分層抽樣
———統(tǒng)計(jì)中的一朵“玫瑰花”

■冉亞利

分層抽樣是歷年高考的重要考點(diǎn)之一,高考常把分層抽樣與頻率分布、分層抽樣與概率結(jié)合起來進(jìn)行考查,也反映了高考的命題方向。這類問題,難度不大,但考查的知識面較廣,值得同學(xué)們重視。

一、分層隨機(jī)抽樣的概念

例1 下列問題中,最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是( )。

A.從20名同學(xué)中抽取5人參加座談會

B.某社區(qū)有500 個(gè)家庭,其中高收入的家庭125戶,中等收入的家庭280戶,低收入的家庭95 戶,為了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo),要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本

C.從1000名工人中,抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間

D.從生產(chǎn)流水線上,抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量

A 中總體所含個(gè)體無差異,且個(gè)數(shù)較少,適合用簡單隨機(jī)抽樣。C和D中總體所含個(gè)體無差異,但個(gè)數(shù)較多,不適合用分層隨機(jī)抽樣。B中總體所含個(gè)體差異明顯,適合用分層隨機(jī)抽樣。應(yīng)選B。

評注:分層抽樣的特點(diǎn):適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況;分層后,在每一層抽樣時(shí),可采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣。分層抽樣中分層的原則是層內(nèi)樣本的差異要小,兩層之間的樣本差異要大,且互不重疊;所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同。

二、求樣本容量

例2 某中學(xué)有高中生3500人,初中生1500人,為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n=( )。

A.80 B.100

C.120 D.140

那時(shí)哥們兒朝洛蒙祖墳還沒有冒白煙，還沒有提升為銷售助理，還和我們擠在十平米大小的“煙箱子”里。媳婦來了，租不起賓館，倆人就在“煙箱子”眉來眼去地膩歪著，害得我們哥幾個(gè)晚上有“家”不能歸，只在街上瞎逛。羊肉串吃得沒滋味，就去火車站胡同里的小旅店看港臺的武打劇或毛片。但還是出了事。哥們兒朝洛蒙和媳婦在“煙箱子”里時(shí)，被廠里管后勤的經(jīng)理撞到了，當(dāng)成賣淫嫖娼的把他們揪到保安室。幾個(gè)保安輪流審訊，好在他媳婦還算是有心人，來時(shí)把結(jié)婚證揣在兜里。媳婦掏了結(jié)婚證，給保安看了，保安才放過他們。這事在廠里傳揚(yáng)開來。媳婦臊得要死，咬牙切齒跟哥們兒朝洛蒙說，再也不來這座沒有人性的狗屁城市了！

三、求總體容量

例3 交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況,對甲,乙,丙,丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查。假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員96人。若在甲,乙,丙,丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為( )。

A.101 B.808

C.1212 D.2012

評注:解決分層抽樣問題,關(guān)鍵是求出抽樣比。求解此類問題的難點(diǎn)為注意分析是否需要剔除個(gè)體。

四、求層中樣本容量

例4 某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷 調(diào) 查,從8～10 歲,11～12 歲,13～14歲,15～16歲四個(gè)年齡段回收的問卷依次為120份,180份,240份,x份。因調(diào)查需要,從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本,其中在11～12歲學(xué)生問卷中抽取60份,則在15～16歲學(xué)生中抽取的問卷份數(shù)為( )。

A.60 B.80

C.120 D.180

五、分層抽樣的設(shè)計(jì)

因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系,所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯,因而采用分層隨機(jī)抽樣的方法。

具體抽取過程如下:第1步,將3萬人分為5層,一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層。第2步,按照抽樣比求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60,40,100,40,60。第3步,采用簡單隨機(jī)抽樣的方法,按照各層抽取的人數(shù)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的樣本。第4步,將300人合到一起,即得所需樣本。

評注:分層抽樣法也叫類型抽樣法。它是從一個(gè)可以分成不同子總體(或稱為層)的總體中,按規(guī)定的比例從不同層中隨機(jī)抽取樣本(個(gè)體)的方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是樣本的代表性比較好,抽樣誤差比較小;缺點(diǎn)是抽樣手續(xù)較簡單隨機(jī)抽樣還要繁雜些。

六、分層隨機(jī)抽樣的均值

例6 某學(xué)校高一年級在校人數(shù)為600,其中男生320人,女生280人,為了解學(xué)生的身高信息,按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取50名男生身高為一個(gè)樣本,其樣本平均數(shù)為170.2cm,抽取50 名女生身高為一個(gè)樣本,其樣本平均數(shù)為162cm,則該校高一學(xué)生的平均身高的估計(jì)值為____。