淺談問題情境教學模式在高等數學中的應用
——以第一類曲線積分為例

◇中原工學院 陳仁霞 李士生

高等數學作為大學中一門重要的基礎課程，具有內容難度大、周期長等特點,學生學習面臨不少問題。本文建議采用“創設情境提出問題講授新知解決問題”的教學過程展開高等數學教學，融入數學建模思想和課程思政元素，增加課堂的趣味性，從而培養學生的邏輯推理和抽象思維能力，提高分析問題和解決問題的能力。本文以第一類曲線積分為例，深入討論問題情境教學模式在工科各專業高等數學教學策略中的應用。

高等數學（高數）作為高校理工科專業學生的一門重要基礎課程，具有知識點多、學習周期長、課時緊張、理解困難等特點[1]。許多大學生覺得高數比較抽象，學習意義不大，在學習中容易產生單調枯燥的感覺，從而削弱乃至喪失學習興趣，導致高數掛科率較高。在傳統的高數教學中，往往偏向于學生對特定方法和知識點的傳授，關注解題技巧較少，甚少要求學生發掘和解決生活中的具體問題，對學生創新意識和能力的培養不夠。基于此，如何提高教學質量、激發學生學習高數的興趣、培養學生的創新能力變得尤為重要。

1 教學現狀分析以及相應措施

近幾年，關于高數相關的課堂教學改革開展得如火如荼，與以往傳統的教學方法相比，雖然課堂教學有了一定的改善和進步，但課堂氛圍還不夠濃厚，精彩度不高，導致學生學習的興趣和積極性偏低。同時，大學一年級的學生所處的年齡階段，形象思維強于抽象思維。為了解決這一矛盾，我們從學生的知識和能力背景出發，依照科學研究和知識認知的規律，構建以問題為中心，以學生為本的高數課堂教學實踐，實現了將抽象的數學概念形象化，提升學生的自主學習能力和知識運用能力。

一堂高數課的引入是否恰當是一節課是不是“高效”的核心，有效地創設情境引入不僅能吸引學生的興趣和積極性，而且能起到事半功倍的效果。課堂是教學的主陣地，為了改變以往高數課堂的填鴨式教學，從教學需要出發，創設與教學內容相關的場景和氛圍，從而激發學生的共鳴，喚醒學生的思維認知，提高學生的學習內驅力，引導學生主動參與到課堂的各個環節，培養學生的數學學習興趣。作者認為“問題情境教學法”可有效提高課堂效率，問題情境教學法一般認為是由美國教育學家布魯納提出的，他指出對學習者最有意義的對象一定是學習者經歷了對學習資料的自身體驗和發展過程挖掘出來的。為了吸引學生的思考和興趣，課堂知識點的闡釋需要有相關的情境展示，而創設情境不僅要聯系生活實際，而且要符合學生的認知水平，讓學生積極主動參與課堂并思索問題的解決方式。

據了解，大多高校高數教師對問題情境教學模式是有了解的，但具體應用到課堂教學的并不多，原因在于認為情境教學有些牽強，不能很好地應用于高數課堂。問題情境教學法需要教師做大量的課前準備，才能將數學知識的淵源背景和實際生活場景聯系起來，這無疑要增加教師的工作量。為此，在課前準備中，教師自身要有淵博的知識儲備，包括對知識淵源的把控，知識點在生活中有哪些應用，講授中如何設疑方便學生自然融入角色等，這樣方能把問題情境模式運用好，教學質量將有質的飛躍。我們建議按章節把查找相關知識實際背景的任務分配到高數課程組教師，教師經過整理后添加到課件中。

2 第一類曲線積分的教學過程

高數的課堂教學不僅要求教會學生相應的數學知識，而且要求學生能夠用所學的數學知識分析和解決實際問題，從而達到教書育人的目標[1]。在高數課堂教學中，教師要突破教材的限制，由實際問題引出抽象的數學理論，讓學生在充分了解數學知識的同時，注重理論結合實際，拓展延伸課堂教學內容。我們建議在高等數學教學中采用“創設情境—提出問題—講授新知—解決問題”的教學模式。

多元函數積分學是理工科學生學習高數的重點和難點，共分為六類：二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分。由于積分類型眾多，學生特別容易混淆。若能把積分定義和實際問題建立聯系，讓同學們體會到進一步學習和探究的必要性，可提高學生的學習興趣。下面我們將按照學生的求知規律，基于客觀實際，遵循“提出問題—分析問題—解決問題—推廣應用”的思路，以“第一類曲線積分”為例，對問題情境教學模式展開介紹。

2.1 創設情境

首先，教師PPT展示各種建筑的承重梁設計、直流特高壓輸電線路等，引出曲線形構件質量的思考。通過這些生活問題引發思考，既具有時代氣息，貼近生活，帶給學生切身體驗，又能激發學生的求知欲和學習興趣。進而，著重介紹設計師設計項鏈的質量[2]：為了美觀，設計師設計項鏈的各部分粗細程度往往不一樣，即密度是連續但不均勻的，但是無論把項鏈放在任何位置，從幾何上看，它都是一個曲線形物體，從而該問題可轉化為求解密度不均勻曲線形物體的質量問題。學生們會疑惑：有的曲線形物體（比如項鏈）是有寬度的，為什么可以理解成曲線呢？討論：項鏈的寬度遠遠小于長度，我們把寬度都體現在密度函數上，比如比較粗的部分，密度函數取值大一些，比較細的部分，密度函數取值小一些，所以可以理解為曲線形物體。通過課堂實踐，使學生深入了解第一類曲線積分的實際背景，將實際問題抽象化和具體化，讓學生體會到科學探討的必要性，學習積極性進一步提高。

2.2 提出問題

在解決上述問題之前，教師以學生熟悉的定積分為切入點，利用經典的元素法，即“分割—近似—求和—取極限”，求解密度不均勻直細棒的質量：當我們把直細棒拉伸扭曲就得到密度不均勻的彎曲細棒，進一步探討彎曲細棒的質量求解問題，即研究曲線形構件的質量問題。這里采用由已知探求未知的過程，使學生運用已有知識逐步遷移解決新的問題。

2.3 講授新知

（1）定義：通過多媒體的動態演示，讓學生自然猜想到可以利用經典的積分思想來求解彎曲細棒的質量，可得到一個和式的極限在解決其它問題時也會用到這種和式的極限，從而拋開問題的背景，抽象出一個數學概念，即第一類曲線積分積分的思想告訴學生可以將生活中的復雜問題簡單化，把大目標分割成階段性容易實現的小目標，久而久之就可以實現夢想。

（2）性質：首先讓學生回顧定積分和重積分有哪些性質，在學生進行一番大腦思索后，進而和學生一同分析：第一類曲線積分和定積分、重積分從定義來看都可歸結為“和式的極限”，是否具有相似的性質，最后用簡單明了的語言和具體實例引導學生總結相應的性質。

（3）幾何意義：數形結合貫穿于整個高數的知識體系，其核心是通過直觀形象的圖形展示抽象的數學語言，使空洞抽象的數學問題形象化、具體化、可視化，方便駕馭數學問題的實質[3]。從數形結合的視角結合定積分的幾何意義，給出第一類曲線積分的幾何意義，可描述如下：定積分的幾何意義為曲線梯形的面積，當我們把曲邊梯形卷起來（見圖1）就得到一個柱面，原來的高就變成空間直角坐標系的曲面積分范圍由二維坐標系中軸上的閉區間推廣到三維坐標系中面上的一條曲線。進而展示，幾何意義的實際應用（見圖2）：上海復興藝術中心的可移動的流蘇幕簾的面積，即柱面的面積。

圖1 第一類曲線積分的幾何意義

圖2 上海復興藝術中心流蘇幕簾

（4）計算公式：培養學生運用融會貫通、相互聯系、知識遷移的方式學習高數課程。課堂講授中，引導學生弄清后續概念和前續概念的區別與聯系，辨別概念的內涵與外延，加深相關知識的理解和掌握。對于一些具有相似或聯系的知識模塊，著重引導學生區分它們之間的不同點和相同點，讓學生能夠全局把握高等數學的知識體系。

首先，教師板書寫定積分的應用—平面曲線的弧長計算公式以及第一類曲線積分定義公式然后，提出問題：那么這兩種公式是否存在聯系呢？如何進行分析呢？其實只要認真觀察兩個式子，就會發現其中的玄機[5]。一是肯定和鼓勵學生得到的結論，二是啟發學生繼續探索：弧長計算公式和第一類曲線積分都與曲線有關，前者計算曲線的長度，后者計算曲線的質量，從形式上觀察，后者比前者多了一個被積函數，但是被積函數是定義在積分曲線上的，所以中的變量和應該滿足積分曲線的方程，這樣被積函數就可以轉化為一元函數，這時可以大膽假設第一類曲線積分是否也可以轉化為定積分來計算呢？引出第一類曲線積分計算方法的定理，利用元素法進行驗證定理的正確性。

2.4 解決問題

將數學建模元素融入高數課堂，培養學生利用所學知識解決實際生活和生產中涌現的實際問題的能力。做足功課之后，理論指導實踐，解決開篇問題，有始有終地展開教學—利用第一類曲線積分計算項鏈的質量。建立模型：如果項鏈纏繞成半徑為10cm的圓，由項鏈的密度函數在曲線上的積分，即為項鏈的質量。

分析問題：已知線密度在曲線上的積分表示曲線形物體的質量。模型中密度函數是給定的，曲線方程怎么表示呢？引導學生將實際問題用數學語言來描述。可以把曲線（圓）的參數方程表示為，運用上面的計算公式可得項鏈的質量為：

2.5 歸納總結

歸納總結既是教學課堂的一個重要環節，又是學好高數的一個重要方法。在教學任務的最后階段，教師可以勾畫思維導圖（見圖3），引導學生梳理知識，鞏固重難點，總結課堂中涉及的知識點、技巧、方法等，加強學生邏輯推理能力的培養。延伸第一類曲線積分在生活中的應用，大型建筑的承重梁設計，測電壓輸電線路，讓學生們體會到數學來源于生活，服務于生活，使學生能夠對第一類曲線積分有更加深入地直觀認識和理解。同時融入思想政治元素，引導學生透過現象看本質，有利于激發學生深入思考問題，整合價值觀念，凝聚共同力量。通過第一類曲線積分在鳥巢承重梁的設計這一偉大工程中的應用，切實幫助大學生樹立中國特色社會主義道路自信、科學自信、文化自信。

圖3 課堂小結思維導圖

2.6 教學效果分析

通過近兩年問題情境教學模式在本人授課班級的實施，同時在課堂中融入課程思政元素，結合課上課下的習題和作業反饋，綜合過程考核和期末考試情況分析，所作的第一類曲線積分教學設計，不僅傳授了課程知識，而且從多維度提高了教學質量，實現了教學改革的目標。首先，通過具體生活實例引入，讓學生了解第一類曲線積分的研究背景，即創設合適的情境提出來源于實際生活的問題；其次，由定積分的實際應用出發進行剖析，與當前問題進行類比，讓學生明確研究思路，即總結已有知識并進行拓展和創新，明確提出第一類曲線積分概念的必要性；此外，在了解了第一類曲線積分的性質和物理意義、幾何意義的基礎上，掌握了第一類曲線積分的計算公式，解決了開篇問題：項鏈質量的求解。

3 結束語

在高數課堂中，教師按照不同的知識模塊和所授專業的學生創設不同的問題情境，不僅能夠完備學生的知識結構，刺激學生的鉆研欲望，深化學生的求知意識，推動學生的創新動機，而且能夠有效地提升高數課堂的教學效果。又如在梯度概念的課堂教學設計中，通過引入黃河水和瀑布水流向的實例，學生可以明晰梯度概念的研究背景。高數教學模式的改進，一直是高校數學教師努力的方向之一，如何進行行之有效的課堂教學設計是關鍵。基于問題情境模式的課堂教學設計可以有效地促進師生互動，加大學生參與度，提升學生學習激情，進一步提高教師的教學質量。