大概念視角下的數學教學設計
——以等差數列前n項和公式為例

浙江省象山縣第二中學 (315731) 葛海燕

“大概念”由英國學者Wynne Harlen提出的，大概念是對所觀察的相互關系或特征進行解釋后的抽象表達，能夠將離散的事實和意義相聯系.從廣泛意義上講，大概念又叫共同概念，超越學科界限，成為各學科相互聯系的紐帶和橋梁，體現了科學概念的相通性和交融性，跨學科概念為學生提供了框架，學生可以跨越學科學習，解決單一學科難以解決的問題.學科大概念(big idea)亦稱“大觀念”或“核心觀念”，指向具體知識背后更為本質、更為核心的概念或思想，是一個學科領域中最精華、最有價值的內容.如今,大概念教學已成為指導指向核心素養教學變革的重要理念.在宏觀層面，它為學習者提供認知框架，成為教育改革尤其是學生學科核心素養培育的重要突破口；在中觀層面，它是重要的學科課程線索，為新課程模式的開發提供抓手；在微觀層面，它為學科概念教學的設計提供重要指導，從而提高教學效率和效能.

一、解讀“大概念”，建構單元教學

數學大概念視角下的單元教學以數學大概念為核心，基于學生的必備知識、關鍵能力、數學素養和核心價值，選擇并整合相關概念、知識、事實、經驗和問題等，引導學生把握知識背后的思想方法、意義和價值觀念，建立概念網絡，重構學習單元，并通過整體設計與實施，讓學生從整體上認知知識與邏輯、結構與本質、應用與生成、價值與意義，幫助學生形成深層次、有意義、結構化和可遷移的概念體系，理解數學本質.單元教學是在整體思維指導下，在整體把握教材的基礎上，用全局的眼光、系統的方法，將教材中具有內在聯系的知識進行整合、重組并形成相對完整、動態的教學.單元教學幫助學生從更大的視角認識數學對象，學習數學思維方法，通過變換知識載體，從橫向和縱向打通知識間的聯系，實現對知識的內涵式理解和建構.《普通高中數學課程標準(2017年版)》在課程結構設計依據中提出：依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識間的關聯，重視數學實踐和數學文化.教師要整體把握教學內容，促進數學核心素養的連續性和階段性發展.教師要關注主題教學和單元教學，要關注數學核心素養發展的各階段目標、單元教學目標和課時教學目標的統一、關注數學目標對實現核心素養發展的貢獻.教師進行單元教學設計一般遵循“數學核心素養——主題目標——整章目標——單元目標——課時目標”的路徑，是“總——分”的過程，而學生學習則是按照“問題解決——課時目標——單元目標——整章目標——主題目標——核心素養”的路徑，是“分——綜”的過程，最終目標是學生綜合素養的提升.要實現這兩個過程的完美統一，關鍵是做好“整章——單元——課時”的教學設計，這是一個完整的系統.本面以等差數列前n項和公式為例談談大概念下的單元教學設計：整個單元分六個環節，具體如下：單元統帥，引入課題→多種角度，探究公式→整體審視，解讀公式→分析條件，應用公式→函數視角，再認公式→梳理知識，構建網絡.本單元教學分兩個課時，第一課時：單元統帥，引入課題→多種角度，探究公式→整體審視，解讀公式；第二課時：分析條件，應用公式→函數視角，再認公式→梳理知識，建構網絡.

二、提取“大概念”，設計課時教學

如圖1所示，從宏觀層面來看，本單元教學的大概念是關于公式課和等差(等比)數列學習的學法指導.從中觀層面來看，本單元教學的大概念是數學思想方法.數學教學內容貫穿著兩條主線，即數學基礎知識和數學思想方法.數學基礎知識是一條明線，直接用文字形式寫在教材里，反映著知識間的縱向聯系.數學思想方法是一條暗線，反映著知識間的橫向聯系，隱藏在基礎知識的背后，需要加以分析、提煉才能使之顯露出來.數學教學中對提高學生的素質起著重要作用的，是在長期的數學學習中逐步形成的數學精神和數學思想方法.大概念引領下的數學教育更要重視數學思想方法的教學.本節課蘊含著豐富的數學思想方法，如分類討論思想、特殊到一般的思想、基本量思想、整體思想、方程思想、優化思想、裂項相消法、倒序相加法、歸納法等.從微觀層面來看，本單元教學的大概念是等差數列前n項和公式的推導過程、記憶、運用.下面是等差數列前n項和第一課時的教學設計：

圖1

1．單元統帥，引入課題

問題1前面我們學習了等差數列，等差數列的研究路徑是什么？

學生回答，教師補充：等差數列的研究路徑為：背景——定義——表示——性質——應用.

教師引導如何研究等差數列的性質呢？研究數學對象的性質就是研究它的組成要素以及相關要素之間的關系.等差數列的定義和性質都是通過“運算”得出來的，本節課我們繼續用“運算”來研究等差數列的一個重要性質——等差數列前n項和公式.

設計意圖：大概念下，在平時的教學中要重視學法的指導，等差數列的研究路徑和方法可為等比數列的研究路徑和方法提供指導.

問題2這是一堂公式學習課，我們已經學過了一些公式(比如對數運算的相關公式)，回顧一下公式學習的一般路徑是什么？

師生一起回顧公式學習的一般路徑：引入課題——公式推導——體會方法——公式記憶——公式應用(注意適用條件)——公式變形、拓展等.

設計意圖：再次回顧公式課學習的一般路徑，為后續自主學習提供指導.

2．師生交流，探究公式

方法一：首尾配對法

問題3前面我們學習了等差數列的重要性質有哪些？

學生回答，教師補充等差數列的重要性質并板書其中一個重要性質：若s,t,m,n∈N*,且s+t=m+n，則as+at=am+an.

問題4如何利用上述性質快速求出式子1+2+3+4+…+100的值？

學生回答：(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=5050.

問題5 令f(x)=x，如何用函數的觀點審視上述等式？學生易得如下等式：

f(1)+f(100)=f(2)+f(99)=f(3)+f(98)=…=f(50)+f(51).

設計意圖：為首尾配對法和倒序相加法作鋪墊.

問題6如何用數列語言表示上述等式？易得a1+a100=a2+a99=a3+a98=…=a50+a51.

問題7你能用剛才的方法快速求式子1+2+3+…+100+101的值嗎？

易得(1+101)+(2+100)+(3+99)+(4+98)+…+(50+52)+51=102×50+51=5151.

設計意圖：自然引出首尾配對法中對項數n分奇數與偶數討論，并為倒序相加法作鋪墊.

問題8將上述方法推廣到一般情形，如何利用上述性質快速求出1+2+3+4+…+(n-1)+n的值？

學生一般采用首尾配對法對項數n分奇數與偶數進行討論.教師肯定學生的思路，并引導學生看課本第19頁的規范書寫.

設計意圖：對n分奇偶討論在老教材里是沒有的，在新教材里先對n奇偶討論.新教材的設計更科學，顯示用新方法探究求等差數列前n項和的必要性.新教材的設計更自然，而且重視了數學思維的優化意識.

方法二：倒序相加法

問題9 在求n個正整數的和時，要對n分奇數、偶數進行討論，比較麻煩，能否設法避免分類討論？

教師引導學生回顧小學里梯形面積公式的推導.如圖2所示.

圖2

設計意圖：通過梯形倒置，把梯形的面積轉化成已知的平行四邊形的面積，這是形的倒置，為等差數列求和中的倒序相加法作鋪墊.

問題10堆放鉛筆的V形架如圖3，共100層，類比梯形面積公式的推導過程求共放了幾支鉛筆？

圖3

設計意圖：從宏觀上看，把三角形倒置，這是形的倒置；從微觀上看，每一層都對應著鋼管的數量，把三角形倒置，對應著數的倒置，從形的倒置自然過渡到數的倒置.

方法三：猜想歸納法

設計意圖：猜想歸納法是求數列通項和前n項和的常用方法，如果是解答題可用數學歸納法加以證明.

方法四：裂項相消法

設計意圖：裂項相消法是數列求和的重要方法，來源于課本又高于課本，因此很有必要挖掘裂項相消法.

3.整體審視，解讀公式

(1)兩個公式的聯系

(2)公式的幾何解讀

公式(1)的幾何解讀：把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形，如圖4所示.公式(2)的幾何解讀：倒置補一個梯形，把梯形補成平行四邊形，如圖5所示.

圖4 圖5

三、反思“大概念”，建議單元教學

大概念是一個具有復雜教育內涵的當代術語，只有深入把握和理解大概念，才能更好地在實踐中以大概念來引領課程設計和課堂教學.大概念是具有概括性、生成性和真實性的上位概念，可以超越特定的知識范圍，不局限于具體的事實和技能，而是關注更大的概念、原則和過程，并將其運用到真實的情境之中，它既能縱向聯系起學科內部知識，又能橫向聯系起跨學科知識，還能溝通學校教育與現實世界，是持久的、可遷移的.大概念又有多種表現形式，它并不局限于“概念”，能夠促進學生理解與遷移的概念、原理、原則、策略乃至技能，都可以稱之為大概念.

單元教學在一定程度上有利于學生形成結構化的知識體系，實現由淺層到深層次學習的跨越.單元教學注重學習任務引領，激發學生探究和求知的欲望，使學生在不斷深化大概念同時發展核心素養.同時大概念下的單元教學也對教師提出了更高的要求和挑戰，教師需認真研讀課程標準，精選教學主題，設計符合學生認知規律和發展需求的單元學習內容，促進學生深度學習，落實立德樹人的教育目標.建議教師在備課時要做到以下幾點：

1.認真解讀課標，分析核心素養.縱覽全章，與數列相關的核心素養主要包括數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模.與本單元“等差數列前n項和公式”相關的核心素養有：邏輯推理、數學運算、數學建模.在探索等差數列前n項和公式的過程中，發展邏輯推理能力、數學運算能力；通過運用等差數列前n項和公式解決實際問題發展學生數學建模能力.在本單元第一課時中，主要是發展學生的邏輯推理能力和數學運算能力.

2.透徹分析教材，明確教學內容.教師要仔細閱讀教材(包括章頭圖、閱讀與思考、探究等)，然后明確單元內容，再確定課時劃分、確定課時內容.

3.設計課時教學，滲透學法指導.到底要教學生什么？在教數學知識的同時，更重要的是要教學生會思考、提升數學素養.數學素養的提升要在平時的課堂學習中體驗、感受、領悟的.如在課時教學中，引導學生梳理學習等差數列的研究路徑；引導學生明確公式課的一般學習套路；引導學生將“首尾配對法”加工、完善成“倒序相加法”的過程中，對方法進行判斷、比較、改進，讓學生在理解算理的同時體會到如何思考問題.