一道三校聯考函數試題的再思考

廣東省廣州市鐵一中學 (510600) 何重飛

一、試題呈現

文[1]給出了該試題的詳細解答與評析，且對試題進行了本源探究與變式推廣，并就這類問題的高考備考提出了一些思考與建議.筆者從問題本質出發，探究得到了一些特殊函數具有的對稱性質，下面就這些性質與大家一起探討.

二、問題本質及函數的對稱性質

文[1]在題目解析中所提到的“注意到”、“觀察到”對于考生來講是比較難的，這也是題目的難點所在，函數的背后是否隱藏了某些對稱屬性？筆者研究后發現了其中的“秘密”，得出了一些特殊函數對稱性質.

證明性質1，先回顧以下定義：

定義設函數f(x)的定義域為I，若對?x∈I，有f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x))，則稱f(x)是以直線x=a為對稱軸的軸對稱函數； 若對?x∈I，有f(a+x)+f(a-x)=2b(或f(x)+f(2a-x)=2b)，則稱f(x)是以(a,b)為對稱中心的中心對稱函數.

特別的，當n=2時，可得：

推論1 已知f(x)為R上的偶函數，且a1,a2,a3成等差數列(或2a2=a1+a3)，若g(x)=f(x-a1)+bf(x-a2)+f(x-a3)+c，則g(x)是以直線x=a2為對稱軸的軸對稱函數.

延續性質1的探究思路，可得如下幾個性質和推論，詳細證明留給感興趣的讀者.

特別的，當n=1時，可得：

特別的，當n=2時，可得：

特別的，當n=1時，可得：

特別的，當n=2時，可得：

推論5 已知f(x)為R上的奇函數，且a1,a2,a3成等差數列(或2a2=a1+a3)，若g(x)=f(x-a1)+bf(x-a2)+f(x-a3)+c，則g(x)是以(a2,c)為對稱中心的中心對稱函數.

特別的，當n=2,3時得到：

推論6 已知f(x)為R上的奇函數.

(2)若a1,a2,a3成等差數列(或2a2=a1+a3)，且g(x)=kf(x-a1)f(x-a2)f(x-a3)+b，則g(x)是以(a2,b)為對稱中心的中心對稱函數.

三、對稱性質命題或其推論的簡單應用舉例

對稱性是函數的一種非常重要的性質，在歷屆高考和模擬試題中頻頻出現，這一類試題靈活性強，思維量大，要求學生有較高的抽象思維和數學素養，熟悉上述命題和推論可靈活應對和解決這一類問題，下面筆者舉例說明.

例1已知函數f(x)=2x2-2x+|x|+|x-1|+3，求滿足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范圍.