基于Simulink/SimMechanics的四足機器人足端軌跡規劃及動態仿真分析

黃照翔，頡潭成,2*，徐彥偉,2，王亞鋒

（1.河南科技大學 機電工程學院，洛陽 471003；2.智能數控裝備河南省工程實驗室，洛陽 471003）

0 引言

四足機器人具有良好的運動性能和環境適應性，在復雜多變的路況能穩定運動，被廣泛應用于軍事、救援、環境探測等領域[1]，因此對四足機器人步態運動規劃，足端軌跡規劃的研究成為當今眾多學者研究的熱點，而足端軌跡規劃的好壞直接影響了四足機器人運動的平穩性，機構的使用壽命等。目前應用比較廣泛的足端軌跡規劃函數有多項式運動軌跡、橢圓運動函數、擺線運動函數等[2]，為了足端軌跡能更好的適應環境變化，很多研究者都會對這些函數進行改進。例如，日本學者Yoshihiro SAKAKIBARA[3]等人對正弦函數存在的缺點進行改進，提出了在前進方向和豎直方向上的加速度采用正弦函數的方法；韓國漢陽大學的Kyeong YongKim[4]等人把橢圓運動規律作為足端運動的軌跡，并且可以通過改變橢圓的短軸，長軸以及中心點的位置來改變橢圓的形狀使足端軌跡適應不同的環境；北京理工大學的王立鵬提出了一種零沖擊軌跡規劃方法[5]，該方法采用復合擺線的方式對足端進行軌跡規劃，保證了足端位移函數和速度函數的連續性、可導性，使足端在落地時的速度和加速度為零；山東大學提出了一種多項式足端運動軌跡[6]，在擺動相和支撐相都采用三次多項式作為軌跡函數；上海交通大學的何東青對修正擺線足端軌跡進行了改進[7]，將足端擺動相的運動軌跡劃分三個階段抬腿、跨步、落足，為了使跨步階段的速度恒定，將該階段的加速度設為零，同時保證抬腿和跨步兩個階段的加速度為正弦函數。為了使四足機器人在行走過程中足端運動更加平穩，本文將運用改進型等速運動規律與疊加擺線運動規律復合的方法對四足機器人的足端進行軌跡規劃，并在建立的四足機器人動態模型中分析其有效性和可行性。

1 足端軌跡規劃

對四足機器人的足端軌跡進行運動軌跡規劃，首先要明白四足機器人步態行走的過程，即四足機器人各腿之間在擺動相和支撐相來回切換的一個行進過程。支撐相和擺動相是描述單腿運動的兩個狀態[8]，支撐相是指四足機器人的單腿足端與地面相接觸，承載著機器人的負載，并且通過關節相位變化推動機器人的重心在前進方向移動。擺動相是指單腿足端從開始離開地面邁腿后落地的一個狀態，而擺動相決定著機器人在單個步態時抬腿的高度和步距的大小。在擺動相和支撐相來回切換時，處于擺動相的足端在落地時會與地面產生一定的沖擊造成機體的振動，所以對足端進行軌跡規劃主要是對擺動相進行無沖擊的軌跡規劃設計[9]。對支撐相進行軌跡規劃時我們應盡量使機身與地面保持水平，避免軀干起伏，為了同時能夠保證足端與地面之間沒有相對滑動的趨勢，將足端軌跡采用勻速直線運動[10]，從而完成機體的向前移動。四足機器人單腿在一個步態周期內的足端軌跡規劃運動過程如圖1所示。

圖1 單腿足端軌跡運動過程圖

1.1 改進型等速運動規律規劃

改進型等速運動規律是一種組合型運動規律，就是幾種不同運動規律組合在一起而設計出的運動規律，組合時不同的曲線在拼接處必須保持連續，即拼接處的位移，速度，加速度要相同。改進型等速運動規律是在等速運動規律的基礎上，為了保證等速運動的同時速度又不會產生突變，將正弦運動規律與等速運動規律組合而成。這種方法通常是在等速運動曲線的1/4周期和3/4周期處拼接半個周期的正弦加速度運動曲線，這樣可以使兩個曲線在拼接處的加速度為零，防止速度和位移產生突變，這種組合方式是一種無剛性和柔性沖擊的運動規律?；诖宋覀兛梢缘贸龈倪M型等速運動規律的位移曲線；

有邊界條件t=0時S=0且t=T時S=S0，可以求得待定系數A的值：

式中t∈[0，T]，T為運動周期，為運動行程，有式(1)～式(3)可以得出改進型等加速運動規律的位移曲線圖，如圖2所示。速度曲線圖，如圖3所示。加速度曲線圖，如圖4所示。

圖2 位移曲線圖

圖3 速度曲線圖

圖4 加速度曲線圖

1.2 疊加擺線運動規律規劃

疊加擺線運動規律是將兩條不同周期的擺線運動進行疊加形成的運動規律，疊加形成的擺線與擺線運動規律相比速度曲線中間段為等速，運動更加平穩，加減速的運動效率更高，并且沒有剛性和柔性沖擊。擺線運動規律的位移曲線為S0(t)，則位移如式(4)所示：

設兩條相加的擺線位移曲線為：S1(t)，S2(t)。

疊加擺線運動規律位移曲線為S(t)則：

式(7)中t∈[0，T]，T為運動周期，a，b為兩條疊加擺線的系數，有式(7)可得疊加后的擺線位移曲線圖，如圖5所示；速度曲線圖，如圖6所示；加速度曲線圖，如圖7所示。

圖5 疊加擺線位移曲線圖

圖6 疊加擺線速度曲線圖

圖7 疊加擺線速度曲線圖

1.3 復合運動軌跡規劃

四足機器人的行走軌跡由單腿足端擺動相軌跡和支撐相軌跡組成，對足端軌跡實現規劃我們首先要確定軌跡的起始點，最高點，落足點的信息，然后運用復合運動合成軌跡。為了使機器人行走穩定在水平方向上使用改進型等速運動規律，運動周期為T，在豎直方向上的抬腿階段和落地階段使用疊加擺線運動規律，運動周期分別為T/2。由改進型等速運動規律和疊加擺線運動規律復合形成足端擺動相的運動軌跡，以勻速直線運動作為足端支撐相運動軌跡，足端軌跡如圖8所示。

圖8 足端軌跡位移曲線圖

2 動態仿真

為了驗證本文足端軌跡規劃方法的可行性，在MATLAB軟件的Simulink中建立四足機器人的動態仿真模型。四足機器人模型實現動態行走目前主要依賴于運動學關系的實現[11]，其次是機器人足端與地面接觸力的模型設計。所以首先要建立單腿的運動學模型，通過幾何解析法推導正逆運動學方程，然后將規劃好的足端軌跡坐標函數通過逆運動學方程得出每個位置坐標點對應的髖關節和膝關節的關節角度變量，將這些關節角度變量作為仿真模型的驅動變量實現足端軌跡行走，軌跡仿真模塊如圖9所示。足端與地面接觸力模型的建立采用External Force and Torque模塊，該模塊代表一個外部機構施加在剛體上的一般力和力矩，而地面對足端的接觸力是一種阻尼力其大小與足端位移速度以及阻尼系數相關，足端與地面接觸力模型如圖10所示。

圖9 軌跡模塊仿真圖

圖10 足端與地面接觸力模型仿真圖

在動態模型建立的基礎上，以四足機器人的Trot步態為例，分別對改進型等速運動規律與疊加擺線運動規律復合形成的足端運動軌跡和復合擺線足端運動軌跡進行仿真，對比分析這兩種足端軌跡在直角坐標空間和關節空間的運動特性，動態仿真模型如圖11所示。

圖11 四足機器人動態仿真圖

2.1 直角坐標空間足端軌跡運動仿真

由仿真得到四足機器人在直角坐標空間下的運動曲線，在基于改進型等加速運動與疊加擺線運動復合而成的軌跡規劃方法下，其足端速度，加速度曲線，如圖12(a)、圖13(a)所示。在基于復合擺線運動規律的軌跡規劃方法下，其足端速度，加速度，如圖12(b)、圖13(b)所示。

圖12 速度曲線

圖13 加速度曲線

2.2 關節坐標空間足端軌跡運動仿真

通過仿真得到四足機器人在關節坐標空間的運動曲線，在基于改進型等加速運動與疊加擺線運動復合而成的軌跡規劃方法下，其髖關節和膝關節的角度變化曲線如圖14(a)所示，角速度曲線如圖15(a)所示，角加速度曲線如圖16(a)所示。在基于復合擺線運動規律的軌跡規劃方法下，其髖關節和膝關節的角度變化曲線如圖14(b)所示，角速度曲線如圖15(b)所示，角加速度曲線如圖16(b)所示。

圖14 關節角位移曲線圖

圖15 關節角速度曲線圖

圖16 關節角加速度曲線圖

3 對比分析

由圖12足端速度曲線可知，兩種復合運動軌跡的速度曲線都相對平滑，自然，沒有尖點出現。而改進型等加速運動與疊加擺線運動復合形成的速度曲線與復合擺線形成的速度曲線相比，其速度峰值有所降低，速度變化的波動范圍有所下降，而且在水平方向和豎直方向上都有較長的勻速運動階段，在前進和抬腿方向運動更加平穩。由圖13足端加速度曲線可知，兩條復合運動軌跡的加速度曲線在峰值上并無明顯的變化，但改進型等加速運動與疊加擺線運動復合形成的加速度曲線與復合擺線形成的加速度曲線相比，其加減速時間明顯縮短，加減速過程更快，運動效率較高。有表一可得，復合運動軌跡在水平方向和豎直方向的速度峰值均減少了30%左右?？傮w來說基于改進型等加速運動與疊加擺線運動復合形成的足端軌跡在水平與豎直方向都能長時間保持勻速，而且速度峰值有所降低，加減速效率更高，運行較平穩。

由圖14關節角位移曲線可知，兩種軌跡規劃方法下的角位移都相對平滑、自然，無劇烈波動現象，關節角位移峰值無明顯差別。由圖15關節角速度曲線得，改進型等加速運動與疊加擺線運動復合形成的角速度運動曲線與復合擺線的角速度運動曲線相比，峰值得到降低，而且峰值處變化比較平緩，無突變現象。由圖16關節角加速度曲線得，兩種軌跡的膝關節角加速度曲線走勢基本一樣，但改進型等加速運動與疊加擺線運動復合形成的髖關節角加速度運動曲線與復合擺線的髖關節角加速度運動曲線相比，減速過程中角加速度峰值較大，減速過程較快。有表二可得，復合運動角速度降低13%左右，角加速度增加43%左右?？偟膩碚f基于改進型等加速運動與疊加擺線運動復合形成的軌跡與復合擺線軌跡規劃相比，在關節空間，其角速度曲線變化平穩，加減速過程加快。

表1 直角坐標空間運動狀態對比

表2 關節坐標空間運動狀態對比

4 結語

本文利用改進型等加速運動規律與疊加擺線運動規律復合運動對四足機器人足端軌跡進行規劃，并在MATLAB的Simulink中建立四足機器人的動態仿真模型，分析四足機器人足端在直角坐標空間的軌跡曲線，以及膝關節和髖關節下的角度變化曲線。研究結果表明：1）改進型等加速運動規律與疊加擺線運動規律復合形成的足端軌跡曲線在豎直方向與水平方向都有一段勻速運動階段，而且落地速度為零，使得整體運動更加平穩。2）膝關節和髖關節的角度，角速度，角加速度變化曲線都相對光滑、連續、無尖點出現減小了運動過程中的振動。