淺談如何培養初中生數學課堂中自主學習的能力
——以“一次函數應用專題復習”為例

◎盧華嵐 雷業紅

(1.江蘇省儀征市第三中學，江蘇 揚州 211400；2.江蘇省儀征市月塘中學，江蘇 揚州 211400)

自主學習，顧名思義就是讓學生主動地進行學習，也就是所謂的“讓學”.這種學習理論是由德國海德格爾提出的.“讓”在中國詞語當中有著這樣的含義:就是將好處讓給他人.如果將其應用到教學當中，其主要強調了教學當中的開放性、多元性及互動性特點.“引思”在教學當中發揮的作用也至關重要，其主要是指當學生在學習當中遇到問題時，老師要根據問題給予學生正確的點撥和引導，讓學生能夠在發現問題時根據老師的點撥進行思考，這也是鍛煉學生主動發展思維的主要途徑.“引思”的關鍵是對學生進行點撥和啟發.“讓”和“引”之間是可以相互作用、相互互補的.“讓學引思”這一教學理論能夠更好地鍛煉學生自主學習的能力，同時對老師提出更高的課堂教學要求，要求老師必須培養學生在課堂上活躍的思維能力和思維狀態，并且能夠全面激發他們的想象力和創新力.筆者在2019年揚州中考數學研討會中開設了一節“一次函數專題復習”公開課，下面就整節課的構思談談如何在初中數學課堂中“讓學引思”.

一次函數應用是函數專題下的一個分支，筆者設計了如下的兩個教學目標：

(1)利用一次函數解題理論讀取圖像中的有效信息,并且針對實際問題進行有效的分析和解決，反之，也能夠根據問題繪制出準確的一次函數圖像.

(2)發掘和研究現實生活當中存在的一些數量關系及其中的變化規律，然后利用一次函數的解題思想和解題方法將問題進行轉化，最終完成對問題的解決.

結合本節課的教學目標，筆者設計了如下的教學.

【創設情境】

筆者引導學生先畫一個正比例函數圖像，橫軸、縱軸不做任何的標注.

師：你從圖1里讀到了什么？(此問意在引導學生認真觀察圖像.)

圖1 圖2

師：你能為這個圖像設計一個具有實際意義的問題背景嗎？(此問意在引導學生了解數學來源于生活.)接著在OA后加一段，你還能設計一個問題背景嗎？(此問引導學生去關注折點A，并將此圖作為本節課的一個基本圖像，本節課中展示的兩個例題都是在此基礎上進行的變化，整節課都圍繞這個基本圖形展開，層層深入，從而體現一圖一課的優越性.)

【例題教學】

原探究題：小玲和弟弟小東分別從家和圖書館同時出發，沿同一條路相向而行，其中小玲選擇的行進方式是開始跑步前行，后改為步行，最終抵達圖書館使用的時間為 30 min.而小東選擇以騎自行車的方式直接回家，行進的速度為每分鐘300 m.兩人距離家的距離y(m)與兩人分別離開始發地的時間x(min)之間的函數圖像如圖1所示.

(1)家與圖書館之間的路程為________m，小玲步行的速度為________m/min；

(2)求小東離家的路程y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)求兩人相遇的時間.

圖3 圖4 圖5

改編：

探究1：小玲從家去圖書館，先跑步，后來改成了步行，最終抵達圖書館使用的時間為30 min.小玲離家的路程y(m)與離開家的時間x(min)之間的函數圖像如圖4.

(1)你從圖像中讀出了什么？

師:老師現在在這個圖像上加一條線段，我們一起來看一看.

(2)小玲和小東從兩個不同起點同時出發，在同一條路相向而行，其中小玲選擇的行進方式是開始跑步前行，后改為步行，最終抵達圖書館后使用的時間為30 min.而小東選擇以騎自行車的方式直接回家，行進的速度為每分鐘300 m.那么兩人距離家的距離y(m)與兩人分別離開始發地的時間x(min)之間的函數圖像如圖5所示.你能提出哪些問題？

筆者選擇探究1是為了喚醒學生的記憶，因為行程問題學生太熟悉了.原探究題直接出示題干與問題，這樣的設計對于學生的思維深度挖掘不夠，二輪復習再出示這樣的試題難免過于簡單，故筆者將此題進行改編，將情境引入的基本圖形作為探究1，由單個函數慢慢過渡到多個函數，并且將原問題刪除了，意在讓問題從學生中來，最終回到學生中去.學生提的問題主要有：(1)兩人何時相遇？(2)兩人何時相距2000 km？(3)兩人在何時間段內相距不超過2000 m？在針對這個問題進行思考時，筆者繼續引導學生利用數學思想，分別采取數形結合、分類討論、函數與方程思想、轉化思想等進行分析.在整個過程中，筆者先出示題干讓學生自己提出問題，然后通過小組合作的方式找出解決問題的方法，這樣的解題思路和解題方式能夠全面體現“讓學”的教學思想.對于老師而言，在此期間一定要仔細傾聽，并且激勵學生踴躍參與，適時引導，及時針對學生提出的問題進行“引思”，和學生一起解決問題中的障礙點.

接著出示探究2，探究2是2017年吉林中考題改編，原題如下：

(2017·吉林)如圖6，在一個圓柱形水槽內放入一個正方體鐵塊，然后以固定的速度進行注水，28 s時將水槽注滿.水槽內水面的高度y(cm)與注水時間x(s)之間的函數圖像如圖7所示.

圖6 圖7

(1)正方體的棱長為________cm；

(2)求線段AB對應的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)假如把正方體鐵塊取出，又經過t(s)把水槽充分注滿，計算t的值.

此類題型學生不常見，對于圖形中隱藏的信息較難發現，而且明確的問題對于學生思維的訓練明顯不夠，故筆者將此題做了如下改編.

探究2：如圖8所示，將一個用細繩拴住的正方體鐵塊放入圓柱形水槽當中，然后以固定的速度向水槽中不斷注水，在28 s時將水槽注滿.

圖8

(1)試畫出水槽內水面的高度y(cm)與時間x(s)之間的大致圖像；

(2)正方體的棱長為________cm；

(3)當注水時間為18 s時，求水槽內水面的高度；

(4)求圓柱形水槽的底面積；

(5)將正方體勻速垂直向上拉，上表面剛好與水面重合時用時5 s，最后全部拉出水面，求此時水槽內水面的高度，并補全圖像.

筆者將圖7刪除了，變成問題(1),意在引導學生在觀察的過程中體會水位上升高度的變化，并追問折點表示的實際意義，意在引導學生在觀察圖像時要多關注折點.接著出示折點的一組數值，學生就能很快解決第(2)問.第(3)問意在讓學生感受用函數去解決實際問題，運用建模思想構建一次函數，將一次函數轉化成方程，再利用方程的結果對實際問題進行解釋.問題(4)的出現對學生的思維訓練上了一個臺階，此題有多種求法.

直接求：

20S圓柱底-17.5S圓柱底=1000.

方法2：利用注水速度一定構建方程.

方法3：利用正方體將圓柱分成高度都為10 cm的兩部分構建方程.

設注水的速度為Qcm3/s.

方法4：設注水的速度為Qcm3/s，則12Q+1000=16Q，

可得Q=250(cm3/s).

將Q代入等式左邊或右邊再除以高度即可得圓柱的底面積.

此問題背景中注水速度可求，而且解法也不唯一，所以(5)問未要求學生求出.(5)問的設計意在讓學生感受函數圖像對于我們分析問題帶來的幫助，與(1)問首尾呼應，從畫圖開始，至畫圖結束.學生在初畫時會出現兩種典型的錯誤：(1)將正方體還未出水面時的水面高度看成是一直在減少；(2)認為整個活動的時間為10 s.

針對錯誤(1)，筆者出示了圖9，此時就會有學生發現錯誤在哪.生：當正方體勻速上拉至此處時，時間在增加，但水槽水位高度沒有變化，在圖像中體現出來應是水平的.

圖9

圖10

針對錯誤(2)，筆者追問：最后水槽的高度在哪？此時有學生發現錯誤.生：當正方體出水面時，會出現一邊上拉，水位一邊下降.追問：再過5 s時正方體應該在哪？追問：完全拉出時水位在哪？筆者追問的幾個問題讓學生的思維上了一個又一個臺階，直至畫出正確的圖像.探究2的設計體現了“引思”在初中數學課堂中的作用，筆者通過一個又一個問題不斷引發學生在不知不覺中思考，引導學生主動去讀圖，去發現圖像中隱藏的信息，并根據讀到的信息進行一次、二次處理，建立一次函數模型，再將一次函數轉化成方程、不等式去解決.進行問題解決時，老師要帶領學生對解題中的一些想法進行總結，通過總結，讓學生在此過程中有所領悟，切不可由師者代勞.筆者這樣的案例設計意在創設一個開放的課堂，真正做到“讓學引思”，使學生根據已有的知識提出問題，再解決問題，從而實現人人都有不同程度的收獲.

若要真正做到“讓學引思”，將數學課堂真正還給學生，老師應做到如下幾點.

(1)老師設定的課堂情境要能夠充分引發學生的學習興趣.本節課首先從一個簡單的函數圖像引導學生設計問題情境，通過學生完成的情境設計，讓學生充分體驗數學與生活之間的關聯非常緊密，并以此圖為本節課的主線，體現一圖一課的優越性，也借助此情境調動所有學生的積極性，讓所有的學生都參與進來，實現人人都有收獲.

(2)老師給出的例題一定要具備層次感，這樣才能夠對學生的思維拓展有更大的幫助，同時能夠讓學生的思維得到全面發展.老師應根據學生當前的思維發展水平進行相應的問題設計，這樣學生在解題過程中就會有很強的探索性和求知性，對于學生的學習欲望有很強的刺激作用.筆者設計的探究1是個開放性的問題，只出示題干，讓學生自己提問題.這樣的自主學習方式既能夠活躍課堂氛圍，又能夠將課堂主權真正交還給學生.之后，筆者針對學生提出的若干問題進行整理歸納，總結出了幾類有代表性的問題，并讓學生自己解答，而筆者只是適時引導，既將老師的主導性充分發揮出來，又將學生為主體的教育理念充分體現出來.本節課中，筆者將2017年吉林的數學中考題進行改編，由原來的3問變成5問，問題設置由易到難，層層深入，引導學生在不知不覺中解決了一個又一個問題.總之，合適的問題對學生的求知欲有著更好的激發作用，同時能夠為學生打造快樂的學習氛圍，使學生能夠更加積極自主地進行探索和學習.

(3)教師在整個課堂教學過程中扮演好傾聽者、引導者.培養學生自主學習的能力需要教師充分放手，讓學生有足夠的時間去探究富有挑戰性的數學問題，但這并不意味著將課堂完全交給學生，教師應始終把握課堂教學的主題.如果在課堂上，老師對于學生的交流和討論置之不理，那么學生在課堂上的討論方向就會偏離主題，討論一些與問題無關的事情，這無疑浪費了有效的課堂時間.老師要在課堂教學當中做一個完美的傾聽者，要耐心傾聽學生表達自己的想法，并適時捕捉學生發言過程中有價值的線索，及時“引思”.

(4)教師應帶領學生總結反思.在學習當中，有效地進行學習總結是對學習的最好補充，老師不可代勞，而應鼓勵學生自己去總結，這對學生在日后的總結梳理等方面會有很好的提升和促進作用.學生在經過激烈的討論后，思維比較活躍，此時需要靜下心來反思、總結本節課的學習內容.