熱環境下功能梯度環板的譜幾何法自由振動解

石先杰， 左 朋,2

(1. 中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999；2. 中國科學技術大學 近代力學系，合肥 230026)

功能梯度材料[1-3]作為一種新興材料，它克服了傳統材料在過熱環境下機械性能下降的缺陷，具有極強的耐熱性，而由其所制成的環板結構有著質量輕、結構剛度大、力學性能好、承載能力強等優點，在航空航天工程、飛機工程、核反應堆等領域的發動機端蓋上有著廣泛應用。因此，這類結構在實際工程應用中通常會受到復雜工作環境的影響而產生較大的振動甚至引起疲勞損傷。因此，準確分析預測功能梯度環板結構振動特性一直是國內外專家學者的研究熱點。為此，國內外學者已開展了一系列數值求解方法研究，如Rayleigh-Ritz法[4-6]、微分求積法[7-10]、擬格林函數法[11]和有限環形棱柱法[12]等。

然而，上述研究均是基于常溫環境，在高溫環境下，結構的材料屬性會隨著溫度的變化而改變，從而導致其自由振動的固有頻率相比于常溫下變得明顯不同。對于熱環境下功能梯度結構的振動特性，國內外學者進行了一些研究分析。假設材料特性依賴于溫度，并在板的厚度方向上逐漸變化，Haddadpour等[13]采用伽遼金法求解運動方程，對簡支功能梯度圓柱殼在熱環境中的自由振動特性進行了分析。Mirtalaie[14]根據微分求積法，求解了熱環境下功能梯度薄環形扇形板自由振動頻率。在三維彈性理論的框架下，Yang等[15]分析了功能梯度環板的熱振響應。在一階剪切變形理論的框架內應用微分求積法，Malekzadeh等[16-17]研究了旋轉功能梯度圓柱殼和帶有彈性支撐的功能梯度環板在熱場中的自由振動特性。用傅里葉級數結合輔助函數來描述板的位移容許函數，Zhou等[18]研究了彈性地基上具有溫度梯度的超音速多孔功能梯度材料板的振動和顫振特性。Li等[19]采用特征正交多項式詳細研究了功能梯度多孔階梯圓柱殼在熱場中的自由振動、穩態和瞬態響應特性。蒲育等[20-21]根據二維彈性理論，采用微分求積法分析了材料屬性徑向變化的功能梯度薄環板在熱環境下的面內自由振動特性。同樣是考慮材料屬性沿徑向變化功能梯度薄環板，呂朋等[22]采用改進傅里葉級數建立了其在熱場中受彈性約束的面內振動分析模型。而對于沿厚度方向變化的功能梯度環板，石鵬等[23]應用三維Chebyshev-Ritz法對其在熱環境下的自由振動特性進行了求解。

綜上所述，目前關于功能梯度環板在熱場中的自由振動分析雖然有一定的研究成果，但大部分研究工作集中在材料屬性沿徑向變化的薄環板面內振動問題。而對于厚環板問題，往往是采用三維彈性理論求解，存在著計算效率低等問題。因此，針對工程中更為常見的中厚環板，考慮材料特性沿厚度方向的梯度變化，本文以一階剪切變形理論為基礎，通過沿邊界設置具有可變剛度的邊界約束彈簧的方式來考慮任意邊界約束。同時，采用譜幾何法建立功能梯度環板熱振分析模型。在譜幾何法求解框架下，板的位移函數總是表示為標準的傅里葉余弦級數，并輔以四個正弦函數項來消除邊界處位移函數的導數不連續性問題。這種級數展開方法理論上能夠表征任意有限長結構的位移變量，且函數形式統一，易于參數化分析。在數值算例中，通過與文獻解、有限元解的對比研究，驗證了該模型的正確性，進而分析了邊界條件、環境溫度、梯度指數等對功能梯度環板固有頻率的影響。

1 理論方法

1.1 模型描述

考慮如圖1所示的功能梯度環板，圓柱坐標系(r,θ,z)位于結構的幾何中面上。圖1中：R0和R1分別為環板沿徑向方向r的內徑和外徑；θ為圓周方向；h為環板的厚度。文中研究的功能梯度材料由陶瓷和金屬材料兩種成分組成，其有效材料參數P(包括彈性模量E、密度ρ、泊松比ν和熱膨脹系數α等)沿環板厚度方向呈梯度變化，可以被描述為[24]

(1)

式中：Pt和Pu分別為環板上、下表面的材料參數；-h/2≤z≤h/2；p為功能梯度指數。考慮熱環境的影響，功能梯度材料的有效材料參數Pξ(ξ=t,u)在溫度值T的變化影響下有著如式(2)所示的性質

Pξ(z,T)=P0ξ(P-1ξT-1+1+P1ξT+P2ξT2+P3ξT3)

(2)

式中，P-1ξ,P0ξ,P1ξ,P2ξ和P3ξ為溫度相關系數。文中研究的是均勻溫度分布的情形[25]，T0為參考溫度，其溫度變化為ΔT=T-T0。

圖1 功能梯度環板的幾何形狀以及坐標系Fig.1 Geometric shape and coordinate system of functionally graded annular plate

1.2 能量方程

根據一階剪切變形理論，環板上任一點沿r,θ和z方向的位移場分量u,v,w的表達式可以寫成

u(r,θ,z,t)=u0(r,θ,t)+zφr(r,θ,t),
v(r,θ,z,t)=v0(r,θ,t)+zφθ(r,θ,t),
w(r,θ,z,t)=w0(r,θ,t)

(3)

式中：u0,v0,w0分別為環板在幾何中面上沿r,θ和z方向的位移分量；φr和φθ分別為在rz和θz平面上的轉角位移分量。

根據中厚板理論，環板結構中的應變和位移之間存在線性關系式

(4)

(5)

ε=[εr,εθ,γrθ,γrz,γθz]T,
σ=[σr,σθ,τrθ,τrz,τθz]T,
σ=Q(5×5)ε

(6)

式中，Q(5×5)為與溫度值T和厚度坐標z有關的彈性常數所組成的矩陣(參考2011年Malekzadeh等的研究)，其元素的具體值為

(7)

對應力分量σ在z方向積分，引入剪切修正系數κ=5/6, 得到環板的本構方程表達式

N=Aε0+Bχ,M=Bε0+Dχ,Qκ=Aκγ

(8)

式中：N=[Nr,Nθ,Nrθ]T和Q=[Qr,Qθ]T分別為環板的合力和橫向剪應力分量；M=[Mr,Mθ,Mrθ]T為合彎矩分量；A(Aκ),B和D分別為以結構的拉伸剛度、拉伸-彎曲耦合剛度和彎曲剛度為元素組成的矩陣，其具體表達式可見2011年Malekzadeh等的研究。

根據建立的本構方程表達式，結合2011年Malekzadeh等給出的熱應力描述，得到環板的應變能表達式

(9)

代入位移場分量可以得到環板的動能表達式

(10)

文中通過在環板的內部和外部放置邊界彈簧實現邊界條件的模擬。邊界約束彈簧所儲存的能量可以寫成

(11)

式中，上標0和1分別為設置在環板內部和外部的邊界彈簧剛度值。

1.3 位移容許函數以及方程的求解

文中分別采用了譜幾何法和傅里葉正余弦函數來表示環板沿徑向方向和周向方向的位移容許函數

(12)

如上所述，熱環境下功能梯度環板的拉格朗日能量泛函可以寫成

(13)

根據1.2節的能量方程表達式，結合相應的位移容許函數進行求解，并采用Rayleigh-Ritz法對未知展開系數求偏導，可以得到熱環境下功能梯度環板自由振動特征方程

(K-ω2M)H=0

(14)

式中：K和M分別為環板的剛度矩陣和質量矩陣；H為未知系數向量，其中溫度變化會影響K。

2 數值算例與分析

根據上述分析獲得的自由振動特征方程，本章將分析熱環境下功能梯度環板自由振動特性。根據航空航天飛行器的工程實際應用，在接下來的數值算例中選擇了幾何尺寸為R0=0.5 m,R1=2.0 m,h=0.10 m的環板結構作為研究對象。通過設置邊界約束彈簧的剛度值，文中研究考慮了包括經典和彈性邊界在內的10種任意邊界條件，并且采用了不同字母來表示，其中： C，SS，SD和F分別為固支、簡支、剪切-膜片邊界和自由邊界； E1，E2，E3，E4，E5和E6為彈性邊界。它們的彈簧剛度值按Su等的研究設置。此外，位移容許函數在徑向和周向方向的級數在理論上可以展開為無窮項。但是考慮到實際數值計算需要，文中對其截斷至有限項。參考文獻[26]對譜幾何法收斂性分析結果，文中研究將徑向和周向的級數均截斷為M=N=14。

2.1 數值驗證

不同邊界條件和梯度指數p下功能梯度環板在不考慮熱環境影響情況下的第1階固有頻率，如表1所示。算例包括了兩種板的厚度h=0.05 m和h=0.10 m, 其余幾何尺寸與默認參數保持一致。環板的上、下表面材料分別為鋁和氧化鋯，材料參數為:Et=168 GPa,νt=0.3,ρt=5 700 kg/m3,Eu=70 GPa,νu=0.3,ρu=2 707 kg/m3。表1中將譜幾何法模型計算結果與Su等的研究結果進行了對比。從表1可以看出，文中結果與Su等的解非常接近，存在的偏差主要來源于徑向所采用的位移函數差異。這表明文中模型邊界約束彈簧剛度以及截斷數的設置是合理的，可以有效求解具有不同梯度指數p的功能梯度環板的自由振動特性。

在開展熱環境下功能梯度環板結構自由振動分析時，由于缺乏相關文獻數據作為參考。因此，文中采用有限元法(finite element method，FEM)計算結果作為對比數據。環板上、下表面的材料分別為氮化硅(Si3N4)和304不銹鋼(SUS304)，它們在熱場中的材料參數如表2所示。環板的幾何尺寸與默認參數保持一致，參考溫度取為T0=300 K。同樣是考慮了C-C，SS-SS和C-SS三種經典邊界條件。不同溫度變化ΔT下環板前5階固有頻率對比情況(梯度指數p=1.0)，如表3所示。不同梯度指數p下的前9階固有頻率對比(溫度變化ΔT=150 K)，如表4所示。兩種方法得到的頻率結果可以較好地匹配，最大偏差在0.8%以內。偏差的來源主要是文中方法和FEM分別采用了不同的板殼理論和求解方法體系。此外，FEM計算結果的求解精度依賴于網格密度，需要不斷地細化網格才能獲得更加準確的結果，但同時也會帶來計算成本的增加。兩種方法求解獲得的模態振型對比情況，如圖2所示。其中溫度變化ΔT=150 K, 梯度指數p=0.5, 邊界條件為C-C。從圖2可以看出，基于兩種方法獲得的模態振型一致性較好。綜上所述，文中方法可以有效地分析熱環境下功能梯度環板自由振動特性。

表1 具有不同邊界條件和梯度指數的功能梯度環板的第1階固有頻率Tab.1 The first natural frequency of functionally graded annular plate with different boundary conditions and gradient indexes

2.2 參數化分析

在驗證文中構建模型準確性和通用性的基礎上，針對航空航天飛行器工程運用中的各種復雜工況，本節對功能梯度環板在熱環境下的振動特性開展參數化分析。結構的幾何尺寸以及材料的選擇與表3、表4保持一致。

首先，當溫度變化ΔT=50 K時，各種復雜邊界條件下功能梯度環板固有頻率，如表5所示，材料梯度指數p=1。從表5可以看出，對于經典邊界，C-SD邊界下的固有頻率最高，SS-SD和SD-SD邊界下的頻率結果非常接近，而F邊界的存在會很明顯地降低結構的固有頻率。而對于彈性邊界，在E1-E1和E4-E4邊界條下環板分別有著最高和最低的固有頻率。

溫度變化ΔT對功能梯度環板固有頻率(n=1,m=1)的影響情況，如圖3所示。圖3中，材料的梯度指數p=1。不難看出，在經典、經典-彈性以及彈性邊界條件下，隨著ΔT增大，環板的固有頻率會不斷降低。這是因為ΔT變大降低應變能導致了功能梯度環板剛度降低，從而使結構固有頻率減小。

梯度指數p以及周向波數n的變化對環板固有頻率的影響，如圖4所示，溫度變化ΔT=50 K。從圖4可以發現，結構固有頻率會隨著周向波數n的增加而不斷增加。而隨著梯度指數p的增加，功能梯度環板的固有頻率先是迅速下降，達到一定值后，影響逐漸不明顯。因為隨著p的增加，環板材料屬性更加接近于下表面的金屬組分，從而降低了結構的固有頻率。

圖4 周向波數n和梯度指數的變化對功能梯度環板固有頻率的影響Fig.4 The influence of changes in circumferential wavenumber n and gradient indexes on the natural frequencies of functionally graded annular plates

3 結 論

綜合考慮功能梯度環板材料屬性溫度相關性及其在厚度方向上梯度連續變化，本文在一階剪切變形理論框架下推導出功能梯度環板振動能量方程，并采用譜幾何法求解得到功能梯度環板在熱場中的自由振動特性。通過將文中計算結果與相關文獻和有限元法結果進行對比，驗證了所構建分析模型的正確性和可靠性。在此基礎上，研究了邊界約束條件、溫度變化和梯度指數等參數對熱環境下功能梯度環板自由振動特性的影響，獲得以下結論：

(1) 文中所構建的計算分析模型可以有效分析預示熱環境下功能梯度環板自由振動特性。

(2) 對于經典邊界，SS和SD邊界對功能梯度環板自由振動固有頻率的影響類似，F邊界則會很明顯地降低結構固有頻率。對于彈性邊界，E1和E4邊界下的功能梯度環板分別有著最高和最低的固有頻率。

(3) 功能梯度環板固有頻率隨著溫度變化ΔT的增加而降低；而梯度指數p的增加，則會導致功能梯度環板的固有頻率呈現先迅速下降后逐漸穩定的趨勢。