基于核心素養(yǎng)的高中人教版新舊教材習(xí)題比較研究
——以“平面向量及其應(yīng)用”為例

◎劉慧玲 高 明

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo))指出學(xué)科核心素養(yǎng)是當(dāng)今育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，并提出六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，分別為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).教材是在課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下，經(jīng)眾多優(yōu)秀教師、專家打磨的產(chǎn)物，往往更能體現(xiàn)新課標(biāo)的教育理念，而習(xí)題是教材中的重要組成部分，摸清其中隱含的導(dǎo)向作用，有利于教師掌握時(shí)代賦予教育的新任務(wù)，幫助教師改進(jìn)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量.為此，本文選取了高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一——“平面向量及其應(yīng)用”為例，以新課標(biāo)中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有關(guān)說(shuō)明和附錄中的“劃分水平表”為依據(jù)，對(duì)比研究?jī)砂娼滩牡牧?xí)題中所體現(xiàn)的四大核心素養(yǎng)(根據(jù)新課標(biāo)中學(xué)業(yè)要求，“平面向量及其應(yīng)用”一章不涉及培養(yǎng)“數(shù)學(xué)建模”與“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)，故刪去)及其所處水平層次,期望為一線高中教師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供一些參考建議.

一、研究設(shè)計(jì)

當(dāng)前社會(huì)經(jīng)濟(jì)急劇發(fā)展，推動(dòng)全面深化課程改革，構(gòu)建具有中國(guó)特色的人才培養(yǎng)體系，對(duì)全面提高育人水平，使每個(gè)學(xué)生都能接受良好的教育，成為國(guó)家的有用之才具有重要意義.新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教材是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為宗旨.依據(jù)這一理念，新教材習(xí)題部分做出了哪些改動(dòng)？這些改動(dòng)對(duì)教師教學(xué)提出了哪些新的要求？針對(duì)這些問題，做以下研究.

(一)研究對(duì)象

本研究選取2019年人民教育出版社普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)(以下簡(jiǎn)稱人教新版)和2004年教育部審定的人民教育出版社A版數(shù)學(xué)必修四(以下簡(jiǎn)稱人教A版)中“平面向量及其應(yīng)用”部分的課后習(xí)題進(jìn)行比較研究，包括“練習(xí)”“習(xí)題”和“復(fù)習(xí)參考題”的全部題目.說(shuō)明：此研究只統(tǒng)計(jì)大題，若一道習(xí)題中含有多個(gè)小題，在統(tǒng)計(jì)時(shí)以一道題處理.

(二)題目劃分示例

1.素養(yǎng)類型劃分示例

依據(jù)新課標(biāo)中對(duì)“平面向量及其幾何意義”的學(xué)業(yè)要求,在這一部分需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，因此，本研究假設(shè)每道習(xí)題至少蘊(yùn)含一種數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)示例：下列量中哪些是向量？懸掛物受到的拉力、壓強(qiáng)、摩擦力、頻率、加速度.此題考查向量的概念，學(xué)生在做題時(shí)需要借助向量的定義做出判斷，需要學(xué)生從事物的相關(guān)背景中抽象出數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)，屬于新課標(biāo)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的界定范圍.

邏輯推理素養(yǎng)示例：求證：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).這道題需要學(xué)生自己梳理已學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步分析此題需要哪些知識(shí)，從而設(shè)計(jì)相應(yīng)的論證思路，學(xué)會(huì)有邏輯的思考問題，屬于新課標(biāo)中邏輯推理素養(yǎng)的界定范圍.

直觀想象素養(yǎng)示例：已知向量a，b，求作向量c，使a+b+c=0.本題需要借助幾何直觀感知向量的位置關(guān)系，從而提升數(shù)形結(jié)合的能力，屬于新課標(biāo)中直觀想象素養(yǎng)的界定范圍.

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)示例：已知|a|=4,|b|=3，且(2a-3b)·(2a+b)=61,求a與b的夾角θ.本題主要考查學(xué)生能否熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，屬于新課標(biāo)中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的界定范圍.

2.素養(yǎng)水平劃分示例

劃分標(biāo)準(zhǔn)是2017年版2020年修訂的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)附錄中給出的“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分”,在該表中將每種素養(yǎng)都劃分成三個(gè)水平.

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)三水平界定：水平一指學(xué)生能夠自主在熟悉的情境中得出數(shù)學(xué)概念，并且能夠大概解釋清楚數(shù)學(xué)概念的含義；水平二指學(xué)生能夠在某些關(guān)聯(lián)的情境中找出具有一般性，能普遍應(yīng)用的數(shù)學(xué)規(guī)則，并且能夠用比較合適的例子對(duì)規(guī)則進(jìn)行解釋；水平三指學(xué)生能夠在綜合的數(shù)學(xué)情境中得出數(shù)學(xué)問題，通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、運(yùn)算或關(guān)系理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu).

邏輯推理素養(yǎng)三水平界定：水平一指學(xué)生能夠在比較熟悉的情境中，用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎl(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間的關(guān)系或是各自的特征；水平二指學(xué)生能夠在某些關(guān)聯(lián)的情境中自主找到數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言或符號(hào)加以敘述；水平三指學(xué)生能夠在綜合的情境中自主得出有意義的數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá).

直觀想象素養(yǎng)三水平界定：水平一指學(xué)生能夠在熟悉的情境中，通過觀察實(shí)際物體抽象出相關(guān)的幾何圖形，頭腦中能形成圖形與實(shí)物之間的聯(lián)系；水平二指學(xué)生能夠在某些關(guān)聯(lián)的情境中，不借助實(shí)物，通過聯(lián)想在頭腦中建立幾何圖形；水平三指學(xué)生能夠在綜合的情境中，根據(jù)相應(yīng)的幾何圖形，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題.

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)三水平界定：水平一指學(xué)生能夠知道運(yùn)算對(duì)象是什么，提出簡(jiǎn)單的運(yùn)算問題，了解相應(yīng)的運(yùn)算法則及它的適用范圍；水平二指學(xué)生能夠在某些關(guān)聯(lián)的情境中自己找到運(yùn)算對(duì)象進(jìn)而提出有關(guān)運(yùn)算的問題，并對(duì)問題進(jìn)行合理的運(yùn)算以得出正確的運(yùn)算結(jié)果；水平三指學(xué)生能夠在綜合的情境中，把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，確定問題中涉及的運(yùn)算對(duì)象，進(jìn)而得出運(yùn)算程序，解決一類問題.

3.涉及多個(gè)素養(yǎng)的習(xí)題劃分示例

同一題目中可能涉及多個(gè)核心素養(yǎng)，關(guān)于此類問題，本研究采取將其所涉及的核心素養(yǎng)均統(tǒng)計(jì)在內(nèi)并分別劃分水平層次的辦法.

綜上所述，低劑量羅哌卡因聯(lián)合舒芬太尼腰-硬聯(lián)合麻醉對(duì)行剖宮產(chǎn)孕婦麻醉質(zhì)量好，可降低產(chǎn)婦疼痛程度，且對(duì)產(chǎn)婦血流動(dòng)力學(xué)影響較小，對(duì)新生兒安全性高，但由于本研究樣本量較小，尚需大樣本多中心開展研究，并對(duì)麻醉藥物的具體作用機(jī)制進(jìn)行更加深入探討。

例如：一架飛機(jī)向北飛行300 km，然后改變方向向西飛行400 km，求飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的合成.此題中涉及了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，且都處于水平一.

(三)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法說(shuō)明

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的統(tǒng)計(jì)：在核心素養(yǎng)類型統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，統(tǒng)計(jì)各個(gè)核心素養(yǎng)分別處于水平一,二,三的習(xí)題數(shù)，再除以該版本教材的習(xí)題總數(shù)，得到各個(gè)核心素養(yǎng)所達(dá)到不同水平的百分比.

二、數(shù)據(jù)結(jié)果

(一)習(xí)題所屬素養(yǎng)類型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

設(shè)計(jì)習(xí)題首先需要考慮的問題就是所設(shè)置習(xí)題的數(shù)量.題量過多容易使學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)過重，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生自主探索的積極性大大減少，降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科的興趣，題量過少則可能導(dǎo)致學(xué)生不能及時(shí)內(nèi)化新學(xué)的知識(shí)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，學(xué)生可能在新知學(xué)習(xí)以后就忘了所學(xué)內(nèi)容.從新舊教材中練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題數(shù)量的統(tǒng)計(jì)上看，在“平面向量及其應(yīng)用”部分，新教材共設(shè)置了139道習(xí)題，舊教材共設(shè)置了113道習(xí)題，可以看出新教材在舊教材的基礎(chǔ)上增加了部分習(xí)題，但增加的題量并不是特別多.新教材用適當(dāng)增加題量的方法使學(xué)生得以及時(shí)深化、鞏固新學(xué)的知識(shí).這樣的題量改變與新課標(biāo)對(duì)教材編寫提出的突出重、難點(diǎn)的要求一致，也與新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)的重視習(xí)題編寫針對(duì)性的要求一致.同時(shí)，各素養(yǎng)類型所含習(xí)題均有明顯增加，其中以直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算最為突出.具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表格1.

表格1 習(xí)題在各素養(yǎng)類型上的題目個(gè)數(shù)(數(shù)量比)統(tǒng)計(jì)表

(二)習(xí)題所屬素養(yǎng)水平的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

習(xí)題的難度以及各種難度的習(xí)題設(shè)置量也是在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)需要考慮的問題.若大多數(shù)習(xí)題都處于水平一，則不能很好地培養(yǎng)學(xué)生的能力，若習(xí)題均處于水平三，則很有可能降低學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生有挫敗感.因此，習(xí)題編制時(shí)需特別考慮習(xí)題所處的素養(yǎng)水平，使每個(gè)層次的學(xué)生都能得到不同的發(fā)展，讓所有學(xué)生都能讀懂?dāng)?shù)學(xué).兩版教材“平面向量”習(xí)題在四個(gè)核心素養(yǎng)水平上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表格2.其中，多數(shù)習(xí)題居于水平一，少數(shù)居于水平二，達(dá)到水平三的習(xí)題數(shù)量百分比為0.

表格2 習(xí)題在各素養(yǎng)水平上的數(shù)量百分比(%)

三、研究結(jié)論及啟示

(一)突出直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)據(jù)表明，兩版教材在“平面向量及其應(yīng)用”一章的習(xí)題中都突出體現(xiàn)了直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，新教材中體現(xiàn)得尤為明顯.

高中階段，向量的定義是“既有方向又有大小的量”，這實(shí)際上是一個(gè)幾何描述，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)委員會(huì)的文件中這種向量被稱為幾何向量.同時(shí)，向量又是高中學(xué)生新接觸的一個(gè)運(yùn)算對(duì)象，關(guān)于其運(yùn)算法則及其適用范圍都處于摸索狀態(tài).因此，向量就成了一個(gè)具有幾何意義的特殊的運(yùn)算對(duì)象，它是溝通代數(shù)和幾何的橋梁，是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的良好載體.但這并不意味著其他幾個(gè)核心素養(yǎng)在這一章就沒有體現(xiàn)，我們應(yīng)該熟悉新課標(biāo)中所規(guī)定的學(xué)段以及單元目標(biāo)，充分挖掘隱藏在教學(xué)內(nèi)容之中的核心素養(yǎng).教師應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)，結(jié)合教材習(xí)題，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為目標(biāo)，進(jìn)一步優(yōu)化自己的教學(xué)設(shè)計(jì).

(二)教材習(xí)題的素養(yǎng)水平較低

(三)新教材中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平有明顯提升

首先需要說(shuō)明的是運(yùn)算素養(yǎng)不是單純的“算得對(duì)，算得快”，應(yīng)該包括以下幾個(gè)方面：正確理解運(yùn)算對(duì)象、精確掌握運(yùn)算規(guī)則、正確運(yùn)算與應(yīng)用、概括通性通法、感悟相關(guān)思想方法.水平一的習(xí)題只需要學(xué)生大概對(duì)運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算法則有一定了解，而新教材不再滿足于簡(jiǎn)單的模仿，更多是需要學(xué)生去設(shè)計(jì)相應(yīng)的運(yùn)算程序，明白算法背后的算理，掌握通性通法.向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積運(yùn)算都屬于數(shù)學(xué)運(yùn)算，在“運(yùn)算”這一大觀念的統(tǒng)領(lǐng)下，大多數(shù)習(xí)題都以“物理背景——運(yùn)算規(guī)則及幾何意義——運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義——應(yīng)用”這個(gè)結(jié)構(gòu)展開.這種順序的調(diào)整和內(nèi)容的變化更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生更容易接受向量這一特殊的運(yùn)算對(duì)象，方便教師實(shí)施教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

數(shù)學(xué)運(yùn)算作為傳統(tǒng)的三大能力之一，高中教師通常會(huì)誤以為它就是考查學(xué)生的運(yùn)算基本功，從而缺乏重視，實(shí)際上作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算更重要的功能是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，使其形成程序化思考問題的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

(四)重視課程內(nèi)容的整體性

新教材的編排體現(xiàn)新一輪課改單元教學(xué)的理念，有助于教師整體把握教學(xué)內(nèi)容，有利于學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)，能夠促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展.新教材每一章節(jié)的具體內(nèi)容體現(xiàn)了“一以貫之”的特點(diǎn)，往往借助一個(gè)情境貫通數(shù)學(xué)基本知識(shí)的生成過程，一個(gè)模型貫通數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容.新課標(biāo)中將“平面向量及其應(yīng)用”劃分為必修課程主題三“幾何與代數(shù)”的第一個(gè)單元，這一主題下緊接著有兩個(gè)單元，分別是“復(fù)數(shù)”和“立體幾何初步”.

作為“幾何與代數(shù)”的起始單元，在這一部分所學(xué)習(xí)的許多知識(shí)會(huì)進(jìn)一步在后面兩個(gè)單元中應(yīng)用.例如：復(fù)數(shù)的幾何意義是平面向量，它的許多運(yùn)算法則是根據(jù)這一幾何意義類比得出的，立體幾何的學(xué)習(xí)當(dāng)中必不可少的一個(gè)核心素養(yǎng)就是直觀想象素養(yǎng)，而這一素養(yǎng)在向量這一部分得到了高度重視.由此可見，高中數(shù)學(xué)課程是一個(gè)有邏輯性的整體，在進(jìn)行本章教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該著重引導(dǎo)班上學(xué)生將高中數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，特別要注意貫串整個(gè)高中課程的六大核心素養(yǎng).

(五)情境創(chuàng)設(shè)更有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

兩版教材在課后習(xí)題的設(shè)置中都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題與實(shí)際生活的結(jié)合，在習(xí)題涉及的情境中均含有一定量的日常生活物品.但總體而言，新教材習(xí)題涉及的生活素材更加豐富，數(shù)學(xué)情境與生活聯(lián)系得更為緊密.新教材在設(shè)置習(xí)題時(shí)更注重創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，因而更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再進(jìn)一步引起學(xué)生的自主思考和合作交流，以此形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問題情境是教師常采取的一種有效的教學(xué)模式，是幫助學(xué)生順利掌握新知識(shí)的有效途徑.基于以上觀點(diǎn)，教師在教學(xué)中就可以結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活之間的緊密聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)豐富多樣的情境，帶領(lǐng)學(xué)生在情境中參與數(shù)學(xué)知識(shí)的探討學(xué)習(xí).而在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生也將親自經(jīng)歷由具體到抽象的過程.

新教材在設(shè)置課后習(xí)題時(shí)，通過創(chuàng)設(shè)情境不僅使一些習(xí)題的難度系數(shù)得以降低，還有助于學(xué)生對(duì)某些問題的直觀特征進(jìn)行理解，進(jìn)而逐步體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性.而情境是否選擇得恰當(dāng)不僅取決于情境本身的邏輯，還取決于這個(gè)情境是否能夠有效地將數(shù)學(xué)知識(shí)貫串其中，是否能夠引發(fā)學(xué)生思考，是否能夠讓學(xué)生有進(jìn)一步發(fā)展的空間.數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)本來(lái)就是一個(gè)由淺到深再到淺的螺旋上升、逐步遞進(jìn)的過程，是一個(gè)不斷經(jīng)歷數(shù)學(xué)創(chuàng)造、參與數(shù)學(xué)活動(dòng)、得到數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的過程，也是學(xué)生不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)科文化素養(yǎng)的過程.