從“算術(shù)思維”到“代數(shù)思維”的轉(zhuǎn)變

閆華

【摘要】隨著我國教育改革的不斷發(fā)展，教育部門愈發(fā)關(guān)注中小學(xué)知識的銜接，因而如何幫助學(xué)生更好地過渡到初中階段學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生順利完成思維模式的轉(zhuǎn)變，是初中教師需要重點(diǎn)思考的問題。本文簡要分析了中小學(xué)銜接教學(xué)中從“算術(shù)思維”到“代數(shù)思維”過渡的難點(diǎn)，有針對性地提出了中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的具體實(shí)施策略。

【關(guān)鍵詞】中小學(xué)銜接；“算數(shù)思維”；“代數(shù)思維”；策略

【中圖分類號】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號】1004—0463（2022）09—0102—03

運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的重要構(gòu)成內(nèi)容，也是學(xué)生形成數(shù)學(xué)算術(shù)思維，培養(yǎng)小學(xué)生算術(shù)能力的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占主導(dǎo)地位，進(jìn)入初中學(xué)習(xí)階段，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維是教學(xué)的主要內(nèi)容。代數(shù)思維強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的基本功能，展示數(shù)學(xué)規(guī)律的普遍性、數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)性和內(nèi)容描述的簡練性、準(zhǔn)確性、邏輯性。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，數(shù)學(xué)教師要做好中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接教學(xué)工作，借助小學(xué)數(shù)學(xué)算術(shù)思維引導(dǎo)學(xué)生感悟代數(shù)思維，啟發(fā)學(xué)生的代數(shù)意識，讓學(xué)生在運(yùn)用小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算知識的過程中盡快適應(yīng)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，促使學(xué)生認(rèn)識算術(shù)與代數(shù)的差異，讓學(xué)生更清晰地認(rèn)識到二者的聯(lián)系，為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備[1]。下面，筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐調(diào)查，分析中小學(xué)銜接中學(xué)生從“算數(shù)思維”過渡到“代數(shù)思維”的難點(diǎn)，針對性地提出一些行之有效的策略，以期對一線數(shù)學(xué)教師有所幫助。

中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不同的學(xué)習(xí)階段學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也不同，不同學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也各有差異，教師只有充分掌握各階段學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，才能引導(dǎo)學(xué)生更好地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，解決問題，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)。小學(xué)階段，學(xué)生初步接觸數(shù)學(xué)，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性和系統(tǒng)性認(rèn)識不足，此階段的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念和學(xué)習(xí)方法，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、基本運(yùn)算關(guān)系等內(nèi)容，形成算術(shù)思維，以計(jì)算結(jié)果為重點(diǎn)。初中階段，數(shù)學(xué)概念繁多，系統(tǒng)性更強(qiáng)，更具抽象性，學(xué)生需要學(xué)習(xí)代數(shù)、幾何、函數(shù)等內(nèi)容，重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、問題分析與解決能力、自主思考能力，其前提是學(xué)生具備代數(shù)思維，能夠借助代數(shù)邏輯思考問題[2]。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生從“算術(shù)思維”轉(zhuǎn)變到“代數(shù)思維”，是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接點(diǎn)之一。結(jié)合目前中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接教學(xué)情況，有以下難點(diǎn)需要思考。

1.學(xué)生不能完全理解數(shù)學(xué)符號的新意義。算術(shù)與代數(shù)之間有很多通用的符號，比如“+”“-”“=”等，算術(shù)中學(xué)生習(xí)慣將“=”表示計(jì)算的結(jié)果，而代數(shù)中“=”則表示兩邊元素的等價關(guān)系。一些學(xué)生習(xí)慣于算術(shù)思維，對數(shù)學(xué)符號新意義無法理解，是學(xué)生思維轉(zhuǎn)變的難點(diǎn)。

2.過度重視未知量。以簡易方程為例，進(jìn)入初中后，學(xué)生面對“10 -x =20”仍然習(xí)慣用加減法之間的關(guān)系求解方程中的未知數(shù)，這種方法雖然能夠解決問題，卻注重未知數(shù)代表的意義，不符合代數(shù)思維。而在代數(shù)思維中，利用等式的基本性質(zhì)或解方程的基本步驟就可以求解[3]。

3.用字母表示數(shù)，學(xué)生的認(rèn)知和理解有困難。代數(shù)思維強(qiáng)調(diào)用代數(shù)式表示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)結(jié)論，既有運(yùn)算的結(jié)果，也突出邏輯關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。而算數(shù)思維側(cè)重于具體的、單一的數(shù)字運(yùn)算，對于邏輯性及數(shù)學(xué)本質(zhì)的要求較低，對含有定義及邏輯關(guān)系的表達(dá)式，單純地從算數(shù)角度理解，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

4.教師對算數(shù)思維和代數(shù)思維關(guān)系的認(rèn)識不準(zhǔn)確。代數(shù)思維是一種正向思維，采用變量直接表示運(yùn)算結(jié)果、過程和目標(biāo)，而算術(shù)思維是逆向思維而不是簡單的數(shù)字運(yùn)算。在算數(shù)思維和代數(shù)思維之間關(guān)系的認(rèn)識上，教師誤認(rèn)為隨著學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展，算數(shù)思維會自然過渡到代數(shù)思維，無需外在教育形式的關(guān)注和干預(yù)；或者絕對地認(rèn)為算數(shù)思維是代數(shù)思維發(fā)展的前提和基礎(chǔ)，認(rèn)識不到位，導(dǎo)致目標(biāo)不明確。

1.立足小學(xué)算術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生感悟代數(shù)思維。在中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接教學(xué)中幫助學(xué)生完成思維轉(zhuǎn)變，教師應(yīng)立足小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，以學(xué)生熟悉的算術(shù)知識激發(fā)學(xué)生的探索欲，在學(xué)生解決算術(shù)問題的過程中滲透代數(shù)元素，引導(dǎo)學(xué)生感悟算術(shù)中隱藏的代數(shù)思維，感受算術(shù)與代數(shù)之間的變化與表達(dá)差異，為學(xué)生思維的轉(zhuǎn)變奠定基礎(chǔ)[4]。例如，請大家在下面算術(shù)中添上你認(rèn)為合適的數(shù)字：①36÷24=9÷（）②18×14=（）×7③41-15=43-x，此問題中，教師不僅要考慮算術(shù)思維，還需把代數(shù)的等量關(guān)系結(jié)構(gòu)通過學(xué)生較為熟悉的算術(shù)呈現(xiàn)出來，用學(xué)生熟悉的形式引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維。有一部分學(xué)生先將等號一邊的結(jié)果計(jì)算出來，再采用“除法”“減法”“加法”來計(jì)算，這是學(xué)生算術(shù)思維的體現(xiàn)。教師引導(dǎo)學(xué)生思考能否在不挪動等號兩邊元素的情況下解決問題，學(xué)生紛紛陷入思考，一名學(xué)生表示：在“36÷24=9÷（）”中，36與9之間存在某種關(guān)系，可以得到“36÷9=4”，而且兩邊的計(jì)算結(jié)果是相等的，那么我們就可以知道24與“（）”之間的關(guān)系也是“4倍”的關(guān)系，采用“24÷4”得到6，因此（）中的數(shù)字為6。通過這種方法，教師引導(dǎo)學(xué)生從小學(xué)時期的算式入手，借助算術(shù)的思維計(jì)算式子，從整體上思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)式子兩邊的等量關(guān)系，在探索的過程中理解“=”的新意義，形成對等量關(guān)系的初步認(rèn)知，啟發(fā)學(xué)生的代數(shù)思維。

2.轉(zhuǎn)變教學(xué)關(guān)注重點(diǎn)，鼓勵學(xué)生探索問題解決思路。在中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接過程中，大部分學(xué)生難以很快適應(yīng)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，注重計(jì)算結(jié)果，忽視運(yùn)算過程，對學(xué)習(xí)產(chǎn)生了畏難情緒，無形中增加了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)壓力[5]。因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)適當(dāng)轉(zhuǎn)變教學(xué)關(guān)注點(diǎn)，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中盡量關(guān)注自己的學(xué)習(xí)過程、思考過程，讓學(xué)生明白，結(jié)果錯了不要緊，挖掘題目的內(nèi)涵，提出問題解決的方法，能夠探索出一條適合自己的數(shù)學(xué)思考思路才是關(guān)鍵。這樣能夠有效緩解學(xué)生難以適應(yīng)代數(shù)思維而錯誤頻出的學(xué)習(xí)壓力，在輔助學(xué)生思維轉(zhuǎn)變的同時減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。例如，在利用方程解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生需要通過問題中的等量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)方程式。但是學(xué)生依靠算數(shù)思維，難以找到問題中的等量關(guān)系，教師就引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思考方向，重新分析實(shí)際問題，從找已知條件、未知條件及他們之間存在的內(nèi)在聯(lián)系入手，促使學(xué)生轉(zhuǎn)移自己的關(guān)注點(diǎn)，讓學(xué)生從“關(guān)注問題解決正確性”轉(zhuǎn)變?yōu)椤瓣P(guān)注問題中的條件關(guān)系”，讓學(xué)生在分析的過程中發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，借助已經(jīng)學(xué)習(xí)的方程式結(jié)構(gòu)列出方程，從而鍛煉學(xué)生的代數(shù)思維，為學(xué)生今后解決更多的代數(shù)問題提供基本思路[6]。

3.開展對比教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生體會代數(shù)思維。在中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接教學(xué)中幫助學(xué)生完成思維轉(zhuǎn)變，教師可以開展對比教學(xué)，讓學(xué)生根據(jù)同一問題情境應(yīng)用算術(shù)方法與代數(shù)方法感受同一問題的思考、解決過程，感受代數(shù)方法的高效性，體會代數(shù)思維的魅力，從而提升學(xué)生的代數(shù)思維，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的轉(zhuǎn)變[7]。例如，某班級一共有186塊錢，有5個小組，每個小組拿走18元錢，剩下的給“兄弟班級的4個小組”，請問“兄弟班級”的每個小組平均拿走多少錢？請大家根據(jù)算術(shù)方法解決問題，再列方程試試。將學(xué)生分成兩組，一組用算數(shù)方法，另一組列方程解決問題，教師引導(dǎo)學(xué)生分析、對比兩種方法的優(yōu)劣。通過對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程思想解決問題更簡便，也讓學(xué)生感受到代數(shù)思維思考問題的優(yōu)越性和廣泛的應(yīng)用性，逐步轉(zhuǎn)變學(xué)生思考問題的方式。長期堅(jiān)持下去，學(xué)生的思維逐漸從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維了。

4.培養(yǎng)符號意識，注重代數(shù)思維的引導(dǎo)。代數(shù)思維與算術(shù)思維最大的不同，就是用符號代替具體的數(shù)，在運(yùn)算中關(guān)注所表達(dá)的數(shù)的規(guī)律和關(guān)系，而不僅僅是運(yùn)算結(jié)果。例如，在解決從A地到B地的行程中有6個途經(jīng)點(diǎn)，問最多需設(shè)計(jì)多少種不同的票價？在這一問題的解決過程中，大部分學(xué)生通過畫圖、數(shù)數(shù)的方法解決，重點(diǎn)關(guān)注問題的結(jié)果。教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題的全過程，讓學(xué)生試著用數(shù)學(xué)歸納法找出解決此類問題的一般方法，可以這樣思考：（1）當(dāng)途徑點(diǎn)只有一個時，最多需設(shè)計(jì)多少種不同的票價？（2）當(dāng)途徑點(diǎn)有兩個時，最多需設(shè)計(jì)多少種不同的票價？（3）當(dāng)途徑點(diǎn)有三個時，最多需設(shè)計(jì)多少種不同的票價？逐步研究下去，進(jìn)一步討論當(dāng)途徑點(diǎn)有n個時，最多需設(shè)計(jì)多少種不同的票價？通過師生共同努力，討論出票價的通項(xiàng)，再通過驗(yàn)證說明這個結(jié)果的準(zhǔn)確性。此探究過程中，不僅僅求得了問題的結(jié)果，更在解決問題的過程中理解了字母可以代替任意數(shù)字，尋求了解決此類問題的一般規(guī)律，并在學(xué)習(xí)過程中體會到了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。同時，再創(chuàng)設(shè)幾個此類問題的情境，理解這個規(guī)律的通用性，例如，在平面上有n個點(diǎn)，問最多可以連接成多少條線段？都是同類問題，揭示了問題的共性和普遍性，進(jìn)一步提升了學(xué)生對問題的理解和思考能力。

綜上所述，算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變，需要教師深入挖掘算術(shù)與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，采用不同的教學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識這種差異，從而形成相應(yīng)的代數(shù)意識，為之后的代數(shù)思維轉(zhuǎn)變奠定基礎(chǔ)，有效完成中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接目標(biāo)。

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編輯：徐春霞