基于概率統計的復合材料殼體的可靠性分析①

王 瑩，張愛華，李 侃

(中國航天科技集團有限公司四院四十一所，西安 710025)

0 引言

在確保固體火箭發動機可靠性的基礎上，降低其結構質量對于提高飛行器性能和降低成本都具有十分重要的意義。為此，設計人員在傳統固體火箭發動機設計計算模型和大量工程試驗的基礎上，從可靠性分析方法上進行了不斷的改進和嘗試。固體火箭發動機的可靠性是指在給定工作條件下，能使發動機性能保持在允許范圍內，不發生發動機失效的能力，通常包含結構可靠性和性能可靠性。航天結構可靠性設計可通過結合航天結構試驗數據統計分析、可靠性分配、可靠性預測、可靠性設計和可靠性評估，達到提高航天產品質量、經濟效益、設計水平的目的。

美國在發展阿波羅計劃期間，為節約成本，對固體助推器的可靠性進行了仿真研究，到20世紀80年代末，該仿真方法已在各種固體火箭發動機上正式使用。可靠性仿真技術的出現使得固體火箭發動機的地面試車次數大大降低。國內也在不斷地發展可靠性設計分析方法。1986年，馮連勝采用韋伯分布描述了超高強度鋼制成的固體火箭發動機金屬殼體的破壞應力分布，并估算了固體火箭發動機殼體的結構可靠性。1988年，王松柏提出固體火箭發動機殼體的強度與溫度、時間等因素相關，進而分別采用半隨機和全隨機過程對固體火箭發動機殼體的動態可靠性設計方法進行了論述。1991年，張國安報道了這一種考慮固體火箭發動機殼體靜力破壞和殼體材料斷裂韌性要求的殼體厚度可靠性設計方法。結果表明，殼體厚度存在一個最佳范圍，并非越大越好。1992年，黃世榮采用正態分布描述殼體的結構參數和力學參數，并引入可靠性安全系數(平均強度與平均載荷之比)對固體火箭發動機殼體結構進行設計。可靠性安全系數法既有可靠性設計的科學性，又具有類似于傳統安全系數法的方便性。通過可靠性安全系數設計固體火箭發動機殼體，能夠在保證固體火箭發動機結構可靠性的同時又能優化固體火箭發動機的結構質量。1995年，王錚推導了具有隨機變量指數的發動機工作壓強和燃燒室殼體彈塑性爆破壓強的均值、標準偏差的表達式，得到了傳統安全系數與可靠性概率的關系。任國周等以某固體發動機殼體強度作為結構可靠性主要因素，依據研制過程中積累的大量試驗數據，對評估發動機結構可靠性的總體變異系數法和樣本變異系數法進行了探討，并舉例對某產品的結構可靠性進行了計算和評定。1996年，譚三五報道了基于網格理論的復合材料殼體結構可靠性數字仿真方法及程序。該仿真方法結合偽隨機數法和試驗修正法描述固體火箭發動機復合材料殼體的各項參數在均值附近的波動。此篇報道預示著國內固體火箭發動機數字仿真工作的起步。2002年，徐志高等研究了金屬固體火箭發動機殼體的可靠性數字仿真及其程序，并用混同法產生的偽隨機數對殼體的可靠性進行了仿真計算。2005年，陳順祥等利用隨機有限元對具有隨機因素影響的復合材料結構進行分析及可靠性計算，并在此基礎上進行可靠性優化設計的探討。2006年，沈軍進行了CFRP纏繞壓力容器在纏繞工藝過程中和內壓作用下的可靠性研究，編制了基于MATLAB的Monte Carlo可靠性計算軟件，實現了CFRP纏繞壓力容器可靠性分析與設計，并通過水壓爆破試驗進行了驗證，最終在大量試驗基礎上，推導出了CFRP壓力容器的可靠性安全系數。2009年，路智敏等從薄膜理論和網格理論推導出的公式出發，結合碳纖維纏繞復合材料壓力容器的爆破試驗，分析了CFRP固體火箭發動機殼體爆破壓強變異系數和其他參量變異系數的關系。同年，路智敏基于無力矩理論及彈性失效設計準則中的第一強度理論，利用可靠性設計中的二階矩法分別推導出了球形殼體、橢球形封頭、蝶形封頭及錐形殼體的可靠度表達式。2019年，林峰等在考慮復合材料回轉結構中各參數和載荷隨機性的基礎上，利用有限元軟件以某航天用壓力容器為算例，建立了該結構的可靠性分析模型，實現了該復合材料回轉結構的隨機可靠性預測分析和優化設計。羅惠敏等采用JC法(可靠度計算方法)和第四強度理論，推導了壓力容器橢球封頭和薄壁圓形筒體的可靠度計算公式，并采用ANSYS中蒙特卡洛可靠度計算方法，對上述公式的正確性進行了驗證。

為保證可靠性，采用傳統的安全系數法設計發動機復合材料殼體時，通常選取較高的安全系數，使得發動機殼體的質量占據發動機消極質量的較大比例。為了在保證殼體使用性的基礎上，適當減輕發動機殼體的質量，過去的研究對固體火箭發動機殼體的可靠性設計和可靠性分析進行了理論研究。但針對固體火箭發動機復合材料殼體，未見基于大量試驗數據統計的可靠性分析。本文首先對某復合材料發動機殼體的爆破壓強和發動機最大工作壓強進行了梳理統計。在此基礎上，根據固體火箭發動機殼體的可靠性設計方法，得到了纖維纏繞殼體設計的概率安全系數。進一步根據概率安全系數計算了發動機殼體設計的概率安全裕度。本文的結論是基于試驗結果統計分析得出的，對固體火箭發動機復合材料殼體結構的可靠性設計具有一定的參考價值。

1 發動機殼體可靠性設計基本理論

假設固體火箭發動機纖維纏繞殼體的性能參數與發動機最大工作壓強均服從正態分布，根據可靠性理論可知，殼體結構可靠性概率公式可化為標準正態分布，即殼體結構的可靠性概率為

(1)

或者

(2)

其中，為概率系數(即積分限)，可表達為

(3)

概率安全系數與、的關系式為=/，將其代入式(3)，可得概率安全系數與概率系數的關系式為

(4)

式中為殼體內壓爆破壓強的變異系數，=/；為發動機最大工作壓強的變異系數，=/。

對式(4)兩邊取平方后整理，可得(-1)+2+-1=0，繼而對該一元二次方程求解可得

(5)

可靠性概率與概率系數的對應關系可由正態概率積分得到，見表1。可根據殼體設計中的可靠性概率要求，由表1中查出概率系數的值，結合根據試驗獲取的殼體內壓爆破壓強的變異系數和發動機最大工作壓強的變異系數，并由式(5)計算概率安全系數，進而對殼體結構進行可靠性設計。

2 可靠性分析及設計

2.1 纖維纏繞殼體可靠性分析

為了研究發動機結構設計的可靠性，對某發動機的試車結果和其復合材料殼體內壓爆破試驗結果的數據進行采樣。將統計的殼體內壓爆破壓強子樣取平均值，并將各子樣除以平均值，以進行歸一化。采用同樣的方法處理發動機最大工作壓強，可得到圖1所示的歸一化殼體內壓爆破壓強和圖2所示的歸一化發動機最大工作壓強。

表1 可靠性概率與概率系數的關系

圖1 歸一化殼體內壓爆破壓強分布

圖2 歸一化發動機最大工作壓強分布

根據圖1和圖2中的數據，可得到歸一化爆破壓強和歸一化最大工作壓強的均值、標準差、變異系數，如表2所示。

表2 歸一化爆破壓強、最大工作壓強的均值、標準差、變異系數

將表2中的數據代入式(5)中，可得圖3所示的殼體概率安全系數與殼體結構可靠性概率關系的柱狀圖。圖3中，實測平均安全系數為實測發動機殼體爆破試驗的平均爆破壓強與實測發動機試車試驗的平均最大工作壓強之比，也即傳統的安全系數。相對于實測平均安全系數，概率安全系數更小。當殼體結構可靠性概率為0.999～0.999 999 99時，在1.126 1～1.232 9的范圍內。可見，根據傳統安全系數設計法設計的發動機安全性更高，但依據概率安全系數法設計的發動機，既保證了殼體結構的可靠性，又具有質量更輕、相對更節約成本的特點。

同時，根據概率安全裕度和概率安全系數的定義，可得兩者的關系式如下：

=-=(-1)·

(6)

進而可得到圖4所示概率安全裕度與可靠性概率的關系圖。圖4中，實測平均安全裕度為實測發動機殼體爆破試驗的平均爆破壓強與實測發動機試車試驗的平均最大工作壓強之差。可見，相對于實測平均安全裕度而言，根據概率安全系數設計的殼體概率安全裕度較低。

2.2 纖維纏繞殼體設計示例

復合材料殼體采用平面纏繞時，理論纏繞角為

(7)

式中為殼體前開口半徑；為殼體后開口半徑；為前封頭高度；為后封頭高度；為筒段長度。

圖3 安全系數柱狀圖

圖4 安全裕度柱狀圖

由網格理論，殼體筒段縱向纖維厚度：

(8)

環向纖維厚度：

(9)

式中為發動機最大工作壓強；為應力平衡系數；為纖維發揮強度。

假設殼體參數：=200 mm；=250 mm；=230 mm；=245 mm；=1000 mm；=9 MPa；=0.65；=2000 MPa；=400 mm。

將殼體參數、、、、代入式(7)，可得到纖維纏繞角為=17°。根據不同的可靠性要求在圖3中選取概率安全系數，再將、、、、、代入式(8)和式(9)，可得到殼體筒段纖維纏繞縱向厚度和環向厚度。

通常要求殼體結構可靠性概率在0.999及以上。當取實測平均安全系數為1.377 9時，纖維縱向厚度和環向厚度分別為2.12 mm和2.36 mm。取殼體結構可靠性概率為=0.999時，概率安全系數=1.126 1，概率安全裕度為1.134 9 MPa，相應的纖維縱向厚度和環向厚度為1.73 mm和1.93 mm。

若纖維密度為1.5 g/cm，且不考慮膠含量，那么采用實測平均安全系數時，殼體筒段質量為16.88 kg；當取概率安全系數=1.126 1，殼體筒段質量為13.81 kg。可見，相對于采用實測安全系數的情況，采用概率安全系數時，殼體筒段的質量降低了18.21%。

不同可靠性概率下，殼體筒段質量減輕百分比的計算結果見表3。根據計算結果可知，若采用概率安全系數設計殼體結構，在確保殼體可靠性的同時，能夠顯著減少發動機的消極質量，在殼體結構可靠性概率為0.999～0.999 999 99的條件下，殼體筒段質量能夠降低10.46%以上。

表3 不同可靠性概率下的殼體筒段質量減輕的百分比

3 結論

(1)相對于采用傳統安全系數法設計的發動機而言，采用概率安全系數法設計的發動機，其消極質量較低，殼體筒段質量能夠減輕10.46%以上；

(2)通過可靠性設計獲得殼體結構可靠性概率在0.999～0.999 999 99范圍內的概率安全系數為=1.126 1～1.232 9；

(3)殼體采用概率安全系數設計的概率安全裕度較實測安全裕度降低了38.39%以上(可靠性概率為0.999～0.999 999 99)。

采用傳統的安全系數法設計，使得發動機的可靠性較高，但同時伴隨較多的消極質量。建議根據實際使用、設計、生產具體過程，在充分考慮外載荷、藥柱完整性等具體設計需求和影響因素的基礎上，可適當地降低發動機殼體的安全系數。