觀地呈現各種平面圖形和立體圖形所隱含的特征。在平面圖形和立體圖形的面積與體積公式的推導過程中，也應注重從運動的角度理解、測量，如在三角形、平行四邊形、梯形、圓形的面積公式推導過程中，采用剪拼、割補多種策略推導，這實質也是圖形的變換。在教學過程中，教師還可借助多媒體教學手段將靜態物體動態化，實現靜態物體的動態化，幫助學生建立空間觀念，培養學生的幾何直觀。

綜上所述，小學階段是人一生中空間觀念發展的重要時期。教師要研讀教材，把握學習重點；讀懂學生，了解學習起點；讀懂學習，設計學習任務，為學生提供學習的腳手架，引導學生在觀察中加強實物與圖形的轉換，豐富空間知覺，引領學生在比較中辨析，逐步向空間表象的進階；在動手操作中與運動變換中進行想象，豐富學生的空間表象，實現從空間表象到空間想象的進階；還要把動態想象與推理相結合，在經歷觀察、操作、想象、推理等學習活動中進行“動態想象”，發展學生的空間觀念。