分層抽樣——統(tǒng)計中的一朵“玫瑰花”

冉亞利

分層抽樣是歷年高考的重要考點之一，高考常把分層抽樣與頻率分布、分層抽樣與概率結(jié)合起來進行考查，也反映了高考的命題方向。這類問題，難度不大，但考查的知識面較廣，值得同學們重視。

一、分層隨機抽樣的概念

例1 下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是（）。

A.從20名同學中抽取5人參加座談會

B.某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本

C.從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時間

D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量

解析A中總體所含個體無差異，且個數(shù)較少，適合用簡單隨機抽樣。C和D中總體所含個體無差異，但個數(shù)較多，不適合用分層隨機抽樣。B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣。應選B。

評注：分層抽樣的特點：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況;分層后，在每一層抽樣時，可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣。分層抽樣中分層的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊;所有層中每個個體被抽到的可能性相同。

二、求樣本容量

例2 某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層隨機抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n=（）。

A.80

B.100

C.120

D.140

解析

評注：對于分層隨機抽樣，，總體中某兩層的個體數(shù)該層的個數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比。

三、求總體容量

例3 交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，對甲，乙，丙，丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查。假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人。若在甲，乙，丙，丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12，21，25，43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為（）。

A.101

B.808

C.1 212

D.2 012

解析

評注：解決分層抽樣問題，關(guān)鍵是求出抽樣比。求解此類問題的難點為注意分析是否需要剔除個體。

四、求層中樣本容量

例4 某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷調(diào)查，從8～10歲，11～12歲，13～14歲，15～16歲四個年齡段回收的問卷依次為120份，180份，240份，x份。因調(diào)查需要，從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，其中在11～12歲學生問卷中抽取60份，則在15～16歲學生中抽取的問卷份數(shù)為（）。

A.60

B.80

C.120

D.180

解析

評注：

五、分層抽樣的設(shè)計

例5 一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3：2：5：2：3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應采取什么樣的方法。寫出具體過程。

解析因為疾病與地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層隨機抽樣的方法。

具體抽取過程如下：第1步，將3萬人分為5層，一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層。第2步，按照抽樣比求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應抽取的人數(shù)分別為60，40，100，40，60。第3步，采用簡單隨機抽樣的方法，按照各層抽取的人數(shù)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的樣本。第4步，將300人合到一起，即得所需樣本。

評注：分層抽樣法也叫類型抽樣法。它是從一個可以分成不同子總體（或稱為層）的總體中，按規(guī)定的比例從不同層中隨機抽取樣本（個體）的方法。這種方法的優(yōu)點是樣本的代表性比較好，抽樣誤差比較小;缺點是抽樣手續(xù)較簡單隨機抽樣還要繁雜些。

六、分層隨機抽樣的均值

例6 某學校高一年級在校人數(shù)為600，其中男生320人，女生280人，為了解學生的身高信息，按分層隨機抽樣的方法抽取50名男生身高為一個樣本，其樣本平均數(shù)為170.2cm，抽取50名女生身高為一個樣本，其樣本平均數(shù)為162cm，則該校高一學生的平均身高的估計值為。

解析

評注：

作者單位：湖北省巴東縣第一高級中學

（責任編輯郭正華）